数学3.1.1 一元一次方程练习题

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2022—2023学年七年级上学期第三单元过关检测（2）
一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑）
1．（4分）若关于x的方程k x|k﹣1|﹣1＝0是一元一次方程，则k的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．0或2
【分析】根据一元一次方程定义可得：|k﹣1|＝1且k≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：|k﹣1|＝1且k≠0，
解得k＝2．
故选：A．
2．（4分）代数式﹣2a+1与a﹣2的值相等，则a等于（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据题意列等式方程，解一元一次方程即可．
【解答】解：﹣2a+1＝a﹣2，
3＝3a，
a＝1，
故选：B．
3．（4分）下列等式变形错误的是（　　）
A．若x＝y，则x﹣3＝y﹣3
B．若a＝b，则ac＝b c
C．若a（x2+1）＝b（x2+1），则a＝b
D．若a＝b，则
【分析】利用不等式的基本性质求解．
【解答】解：若c＝0时，等式两边除以0了，而0不能作除数，
故选：D．
4．（4分）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】对题目的解题过程逐步分析，即可找出出错的步骤．
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
5．（4分）用200张彩纸制作圆柱，每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个，一个圆柱侧面与两个底面组成一个圆柱．为使制作的圆柱侧面和底面正好配套，设把x张彩纸制作圆柱侧面，则方程可列为（　　）
A．60x＝20（200﹣x） B．20x＝2×60（200﹣x）
C．2×60x＝20（200﹣x） D．2×20x＝60（200﹣x）
【分析】根据“每张彩纸可制作圆柱侧面20个或底面60个”列方程即可．
【解答】解：把x张彩纸制作圆柱侧面，则制作底面为（200﹣x）张，
由题意可得：2×20x＝60（200﹣x）．
故选：D．
6．（4分）关于x的方程3（*﹣9）＝5x﹣1，*处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么*处的数字是（　　）
A．﹣1 B．﹣17 C．15 D．17
【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字．
【解答】解：将x＝5代入方程，得：3（★﹣9）＝25﹣1，
解得：★＝17，
即★处的数字是17，
故选：D．
7．（4分）一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆游向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为（　　）千米．
A．30 B．36 C．44 D．48
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，由题意得x+2＝2（x﹣2）从而得出船在静水中的速度，则设乙、丙两地相距y千米，根据来回共用12小时得出方程，解方程即可．
【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，
由题意得：x+2＝2（x﹣2），
解得：x＝6，
则顺流时的速度为8千米/小时，逆流时的速度为4千米/小时，
设乙、丙两地相距y千米，
由题意得：+＝12，
解得：y＝26，
则y+18＝44，
即甲、丙两港间的距离为44千米．
故选：C．
8．（4分）已知关于x的方程有负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为（　　）
A．﹣11 B．﹣26 C．﹣28 D．﹣30
【分析】先根据等式的性质求出方程的解是x＝，根据方程的解是负整数得出3+2a＝﹣1或3+2a＝﹣70或3+2a＝﹣2或3+2a＝﹣5或3+2a＝﹣14或3+2a＝﹣10或3+2a＝﹣7或3+2a＝﹣35，求出方程的解，再求出整数a，最后求出答案即可．
【解答】解：，
6x﹣2（38﹣ax）＝3x﹣6，
6x﹣76+2ax＝3x﹣6，
6x+2ax﹣3x＝﹣6+76，
（3+2a）x＝70，
当3+2a≠0时，x＝，
∵关于x的方程有负整数解，
∴3+2a＝﹣1或3+2a＝﹣70或3+2a＝﹣2或3+2a＝﹣5或3+2a＝﹣14或3+2a＝﹣10或3+2a＝﹣7或3+2a＝﹣35，
解得：a的值是﹣2，﹣，﹣，﹣4，﹣，﹣，﹣5，﹣19，
∵a为整数，
∴a只能为﹣2，﹣4，﹣5，﹣19，
和为（﹣2）+（﹣4）+（﹣5）+（﹣19）＝﹣30，
故选：D．
9．（4分）小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每千克5元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗？”摊主说：“多买按八折，你要多少千克？”小王报了质量后，摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前有一个人只比你少买5kg就是按标价，还比你多花了10元呢！”小王购买豆角的质量是（　　）
A．25kg B．2.20kg C．30kg D．35kg
【分析】根据“之前有一个人只比你少买5kg就是按标价，还比你多花了10元呢！”列方程求解．
【解答】解：设小王购买豆角xkg，
根据题意得：5×0.8x+10＝5（x﹣5），
解得：x＝35，
故选：D．
10．（4分）若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“奇异方程”．例如：2x＝4的解为x＝4﹣2，则该方程2x＝4是“奇异方程”．已知关于x的一元一次方程4x＝m+3是奇异方程，则m的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】先求出方程的解，根据方程为“奇异方程”得出关于m的方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：∵4x＝m+3，
∴x＝，
∵关于x的一元一次方程4x＝m+3是奇异方程，
∴＝m+3﹣4，
解得：m＝，
故选：A．
11．（4分）某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（　　）
A．288 B．360 C．288或316 D．360或395
【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数．
【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过100元，
即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元．
（2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：
①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的．
设第二次实质购物价值为x，
依题意有x×0.9＝252，
解得：x＝280．
②第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的．
设第二次实质购物价值为x，
依题意有x×0.8＝252，
解得：x＝315．
即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元．
综上所述，他两次购物的实质价值为80+280＝360（元）或80+315＝395（元），均超过了300元．因此均可以按照8折付款：
360×0.8＝288（元），
395×0.8＝316（元）．
故选：C．
12．（4分）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发）．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（　　）

A．5秒 B．5秒或者4秒 C．5秒或秒 D．秒
【分析】由点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，知点B表示的数为20，设点M、点N运动时间是t秒，可得|﹣10+t|＝|20﹣3t|，解方程即可得到答案．
【解答】解：∵点A表示的数为﹣10，OB＝2OA，
∴点B表示的数为20，
设点M、点N运动时间是t秒，根据题意，M表示的数是﹣10+t，N表示的数是20﹣3t，
∵点M、点N分别到原点O的距离相等，
∴|﹣10+t|＝|20﹣3t|，
∴﹣10+t＝20﹣3t或﹣10+t＝﹣（20﹣3t），
解得t＝或t＝5，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上）
13．（4分）在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方，如图的方格是一个三阶幻方，则x＝　 　．

【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列出方程并解答．
【解答】解：﹣3+1﹣4＝﹣6，
﹣6+1﹣（﹣3）＝﹣2，
如图所示：
依题意有：4﹣6+x＝4+1﹣2，
解得x＝5．
故答案为：5．

14．（4分）一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过750米的隧道，从火车进入隧道口算起，这列火车完全通过隧道所需时间是 　 　．
【分析】注意火车通过隧道的路程需要加上火车的长度，所以此题火车走过的总路程为（750+150）米，速度为15米/秒，设出这列火车完全通过隧道所需时间是x秒，根据速度×时间＝路程，列方程即可求得．
【解答】解：设这列火车完全通过隧道所需时间是x秒，根据题意得：
15x＝750+150，
解得：x＝60，
答：这列火车完全通过隧道所需时间是60秒．
故答案为：60秒．
15．（4分）已知关于x的方程的解是x＝22，那么关于y的一元一次方程的解是y＝　 　．
【分析】首先把第二个方程变形为（y﹣23）+2﹣（y﹣23）＝m，进而得到y﹣23＝x，再根据x＝22，解出方程即可．
【解答】解：∵，
∴（y﹣23）+2﹣（y﹣23）＝m，
∴y﹣23＝x，
∵x＝22，
∴y﹣23＝22，
∴y＝45，
故答案为：45．
16．（4分）张庄和李庄相距12千米，某天，小张和小李两人骑自行车分别从张庄和李庄同时出发相向而行，小张行驶小时后，自行车发生故障，此时距离李庄8千米，于是以原来骑行速度的一半推着自行车继续向李庄走．小李出发1小时候与小张相遇，然后小张搭乘小李的自行车一同去往李庄（两人碰头，重新上车的时间均忽略不计），骑行速度变为之前小张骑行速度的一半，则小李在出发后 　 　小时与张庄相距10千米．
【分析】分相遇前与相遇后距张庄10千米求解即可．
【解答】解：由题意得：小张骑行的速度为：（12﹣8）÷＝12（千米/时），
小张推行的速度为：12÷2＝6（千米/时），
小李骑行的速度为：[8﹣6×（1﹣）]÷1＝4（千米/时），
小李小张搭乘小李的自行车的速度为：4÷2＝2（千米/时），
设小李在出发后x小时与张庄相距10千米．
相遇前，小李与张庄相距10千米，则乙骑行的路程为：12﹣10＝2（千米），
4x＝12﹣10，
解得：x＝；
相遇后，小李与张庄相距10千米，需返回骑行：4×1﹣（12﹣10）＝2（千米），
6（x﹣1）＝2，
解得x＝1．
故小李在出发后或小时与张庄相距10千米．
故答案为：或．
三、解答题（本题共8个小题，共86分，答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.）
17．（8分）解方程：
（1）； （2）．
【分析】（1）去分母，去括号，移项，合并同类项即可；
（2）先根据分数的基本性质把分数的分母变成整数，再移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：（1），
去分母，得4（2x﹣1）﹣2（10x﹣1）＝3（2x+1）﹣12，
去括号，得8x﹣4﹣20x+2＝6x+3﹣12，
移项，得8x﹣20x﹣6x＝3﹣12+4﹣2，
合并同类项，得﹣18x＝﹣7，
系数化成1，得x＝；
（2），
﹣＝﹣1.6，
即5x+20﹣2x+6＝﹣1.6，
移项，得5x﹣2x＝﹣1.6﹣20﹣6，
合并同类项，得3x＝﹣27.6，
系数化成1，得x＝﹣9.2．
18．（8分）在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝﹣6，试求a的值，并解出原方程正确的解．
【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解．
【解答】解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10，
∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝﹣6代入上式，解得a＝1．
原方程可化为：，
去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x+1），
去括号，得4x﹣2+10＝5x+5，
移项、合并同类项，得﹣x＝﹣3，
系数化为1，得x＝3，
故a＝1，x＝3．
19．（10分）用“※”定义一种新运算：规定a※b＝ab2+2ab﹣b，如：1※3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）若|m+1|+（n﹣4）2＝0，求m※n的值；
（2）若（x﹣1）※3＝12，求x的值．
【分析】（1）根据绝对值和偶次方的非负数性质可得m、n的值，再按规定的运算程序运算求值即可；
（2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值．
【解答】解：（1）∵|m+1|+（n﹣4）2＝0，而|m+1|≥0，（n﹣4）2≥0，
∴m+1＝0，n﹣4＝0，
解得m＝﹣1，n＝4，
∴m※n＝mn2+2mn﹣n＝（﹣1）×42﹣2×（﹣1）×4﹣4＝﹣16﹣8﹣4＝﹣28；
（2）∵（x﹣1）※3＝12，
∴（x﹣1）×32+2（x﹣1）×3﹣3＝12，
去括号，可得：9x﹣9+6x﹣6﹣3＝12，
移项，可得：9x+6x＝12+9+6+3，
合并同类项，可得：15x＝30，
系数化为1，可得：x＝2．
20．（10分）小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示14天内爸爸去过深圳、广州、湛江．已知广州到深圳的路程比广州到湛江的路程少280公里，小明的爸爸驾车从深圳到广州的平均速度是70千米/小时，从广州到湛江的平均速度是60千米/小时，从广州到湛江的时间比从深圳到广州的时间多5小时．
（1）求广州到深圳的路程；
（2）从广州到湛江时，若小明的爸爸要至少提前2小时到家．则驾车的平均速度应满足什么条件？
【分析】（1）设广州到深圳的路程为x千米，则广州到湛江的路程为（x+280）千米，根据从广州到湛江的时间比从广州到深圳的时间多5小时列出方程，求解即可；
（2）首先求出原来所花的时间为7小时，再设广州到湛江的平均车速调整为y千米/小时，根据题意列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）设广州到深圳的路程为x千米，则广州到湛江的路程为（x+280）千米，
根据题意得＝+5，
解得：x＝140．
答：广州到深圳的路程为140千米；
（2）原来所花的时间为：＝7（小时），
设广州到湛江的平均车速调整为y千米/小时，
根据题意得（7﹣2）y≥140+280，
解得y≥84．
答：驾车的平均速度应大于或等于84千米/小时．
21．（12分）乐乐同学在A，B两家超市发现他看中的学习机和书包的单价都相同，学习机和书包的单价之和为452元，且学习机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）学习机和书包的单价分别是多少元？
（2）该同学上街，恰好赶上该商品促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元销售，满200元返购物券60元，依此类推，（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了390元钱，如果他只在一家超市购买他看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪家购买更省钱吗？
【分析】（1）根据学习机和书包的单价之和为452元，且学习机的单价比书包单价的4倍少8元，可以列出相应的一元一次方程，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以分别计算出在两家超市的花费情况，然后比较大小，即可解答本题．
【解答】解：（1）设书包的单价为x元，则学习机的单价为（4x﹣8）元，
由题意可得：x+（4x﹣8）＝452，
解得x＝92，
∴4x﹣8＝360，
答：学习机的单价为360元，书包的单价为92元；
（2）由题意可得，
超市A需要付费：452×0.8＝361.6（元），
超市B需要付费：360+（92﹣×30）
＝360+（92﹣3×30）
＝360+（92﹣90）
＝360+2
＝362（元），
∵361.6＜362，
∴选择超市A．
22．（12分）在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．
（1）点B表示的数是 　 　．
（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？
（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？
【分析】（1）根据题意即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）10﹣4＝6，
∵点B位于点A的左侧，
∴点B表示的数是﹣6，
故答案为：﹣6；
（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，
∴2t+2＝10或2t﹣2＝10，
∴t＝4或t＝6，
∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；
（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，
∴2（10﹣2t）＝10﹣t或2（2t﹣10）＝10﹣t
∴t＝或t＝6
∴经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．
23．（12分）学校为了让学生积极参加体育锻炼强健体魄，做好大课间活动，计划购买体育用品．价格如表：
备选体育用品
篮球
排球
羽毛球拍
价格
60元/个
35元/个
25元/支
（1）若用2550元全部用来购买篮球、排球和羽毛球拍，篮球和排球的数量比2：3，排球与羽毛球拍数量的比为4：5，求篮球、排球和羽毛球拍的购买数量各为多少？
（2）初一学年计划购买篮球，初二学年计划购买排球，商场的优惠促销活动如下：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过500元
不优惠
超过500元且不超过600元
售价打九折
超过600元
售价打八折
按上述优惠条件，若初一年级一次性付款420元，初二年级一次性付款504元，那么这两个年级购买两种体育用品的数量一共是多少？
【分析】（1）可设购买篮球的数量为2x个，则排球的数量为3x个，从而可表示出羽毛球拍的数量，再利用总额＝数量×单价即可求解；
（2）根据优惠条件进行列式求解即可．
【解答】解：（1）设购买篮球的数量为2x个，则排球的数量为3x个，依题意得：
购买羽毛球拍的数量：x支，
则60×2x+35×3x+25×x＝2550，
解得：x＝8，
∴购买篮球的数量为：8×2＝16（个），
购买排球球的数量为：8×3＝24（个），
购买羽毛球拍的数量为：8×＝30（支），
答：购买篮球16个、排球24个，羽毛球拍30支；
（2）①若初一、初二年级各自购买，则初一年级购买的篮球数为：420÷60＝7（个），
初二年级购买排球的数为：504÷（35×0.9）＝16（个），
则一共购买的数量为：16+7＝23（个）；
②若两个年级合起来购买，则：
初一年级购买的篮球数为：420÷60＝7（个）（当打八折或九折时，所求的数不是整数，不符合题意），
初二年级购买排球的数为：504÷（35×0.8）＝18（个），
则一共购买的数量为：18+7＝25（个）；
答：这两个年级购买两种体育用品的数量一共是23个或25个．
24．（14分）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 　 　．
②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是 　 　．
③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是 　 　．

（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于 　 　．
（3）应用：
①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，则|a+4|+|a﹣3|的值＝　 　．
②若a表示数轴上的一个有理数，且|a﹣1|＝|a+3|，则a＝　 　．
③若a表示数轴上的一个有理数，|a﹣1|+|a+2|的最小值是 　 　．
④若a表示数轴上的一个有理数，且|a+3|+|a﹣5|＞8，则有理数a的取值范围是 　 ．
（4）拓展：
已知，如图2，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．若当电子蚂蚁P从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点P所表示的数．

【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，
（2）由特殊到一般，得出结论，
（3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；
②根据绝对值的意义取绝对值，解方程即可；
③由|a﹣1|+|a+2|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣2的点到表示1的点之间的距离；
④由|a+3|+|a﹣5|所表示的意义，转化为数轴上表示﹣3和5两侧的点到﹣3和5的距离之和；
（4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，然后含t的式子表示出点P，Q所表示的数，在根据题意列方程，解方程即可．
【解答】解：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3，
②数轴上表示﹣1和﹣5的两点之间的距离是4，
③数轴上表示﹣3和4的两点之间的距离是7；
故答案为：①3，②4，③7；
（2）归纳：数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（3）应用：①若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，
|a+4|+|a﹣3|＝a+4﹣a+3＝7；
②∵|a﹣1|＝|a+3|，
∴a﹣1＝a+3（无解）或a﹣1＝﹣（a+3），
解得a＝﹣1；
③当a表示的数在﹣2和1之间时，|a﹣1|+|a+2|的最小值是3；
④当|a+3|+|a﹣5|＞8时，a应该在数5的右侧或在﹣3的左侧，
∴a＞5或a＜﹣3，
故答案为：①7，②﹣1，③3，④a＞5或a＜﹣3；
（4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
此时P表示的数为4t﹣20，Q表示的数为100﹣3t，
根据题意得100﹣3t﹣（4t﹣20）＝20或4t﹣20﹣（100﹣3t）＝20，
解得t＝或t＝20，
此时4t﹣20＝或60，
∴点P所表示的数为或60．