河北省衡水市武强中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．关于的一组样本数据，，，，…，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知若，则实数的值为（ ）
A．1B．4C．1或4D．2
5．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．8D．6
7．已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．1B．11C．12D．1024
8．在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）
A．8B．12C．16D．20
二、多选题（每小题6分，部分答对得部分分，共18分）
9．随机变量X和Y的相关系数为r，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，X和Y具有正线性相关性B．随着r值减小，X和Y的相关性也减小
C．当时，X和Y不具有相关性D．当时，X和Y具有较强的线性相关性
10．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A．B．C．D．
11．以下判断正确的有（ ）
A．函数的图象与直线x＝1的交点最多有1个
B．与是不同函数
C．若，则
D．函数的最小值为2
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
若回归方程为，则 .
13．已知函数，若，且，则 .
14．已知且恒成立，实数的最大值是 ．
四、解答题（每小题5分，共77分）
15．（本小题13分）已知集合，或，．
(1)求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．（本小题15分）某校对学生餐厅的就餐环境、菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：
男生：
女生：
学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意．
(1)由以上数据完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生的就餐满意度与性别是否有关联？
(2)从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记X为3人中男生的人数，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
17．（本小题15分）2023年全国竞走大奖赛，暨世锦赛及亚运会选拔赛3月4日在安徽黄山开赛．重庆队的贺相红以2小时22分55秒的成绩打破男子35公里竞走亚洲纪录．某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间的关系的课题研究，得到相应的试验数据：
(1)根据表中数据，得到步频和步长近似为线性相关关系，求出关于的回归直线方程，并利用回归方程预测，当步长为时，步频约是多少？
(2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，求（1）中步长的残差的和。
参考数据：，．参考公式：，．
18．（本小题17分）已知函数满足，函数满足．
(1)求函数和的解析式； (2)求函数的值域．
19．（本小题17分）设函数
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于的不等式：．
x
0
1
2
3
4
y
1
2a
5
7
评分分组
70分以下
人数
3
27
38
32
评分分组
70分以下
频数
5
35
34
26
满意
不满意
总计
男生
女生
总计
α
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
步频（单位：）
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
步长（单位：）
90
95
99
103
117
参考答案：
1．A
【分析】首先利用列举法表示出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】因为，又，
所以．
故选：A．
2．B
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题.
【详解】命题“，”的否定是“，”．
故选：B
3．B
【分析】根据相关系数的性质，结合题意，即可判断和选择.
【详解】因为所有样本点均在直线上，故，又，故.
故选：B.
4．B
【分析】分和，求解，即可得出答案.
【详解】当时，，则，解得：（舍去）；
当时，，则，解得：.
故选：B.
5．A
【分析】根据抽象函数定义域之间的关系进行求解即可．
【详解】由于函数的定义域为，故，解得，
即函数的定义域为.
故选：A.
6．C
【分析】利用“1”的代换法，利用基本不等式求得最小值．
【详解】根据题意，
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C
7．C
【分析】令，求得，令，求得，继而进一步计算即可.
【详解】根据题中的条件，令，则，
所以，令，
则，又，
所以,
则，
故选:C.
8．C
【分析】由题意，求出剔除后的平均数，进而求出剔除前的平均数，根据回归直线必过样本点中心得到，进而得到，将点代入，即可求解.
【详解】设没剔除两对数据前的平均数分别为，，
剔除两对数据后的平均数分别为，，
因为，
所以，，
则，
所以，
又因为，
所以，
解得.
故选：C.
9．AD
【分析】根据相关系数的定义及性质逐项判断即可.
【详解】根据相关系数的含义，可得当时，X和Y具有正线性相关性；
当时，成对样本数据间没有线性相关关系；故选项A正确，C错误；
当时，随着r值减小，越接近1，X和Y的线性相关程度越强，故B错误；
当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强知，
当时，X和Y具有较强的线性相关性，故D正确.
故选：AD
10．AC
【分析】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.
【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，故值域不变，正确；
对于B，由可得，即的值域为，错误；
对于C，函数与函数的图象关于y轴对称，
故函数的值域与函数的值域相同，为，正确；
对于D，由可得，即的值域为，错误.
故选：AC
11．AC
【分析】A.利用函数的定义判断；B.利用函数的定义判断；C.直接求解判断；D.利用基本不等式求解判断.
【详解】对于A：函数的图象与直线的交点可以为或，故A项正确；
对于B：，，两函数定义域和对应关系都相等是同一函数，故B项错误；
对于C：，，故C项正确．
对于D：因为，所以，
当且仅当时取到等号，又因为无解，故等号取不到，故D项错误；
故选：AC
12．2
【分析】先求样本中心点，利用回归方程一定经过样本中心点可求答案.
【详解】，，
因为回归方程为，所以，解得.
故答案为:2
13．
【分析】根据可得图象的对称轴为直线，从而求得，即可求解.
【详解】因为图象的对称轴为直线，
所以，则.
故答案为：.
14．/
【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.
【详解】由题意，，
所以转化为，
可得，即，
因为，当且仅当时等号成立，
所以实数的最大值是.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可.
【详解】（1）因为，又，
所以.
（2）或，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，
则，又，
所以.
16．(1)表格见解析，无关联；
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据题意得列联表，计算，由独立性检验可得结果；
（2）依题意X服从超几何分布，求出其概率得分布列，根据数学期望的定义可得结果.
【详解】（1）由题意得列联表为：
零假设为：学生对就餐满意与性别无关联，
，
根据小概率的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，
即学生对就餐满意度与性别无关联．
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，X服从超几何分布，
则（，1，2，3）．
即，，
，，
所以X的分布列为
则．
17．(1)， 0.27秒，；
(2)成立，证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件求得回归方程的系数，即可得回归方程，将代入回归方程，即可得到答案；
（2）结合题中数据进行计算，可求得步长的残差和，从而可得结论，结合回归方程系数的计算公式即可证明.。
【详解】（1），，
，，
所以回归直线方程为，
将代入得，解得，所以当步长为时，步频约是0.27秒．
（2）根据（1）得到，；
，；
，；
，；
，，
所以，即步长残差和为0．
18．(1)，
(2)
【分析】（1）利用换元法求出的解析式，利用解方程组法求出的解析式；
（2）利用换元法求函数的值域.
【详解】（1）令，即，所以，即，
因为①，②，
由①②解得，.
（2）因为，
令，
所以，
因为，所以，
所以该函数的值域为.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对是否为零进行讨论，再结合二次函数的性质即可求解.
（2）不等式化简为，根据一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解.
【详解】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.
当时，不等式可化为，不满足题意.
当，有，即，解得
所以的取值范围是．
（2）依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为；
综上，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
满意
不满意
总计
男生
70
30
100
女生
60
40
100
总计
130
70
200
X
0
1
2
3
P