河北省衡水市武强中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

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出题人：吉岩岩
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若角为第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知是关于的方程的一个根，，则（ ）
A.0 B.2 C.1 D.4
4.若，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ）
A. B. C.4 D.
7.已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A.2 B.3 C.6 D.4
8.若函数，在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.）
9.设正实数满足，则（ ）
A.的最小值为
B.的最大值为
C.的最大值为
D.的最小值为
10.已知函数的最小正周期为，则（ ）
A.的最大值为2
B.在上单调递增
C.的图象关于点中心对称
D.的图象可由的图象向右平移个单位得到
11.已知函数，则（ ）
A.是的极小值点 B.有两个极值点
C.的极小值为1 D.在上的最大值为2
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________.
13.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数的取值范围是__________.
14.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15.（13分）在中，角的对边分别为，面积为，且.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
16.（15分）设三角形的内角的对边分别为，且.
（1）求角A的大小；
（2）若边上的高为，求三角形的周长.
17.（15分）已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由.
18.（17分）已知函数.
（1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
（2）若在只有一个零点，求.
19.（17分）基本不等式是高中数学的重要内容之一，我们可以应用其解决数学中的最值问题.
（1）已知，证明；
（2）已知，证明，并指出等号成立的条件；
（3）已知，证明：，并指出等号成立的条件.
（4）应用（2）（3）两个结论解决以下两个问题：
①已知，证明：；
②已知，且，求的最小值.
高三数学期中参考答案：
1.C 【分析】由对数函数的性质求出集合，再集合交集的概念求解可得答案.
【详解】由题意得，又因为，所以，所以，故选：C.
2.B 【分析】根据同角三角函数的基本关系得到方程组，解得即可.
【详解】因为，又角为第二象限角，解得.故选：B
3.D 【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】因为是关于的方程的一个根，，所以是关于的方程的一个根，
于是有，故选：D
4.D 【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算，再根据和角公式计算即可.【详解】因为，又，即，则，
所以，
故.故选：D
5.C 【分析】求导，通过赋值逐项判断即可.
【详解】因为，所以，
则，所以，
则，所以.故选：C
6.B 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立
问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解.
【详解】，使得成立是真命题，
所以恒成立.所以在上恒成立，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，所以，所以，即实数的最大值为.故选：B.
7.D 【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，即，
则因为，且，所以，
所以，当且仅当即等号成立，则的最小值是4.故选：D.
8.A 【分析】根据对数函数性质判断上的单调性和值域，结合其区间单调性及分式型函数的性质，讨论参数确定参数范围.
【详解】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，则在上单调递增，且，
当时，在上单调递增，满足题设；
当时，在上单调递增，此时只需，即；
综上，.故选：A
9.ABD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.
【详解】对于A，因为正实数，满足，所以，
当且仅当且，即时等号成立，故A正确；
对于，
则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错误；对于D，由，可得，
当且仅当时等号成立，故D正确.故选：ABD.
10.ACD 【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域､单调性､对称性及图象变换一一判定选项即可.
【详解】易知，其最小正周期为，
所以，即，显然，故A正确；令，
显然区间不是区间的子区间，故B错误；
令，则是的一个对称中心，故C正确；
将的图象向右平移个单位得到，
故D正确.故选：ACD
11.BD 【分析】对应求导，根据其符号确定单调区间并判断极值点､求极值判断ABC；进而求函数在上的最大值判断D.
【详解】由题设，
令，则或，令，则，
所以上递增，上递减，
故为极大值，为极小值，A､C错误，B正确；
在上，在上递减，在上递增，而，
所以在上的最大值为正确.故选：BD
12. 【分析】对原函数进行求导，代入得出切线斜率.曲线在处的切线倾斜角为可得出斜率.构造关于的方程，解方程即可.
【详解】曲线的导数，
曲线在处的切线的倾斜角为，
故答案为：.
13. 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，即，
因为在上是增函数，则，所以函数的增区间包含0，令，得，
所以，所以故的取值范围为.故答案为：
14. 【分析】先求出角A的大小，由，考虑余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值.【详解】解析：因为，
根据正弦定理可知，即，
由余弦定理可知，又，故，又因为，所以，（当且仅当时取等号），即
所以，即面积的最大值为，故答案为：.
15.（1）（2）【分析】（1）利用三角形面积公式及余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理先求，结合平面向量数量积公式及其运算律计算即可.
【详解】（1）由三角形面积公式及条件可知：，
由余弦定理知，所以，
因为，所以；
（2）结合（1）的结论，根据余弦定理有，
所以，易知，
所以，
即.
16.（1）（2）【分析】（1）利用内角和为化简，利用二倍角公式化简，再利用辅助角公式化简即可求得；
（2）由面积公式和余弦定理，联立方程组求解三角形即可.
【详解】（1）因为为的内角，所以，
因为，所以可化为：，
即，即，因为，解得：，即.
（2）由三角形面积公式得代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，所以的周长为.
17.（1）（2）有最大值，最大值为
【分析】（1）求导，得到恒成立，根据根的判别式得到不等式，求出的取值范围；
（2）求导，得到函数单调性，从而求出函数的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
因为在上单调递减，所以恒成立，
所以，所以的取值范围是.
（2）当时，，
令，解得，令，解得，
所以当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，，又时，，
所以有最大值，最大值为.
18.（1）极小值，无极大值；（2）.
【分析】（1）求出函数的导数，结合几何意义求出，再分析单调性求出极值.
（2）由函数零点的意义，等价变形得在只有一解，转化为直线与函数图象只有一个交点求解.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，依题意，，则，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
（2）函数在只有一个零点，等价于在只有一个零点，设，则函数在只有一个零点，当且仅当在只有一解，即在只有一解，于是曲线与直线只有一个公共点，令，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在取得极小值同时也是最小值，
当时，；当时，，
画山大致的图象，如图，
在只有一个零点时，，
所以在只有一个零点吋，.
19.【详解】（1）由可知，，当且仅当时取“=”，所以.
（2）因为，
由（1）可得，当且仅当时取“”，
则，
所以，当且仅当时取“”.
（3）当时，
因为，
由（1）可得，当且仅当时取“=”
则，
所以，当且仅当时取“”.
（4）①由（2）可知，当且仅当时取“”，
即，所以
②因为，
由（3）可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
C
B
D
A
ABD
ACD
题号
11
答案
BD