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第二十四章 圆 单元过关检测02-2022-2023学年九年级数学上册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)
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2022—2023学年九年级上学期第四单元(2)
一、选择题(本题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑)
1.(4分)已知⊙O的半径是3cm,则⊙O中最长的弦长是( )
A.3cm B.6cm C.1.5cm D.cm
【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解.
【解答】解:∵圆的直径为圆中最长的弦,
∴⊙O中最长的弦长为2×3=6(cm).
故选:B.
2.(4分)如图,一个圆柱形的玻璃水杯,将其横放,截面是个半径为5cm的圆,杯内水面宽AB=8cm,则水深CD是( )
A.3cm B.2cm C. D.
【分析】连接OA、OC,先由垂径定理可得AC长,再由勾股定理得OD长,从而求出CD长.
【解答】解:如图,连接OA、OC,
则OC⊥AB,
∴AC=AB=4(cm),
在Rt△OAD中,OD===3(cm),
∴CD=5﹣3=2(cm).
故选:B.
3.(4分)如图,AB是半圆O的直径,以弦AC为折痕折叠后,恰好经过点O,则∠AOC等于( )
A.120° B.125° C.130° D.145°
【分析】根据翻折变换得出AC垂直平分OQ,AQ=AO,求出△AQO是等边三角形,求出∠AOQ=60°,再根据等腰三角形的性质得出∠COQ=∠AOQ,再求出答案即可.
【解答】解:O关于直线AC的对称点是Q,连接OQ,交AC于M,
则AC垂直平分OQ,
即AQ=AO,OM⊥AC,
∵OQ=OA,
∴OQ=AQ=OA,
∴△AQO是等边三角形,
∴∠AOQ=60°,
∵OQ⊥AC,OA=OC,
∴∠COQ=∠AOQ=60°,
∴∠AOC=60°+60°=120°,
故选:A.
4.(4分)如图,在Rt△ACB中∠ACB=60°,以直角边AB为直径的⊙O交线段AC于点E,点M是弧AE的中点,OM交AC于点D,⊙O的半径是6,则MD的长度为( )
A. B. C.3 D.
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A=30°,根据垂径定理求出OD⊥AE,根据含30°角的直角三角形的性质求出OD,再求出MD即可.
【解答】解:∵∠ABC=90°,∠ACB=60°,
∴∠A=30°,
∵M为弧AE的中点,OM过圆心O,
∴OM⊥AD,
∴∠ADO=90°,
∴OD=OA==3,
∴MD=OM﹣OD=6﹣3=3,
故选:C.
5.(4分)如图,AD是⊙O的直径,PA,PB分别切⊙O于点A,B,若∠BCD=α,则∠P的度数是( )
A.90°﹣2α B.90°﹣α C.45° D.2α
【分析】连接OB,利用圆周角定理可得∠BOD=2α,然后利用切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°,从而利用四边形内角和可得∠P+∠AOB=180°,最后利用同角的补角相等即可解答.
【解答】解:连接OB,
∵∠BCD=α,
∴∠BOD=2∠BCD=2α,
∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠P+∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP=180°,
∵∠AOB+∠BOD=180°,
∴∠P=∠BOC=2α,
故选:D.
6.(4分)如图,要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计),若该圆锥的底面圆周长为20πcm,侧面积为240πcm2,则这个扇形的圆心角的度数是( )度.
A.120° B.135° C.150° D.160°
【分析】先设圆锥的母线长为lcm,由于圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长,则根据扇形的面积公式得到×20π×l=240π,解得l=24,然后设这个扇形的圆心角的度数是n°,利用弧长公式得到20π=,最后解方程即可.
【解答】解:设圆锥的母线长为lcm,
则×20π×l=240π,
解得l=24,
设这个扇形的圆心角的度数是n°,
根据题意得20π=,
解得n=150,
即这个扇形的圆心角的度数是150°.
故选:C.
7.(4分)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求,设计了一个如图(1)所示的工件槽,其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时,若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点,该球的大小就符合要求.图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图,已知⊙O的直径就是铁球的直径,AB是⊙O的弦,CD切⊙O于点E,AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为( )
A.10cm B.15cm C.20cm D.24cm
【分析】连接OE,交AB于点F,连接OA,∵AC⊥CD、BD⊥CD,由矩形的判断方法得出四边形ACDB是矩形,得出AB∥CD,AB=CD=16cm,由切线的性质得出OE⊥CD,得出OE⊥AB,得出四边形EFBD是矩形,AF=AB=×16=8(cm),进而得出EF=BD=4cm,设⊙O的半径为rcm,则OA=rcm,OF=OE﹣EF=(r﹣4)cm,由勾股定理得出方程r2=82+(r﹣4)2,解方程即可求出半径,继而求出这种铁球的直径.
【解答】解:如图,连接OE,交AB于点F,连接OA,
∵AC⊥CD、BD⊥CD,
∴AC∥BD,
∵AC=BD=4cm,
∴四边形ACDB是平行四边形,
∴四边形ACDB是矩形,
∴AB∥CD,AB=CD=16cm,
∵CD切⊙O于点E,
∴OE⊥CD,
∴OE⊥AB,
∴四边形EFBD是矩形,AF=AB=×16=8(cm),
∴EF=BD=4cm,
设⊙O的半径为rcm,则OA=rcm,OF=OE﹣EF=(r﹣4)cm,
在Rt△AOF中,OA2=AF2+OF2,
∴r2=82+(r﹣4)2,
解得:r=10,
∴这种铁球的直径为20cm,
故选:C.
8.(4分)如图,两张完全相同的正六边形纸片(边长为2a)重合在一起,下面一张保持不动,将上面一张纸片六边形A'B'C'D'E'F'沿水平方向向左平移a个单位长度,则上面正六边形纸片面积与折线A'﹣B'﹣C扫过的面积(阴影部分面积)之比是( )
A.3:1 B.4:1 C.5:2 D.2:1
【分析】求出正六边形和阴影部分的面积即可解决问题.
【解答】解:正六边形的面积=6××(2a)2=6a2,
阴影部分的面积=a•2a=2a2,
∴空白部分与阴影部分面积之比是=6a2:2a2=3:1,
故选:A.
9.(4分)如图,将两个正方形如图放置(B,C,E共线,D,C,G共线),若AB=3,EF=2,点O在线段BC上,以OF为半径作⊙O,点A,点F都在⊙O上,则OD的长是( )
A.4 B. C. D.
【分析】设OC=x,根据圆上的点到圆心的距离相等,得=,进而求得x=1,再根据勾股定理解决此题.
【解答】解:设OC=x.
由题意得,OA=OF.
∴=.
∴.
∴x=1.
∴OD==.
故选:B.
10.(4分)某餐厅为了追求时间效率,推出一种液体“沙漏”免单方案(即点单完成后,开始倒转“沙漏”,“沙漏”漏完前,客人所点的菜需全部上桌,否则该桌免费用餐).“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成.某次计时前如图(1)所示,已知圆锥体底面半径是6cm,高是6cm;圆柱体底面半径是3cm,液体高是7cm.计时结束后如图(2)所示,求此时“沙漏”中液体的高度为( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
【分析】由圆锥体底面半径是6cm,高是6cm,可得CD=DE,根据圆锥、圆柱体积公式可得液体的体积为63πcm3,圆锥的体积为72πcm3,即知计时结束后,圆锥中没有液体的部分体积为9πcm3,设计时结束后,“沙漏”中液体的高度AD为xcm,可得π•(6﹣x)2•(6﹣x)=9π,即可解得答案.
【解答】解:如图:
∵圆锥的圆锥体底面半径是6cm,高是6cm,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴△CDE也是等腰直角三角形,即CD=DE,
由已知可得:液体的体积为π×32×7=63π(cm3),圆锥的体积为π×62×6=72π(cm3),
∴计时结束后,圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π=9π(cm3),
设计时结束后,“沙漏”中液体的高度AD为xcm,则CD=DE=(6﹣x)cm,
∴π•(6﹣x)2•(6﹣x)=9π,
∴(6﹣x)3=27,
解得x=3,
∴计时结束后,“沙漏”中液体的高度为3cm,
故选:B.
11.(4分)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,AO是△ABC的中线.以O为圆心,OA长为半径作半圆,分别交AB,AC于点D,E,交BC于点F,G.则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【分析】连接DO,过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图,由已知条件根据等腰三角形的性质可得∠ABO的度数,根据含30°角的直角三角形的性质可得,AO的长度,根据勾股定理可得BO的长度,即可算出S△ABO=的面积,由∠BAOO=60°,可得∠AOH=30°,即可算出HO,AH的长,即可算出S△ADO=的面积,根据扇形面积的计算方法可得S扇DOF=的面积,根据面积差可得S阴BDF=S△ABO﹣S△ADO﹣S扇DOF的面积,由S阴=2S阴BDF即可得出答案.
【解答】解:连接DO,过点O作OH⊥AB,垂足为H,如图,
∵AB=AC=4,∠BAC=120°,
∴=30°,
∴=2,BO===2,
∴S△ABO==2=2,
∵∠ABO=60°,
∴∠AOH=30°,
∴==1,AH===,
∴S△ADO===,
∵∠DOF=90°﹣60°=30°,DO=2,
S扇DOF===,
S阴BDF=S△ABO﹣S△ADO﹣S扇DOF=2﹣=,
S阴=2S阴BDF=2.
故选:A.
12.(4分)如图,在平面直角坐标系中,将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°,得到正六边形OAnBn∁nDnEn,当n=2022时,正六边形OAnBn∁nDnEn的顶点Dn的坐标是( )
A.(﹣,﹣3) B.(﹣3,﹣) C.(3,﹣) D.(﹣,3)
【分析】由题意旋转8次应该循环,因为2022÷8=252…6,所以Dn的坐标与D6的坐标相同.
【解答】解:由题意旋转8次应该循环,
∵2022÷8=252…6,
∴Dn的坐标与D6的坐标相同,
如图,过点D6H⊥OE于点H,
∵∠DOD6=90°,∠DOE=30°,OD=OD6=2,
∴OH=OD6•cos60°=,HD6=OH=3,
∴D6(﹣,﹣3),
∴顶点Dn的坐标是(﹣,﹣3),
故选:A.
二、填空题(本题共4个小题,每小题4分,共16分,答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上)
13.(4分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果它的一个外角∠DCE=68°,那么∠BOD= .
【分析】先根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义得到∠A+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,则∠A=∠DCE=68°,然后根据圆周角定理求解即可.
【解答】解:∵∠A+∠BCD=180°,∠DCE+∠BCD=180°,
∴∠A=∠DCE=68°,
∴∠BOD=2∠A=136°.
故答案为:136°.
14.(4分)如图,⊙O与正六边形OABCDE的边OA,OE分别交于点F,G,M是劣弧FG的中点.若FM=2,则⊙O的半径为 .
【分析】根据正六边形的性质以及圆周角定理可得出四边形OFMG是菱形,进而得到半径.
【解答】解:如图,连接OM,
∵六边形OABCDE是正六边形,
∴∠AOE==120°,
∵M是劣弧FG的中点.
∴∠AOM=∠EOM=∠AOB=60°,
又∵OF=OG=OM,
∴四边形OEMG是菱形,
∴OE=MF=2,
即⊙O的半径为2,
故答案为:2.
15.(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,对角线AC,BD的交点为O,分别以A、D为圆心,AB的长为半径画弧,恰好经过点O,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
【分析】根据已知得△AOB,△COD都为边长为2的等边三角形,BC=2,所以阴影部分的面积为三角形OBC的面积减去两个弓形的面积.
【解答】解:根据已知得△AOB,△COD都为边长为2的等边三角形,
∴BC=2,
∵△AOB,△COD的面积为2×=,扇形BAO和扇形CDO的面积为=,
∴阴影部分的面积为2×﹣2×(﹣)=3﹣π.
故答案为:3﹣π.
16.(4分)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠ABC=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于BC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F,下列结论:
①CE=CF;②∠E=30°;③线段EF的最小值为2;④当AD=2时,EF与半圆相切.其中正确结论的序号是 .
【分析】①由点E与点D关于AC对称可得CE=CD,再根据DF⊥DE即可证到CE=CF,从而判断正误;
②由对称性质得BC⊥DE,∠BCD=∠BCE,当∠BCD≠60°时,∠E≠30°,从而判断正误;
③根据“点到直线之间,垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小,由于EF=2CD,求出CD的最小值就可求出EF的最小值,从而判断正误;
④连接OC,易证△AOC是等边三角形,AD=OD,根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD,进而可求出∠ECO=90°,从而得到EF与半圆相切,从而判断正误.
【解答】解:①连接CD,
∵点E与点D关于AC对称,
∴CE=CD.
∴∠E=∠CDE.
∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°.
∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°.
∴∠F=∠CDF.
∴CD=CF.
∴CE=CD=CF.
故①的结论正确;
②∵点E与点D关于AC对称,
∴DE⊥BC,∠BCD=∠BCE,
当∠BCD≠60°时,∠E≠30°,
故②的结论错误;
③当CD⊥AB时,
∵AB是半圆的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AB=8,∠CBA=30°,
∴∠CAB=60°,AC=4,BC=4.
∵CD⊥AB,∠CBA=30°,
∴CD=BC=2.
根据“点到直线之间,垂线段最短”可得点D在线段AB上运动时,CD的最小值为2.
∵CE=CD=CF,
∴EF=2CD.
∴线段EF的最小值为4.
故③的结论错误;
③当AD=2时,连接OC,
∵OA=OC,∠CAB=60°,
∴△OAC是等边三角形.
∴CA=CO,∠ACO=60°.
∵AO=4,AD=2,
∴DO=2.
∴AD=DO.
∴∠ACD=∠OCD=30°,
∴∠BCO=30°,
∵点E与点D关于AC对称,
∴∠ECB=∠DCB=60°.
∴∠ECO=90°.
∴OC⊥EF.
∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,
∴EF与半圆相切.
故④的结论正确;
故答案为:①④.
三、解答题(本题共8个小题,共86分,答题请用黑色墨水笔或签字笔直接答在答题卡相应的位置上,解答时应写出必要的文字说明、证明步骤或演算步骤.)
17.(8分)如图,AB为⊙O的直径,E为OB的中点,弦CD⊥AB于点E,连接CO并延长交⊙O于点F,连接BC.
(1)求证:△BOC是等边三角形;
(2)若⊙O的半径为2,求CD的长.
【分析】(1)根据等边三角形的判定定理证明即可;
(2)根据勾股定理和垂径定理解答即可.
【解答】(1)证明:∵E为OB的中点,
∴OE=OB=OC,
∵弦CD⊥AB于点E,
∴∠COE=30°,
∴∠COE=60°,
又∵OC=OB,
∴△BOC是等边三角形;
(2)解:在Rt△COE中,CO=2,OE=1,
∴CE=,
∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,
∴CE=DE=CD,
∴CD=2CE=2.
18.(8分)石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为.桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m,设所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m.连接OB.
(1)直接判断AD与BD的数量关系;
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1m).
【分析】(1)根据垂径定理便可得出结论;
(2)设主桥拱半径为R,在Rt△OBD中,根据勾股定理列出R的方程便可求得结果.
【解答】解:(1)∵OC⊥AB,
∴AD=BD;
(2)设主桥拱半径为R,由题意可知AB=26,CD=5,
∴BD=AB=13,
OD=OC﹣CD=R﹣5,
∵∠ODB=90°,
∴OD2+BD2=OB2,
∴(R﹣5)2+132=R2,
解得R=19.4≈19,
答:这座石拱桥主桥拱的半径约为19m.
19.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,点F是CD延长线上的一点,且AD平分∠BDF,AE⊥CD于点E.
(1)求证:AB=AC.
(2)若BD=18,DE=2,求CD的长.
【分析】(1)根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答;
(2)过点A作AG⊥BD,分别证明Rt△AED≌Rt△AGD和Rt△AEC≌Rt△AGB,根据全等三角形的性质计算.
【解答】(1)证明:∵AD平分∠BDF,
∴∠ADF=∠ADB,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADF=180°,
∴∠ADF=∠ABC,
∵∠ACB=∠ADB,
∴∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC;
(2)解:过点A作AG⊥BD,垂足为点G.
∵AD平分∠BDF,AE⊥CF,AG⊥BD,
∴AG=AE,∠AGB=∠AEC=90°,
在Rt△AED和Rt△AGD中,
,
∴Rt△AED≌Rt△AGD,
∴GD=ED=2,
在Rt△AEC和Rt△AGB中,
,
∴Rt△AEC≌Rt△AGB(HL),
∴BG=CE,
∵BD=18,
∴BG=BD﹣GD=18﹣2=16,
∴CE=BG=16,
∴CD=CE﹣DE=16﹣2=14.
20.(10分)如图,AB是⊙O的直径,点C为的中点,CF为⊙O的弦,且CF⊥AB,垂足为E,连接BD交CF于点G,连接CD,AD,BF.
(1)求证:△BFG≌△CDG;
(2)若AD=BE=4,求BF的长.
【分析】(1)首先利用已知条件和垂径定理证明CD=BF,然后根据AAS证明△BFG≌△CDG;
(2)连接OF,设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程就能求解.
【解答】(1)证明:∵C是 中点,
∴=,
∵AB是⊙O的直径,且CF⊥AB,
∴=,
∴=,
∴CD=BF,
在△BFG和△CDG中,
,
∴△BFG≌△CDG(AAS);
(2)解:如图,连接OF,设⊙O的半径为r,
Rt△ADB中,BD2=AB2﹣AD2,即BD2=(2r)2﹣42,
Rt△OEF中,OF2=OE2+EF2,即EF2=r2﹣(r﹣4)2,
∵==,
∴=,
∴BD=CF,
∴BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,
即(2r)2﹣42=4[r2﹣(r﹣4)2],
解得:r=2(舍)或6,
∴BF2=EF2+BE2=62﹣(6﹣4)2+42=48,
∴BF=4.
21.(12分)如图,等边三角形ABC内接于半径长为2的⊙O,点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动,点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动,当点P,O,Q三点处于同一条直线时,停止运动.
(1)求点Q的运动总长度;
(2)若M为弦PB的中点,求运动过程中CM的最大值.
【分析】(1)因为点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动,点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动,所以可以假设∠COQ=n,∠BOP=2n,可得120°﹣n+2n=180°,求出n,可得结论;
(2)如图,取OB的中点J,连接JM,JC,过点J作JH⊥BC于点H.分别求出CJ,JM,可得结论.
【解答】解:(1)∵点P在圆弧AB上以2倍速度从B向A运动,点Q在圆弧BC上以1倍速度从C向B运动,
∴可以假设∠COQ=n,∠BOP=2n,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=60°,
∴∠BCO=2∠A=120°,
∵P,O,Q共线,
∴120°﹣n+2n=180°,
∴n=60°,
∴点Q的运动总长度==;
(2)如图,取OB的中点J,连接JM,JC,过点J作JH⊥BC于点H.
∵OB=OC=2,∠BOC=120°,
∴BC=OB=2,∠OBC=∠OCB=30°,
∵BJ=OJ=1,
∴JH=BJ=,BH=,
∴CH=,
∴CJ===,
∵BM=MP.BJ=OJ,
∴JM=OP=1,
∴CM≤JM+CJ=1+,
∴CM的最大值为1+.
22.(12分)如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.
(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
【分析】(1)由AB是半圆O的直径,CP是半圆O的切线,可得∠ACB=∠OCP,即得∠ACO=∠BCP;
(2)由∠ABC=2∠BCP,可得∠ABC=2∠A,从而∠A=30°,∠ABC=60°,可得∠P的度数是30°;
(3)∠A=30°,可得BC=AB=2,AC=BC=2,即得S△ABC=BC•AC=2,故阴影部分的面积是π×()2﹣2=2π﹣2.
【解答】(1)证明:∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CP是半圆O的切线,
∴∠OCP=90°,
∴∠ACB=∠OCP,
∴∠ACO=∠BCP;
(2)解:由(1)知∠ACO=∠BCP,
∵∠ABC=2∠BCP,
∴∠ABC=2∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A,
∴∠ABC=2∠A,
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,
∴∠ACO=∠BCP=30°,
∴∠P=∠ABC﹣∠BCP=60°﹣30°=30°,
答:∠P的度数是30°;
(3)解:由(2)知∠A=30°,
∵∠ACB=90°,
∴BC=AB=2,AC=BC=2,
∴S△ABC=BC•AC=×2×2=2,
∴阴影部分的面积是π×()2﹣2=2π﹣2,
答:阴影部分的面积是2π﹣2.
23.(12分)如图,以线段AB为直径作⊙O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交⊙O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)若∠F=30°,求∠M的度数;
(3)在第二问的条件下,若ME=1,求BF的长.
【分析】(1)连接OD,由∠ODA=∠OAD=∠DAC证明OD∥AC,得∠ODF=∠AED=90°,即可证明直线DE是⊙O的切线;
(2)根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质即可得到结论;
(3)由∠AEF=90°,∠F=30°证明∠BAM=60°,则△ABM是等边三角形,所以∠M=60°,则∠EDM=30°,所以BD=MD=2ME=2,再证明∠BDF=∠F,得BF=BD=2.
【解答】(1)证明:连接OD,则OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,
∵AD平分∠CAB,
∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,
∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,
∴∠ODF=∠AED=90°,
∵OD是⊙O的半径,且DE⊥OD,
∴直线DE是⊙O的切线;
(2)解:∵线段AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=90°,
∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°,
∵∠DAM=∠DAB,
∴∠M=∠ABM,
∴AB=AM.
∵∠AEF=90°,∠F=30°,
∴∠BAM=60°,
∴△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°;
(3)解:∵∠DEM=90°,∠M=60°,ME=1,
∴∠EDM=30°,
∴MD=2ME=2,
∴BD=MD=2,
∵∠BDF=∠EDM=30°,
∴∠BDF=∠F,
∴BF=BD=2.
24.(14分)如图,在△ABC中,D在边AC上,圆O为锐角△BCD的外接圆,连结CO并延长交AB于点E.
(1)若∠DBC=α,请用含α的代数式表示∠DCE;
(2)如图2,作BF⊥AC,垂足为F,BF与CE交于点G,已知∠ABD=∠CBF.
①求证:EB=EG;
②若CE=5,AC=8,求FG+FB的值.
【分析】(1)根据圆周角定理即可解决问题;
(2)①结合(1)利用三角形内角和定理即可解决问题;
②作EM⊥BE,EN⊥AC,证明四边形EMFN为矩形,再根据线段的和差即可解决问题.
【解答】(1)解:如图,连结OD,
∵∠DOC=2∠DBC=2α,
又∵OD=OC,
∴∠DCE=90°﹣α;
(2)①证明:∵∠ABD=∠CBF,
∴∠EBG=∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=∠DBC,
设∠DBC=α,
由(1)得:∠DCE=90°﹣α,
∵BF⊥AC,
∴∠FGC=∠BGE=α,
∴∠EBG=∠EGB,
∴EB=EG;
②解:如图,作EM⊥BE,EN⊥AC,
由①得:∠EBG=α,∠ACE=90°﹣α,
∵BF⊥AC
∴∠A=90°﹣α,
∴AE=CE=5,
∵EN⊥AC,AC=8,
∴CN=4,
∴EN=3,
∵EM⊥BF,NF⊥BF,EN⊥AC,
∴四边形EMFN为矩形,
∴EN=MF=3,
∵EB=EG,EM⊥BG,
∴BM=GM,
∴FG+FB=FM﹣MG+FM+BM=2FM=6.
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