初中数学人教版八年级上册第十二章 全等三角形12.2 三角形全等的判定一课一练

专题12.2  手拉手模型

【典例1】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

（1）问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；

（2）拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 　   　；线段BE与AD之间的数量关系是 　   　；

（3）解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．

【思路点拨】

（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；

（2）同（1）法，判断出△BAD≌△CAE，得出AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，最后用角的差，即可得出结论；

（3）同（2）的方法，即可得出结论．

【解题过程】

解：（1）∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）∵△ABC和△CDE均是等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，

∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，

∴∠ACD＝∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，

∵∠CDE＝60°，

∴∠BEC＝∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，

∵∠CED＝60°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°，

故答案为：60°，BE＝AD；

（3）AE＝BE+2CM，理由：

同（1）（2）的方法得，△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE＝∠CED＝45°，

∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°，

∴∠BEC＝∠ADC＝135°，

∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°，

∵CD＝CE，CM⊥DE，

∴DM＝ME，

∵∠DCE＝90°，

∴DM＝ME＝CM．

∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．

1．（2021春•鄄城县期末）如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝（　　）

A．55° B．50° C．45° D．60°

2．（2020秋•饶平县校级期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则

下列结论，其中正确的是（　　）

①△AFB≌△AEC；

②BF＝CE；

③∠BFC＝∠EAF；

④AB＝BC．

A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④

3．（2021秋•民权县期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝44°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝44°；②AF＝AC；③∠EFB＝44°；④AD＝AC，正确的个数为（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

4．（2021秋•南平期末）已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（2021秋•北海期末）如图，∠1＝∠2＝30°，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为 　   　．

6．（2021秋•铁东区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ACB＝∠ABC＝70°，∠AED＝∠ADE，则∠BDC的度数为 　   　．

7．（2021秋•上城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ACE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE，DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为 　   　．

8．（2021春•西安期末）如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE＝　   　．

9．（2021秋•双峰县期末）如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有　   　．

10．（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

求证：∠ABD＝∠ACE．

11．（2021秋•新吴区期末）如图，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．

（1）求证：△ABD≌△ACD；

（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．

12．（2020秋•萧山区期末）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．

（1）求证：AC＝BD．

（2）求∠APB的度数．

13．（2021秋•长沙期末）如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．

（1）求证：CD＝BE；

（2）求∠CFB的度数．

14．（2021秋•长沙县期末）如图，已知在四边形ABCD中，点E在BC上，使∠AEB＝∠ADC，连接AC，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：△ABE≌△ACD；

（2）若∠BAC＝90°，连接ED，求∠AED的度数．

15．（2021秋•德江县期末）某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

（2）试说明：DC与BE的位置关系．

16．（2021秋•太康县期末）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，联接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　   　度．

（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．

①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．

②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．