2022-2023学年上海市洋泾中学高二下学期期中数学试题含解析

上海市洋泾中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有__________种排法．

【答案】12

【分析】运用排列数计算即可.

【详解】由题意知，从4本不同的书中选出2本排成一列共有种排法.

故答案为：12.

2．某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上的经验概率为__________．

【答案】0.1

【分析】根据经验概率的计算公式即可算出答案。

【详解】因为抛硬币100次，其中10次正面向上，

所以正面向上的经验概率为.

故答案为：0.1.

3．双曲线的离心率__________．

【答案】2

【分析】由双曲线的方程写出、的值，再由离心率公式求得结果.

【详解】由题意知，，，

所以.

故答案为：2.

4．已知圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的体积为__________．

【答案】

【分析】求出底面半径，根据圆锥的体积公式计算即可.

【详解】圆锥的高为，母线长为，则底面半径，

圆锥的体积.

故答案为：.

5．函数的驻点个数为__________．

【答案】2

【分析】先求导，然后判断出导函数方程为零的解的个数即可求出驻点个数.

【详解】，

，

，

方程有2个解

所以函数的驻点个数为2.

故答案为：2

6．已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为__________．

【答案】

【分析】根据函数，求导，再令求解即可.

【详解】解：由可得，

由得，

，所以点坐标为，

故答案为：

7．甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为，已知两人的投中互为独立事件，则两人中至少有一个人投中的概率为__________．

【答案】0.9/

【分析】由条件计算两人都没有投中的概率，再得两人至少有一人投中的概率.

【详解】由题，两人都没有投中的概率为，

所以两人中至少有一个人投中的概率.

故答案为：0.9.

8．已知， ，则__________．

【答案】/0.75

【分析】由条件概率公式求解即可.

【详解】由题意得，

而，得，

而，解得，

故答案为：.

9．已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________.

【答案】/

【分析】将圆转化成参数方程，等价于，结合数量积公式和辅助角公式即可求解.

【详解】因为点是圆上的动点，可设为，又因为、、，则，

，

，

因为，所以，

所以.

故答案为：

10．已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】由已知构造函数，并得出函数在上单调递减，再求解不等式即可.

【详解】令，则在上恒成立，

所以在上单调递减.

又，即，

又，即，

所以，解得，

所以不等式的解集为．

故答案为：.

【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.

二、单选题

11．对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（    ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围，结合两集合的包含关系判断即可.

【详解】因为“方程的曲线是椭圆”，则，

又因为，但，

所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.

故选：B.

12．著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据已知条件可得，结合圆柱与球的体积公式计算即可.

【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，

则其轴截面如图所示，

则，

所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，

所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.

故选：D.

13．某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率.

【详解】每列相邻的LED灯共5对，共有6列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有种，

所以这2头故障LED灯相邻的概率为.

故选：A.

14．已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，使得成立，可得函数的值域包含的值域.利用二次函数的性质与导数分析和时，函数的单调性，进而求得的值域和的值域，从而求解.

【详解】由，使得成立，

则函数的值域包含的值域.

当时，函数开口向上，对称轴，

所以在上单调递减，且，

所以；

当时，，则，

①若，当时，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

所以，即，解得；

②若，则，在上单调递增，

此时值域为，符合题意.

③当时，的值域为，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围为.

故选：B.

三、解答题

15．已知，其中．

(1)求实数的值；

(2)求的值．

【答案】(1)9

(2)19682

【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解；

（2）利用赋值法，令求得所有项的系数和，再令得到，即可得出答案.

【详解】（1）二项式的展开式的通项公式为，

又，则令得：，解得：，

所以的值为.

（2）由（1）得：，

令得：，

令得：，

则.

16．如图，长方体中，，，点为棱的中点．

(1)求证：直线∥平面；

(2)求直线与直线所成角的大小．（用反三角表示）

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，按照空间向量的坐标运算即可求解直线与平面所成的角．

【详解】（1）证明：设交BD于点O，连接PO，

因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点，又因为P为的中点，

所以，又因为平面PAC，平面PAC，

所以平面PAC.

（2）以D为原点，建立如图空间直角坐标系，

则，，，，，

因为，，

设直线与直线PB所成的角为，

则，

所以直线与直线PB所成的角为.

17．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同两点，．

(1)求抛物线的方程；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得双曲线的左焦点为，设抛物线的方程为，所以，由此可求得抛物线的方程；

（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用抛物线定义及，得出的关系，与韦达定理结合可求得.

【详解】（1）双曲线，即，可知左焦点为，

故抛物线的准线方程为，

又因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，

设抛物线的方程为，所以，解得，

所以抛物线的方程为；

（2）抛物线的方程为，则其焦点，

设直线的方程为，，

由，可得：，

，，

根据抛物线定义，，

，

又，

代入得

(舍)或 ，

.

18．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．

(1)①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为， 定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；

(2)若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小（直接写出结果）．

【答案】(1)①20次；②分布列见解析；期望为

(2)

【分析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解；

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

 (2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.

【详解】（1）①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意， 可以取20，30，

，，

则X的分布列:

所以；

（2）由题意，Y可以取25，30，

两名感染者在同一组的概率为， 不在同一组的概率为，

则.

19．已知函数,其中.

(1)求函数在点的切线方程;

(2)函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;

(3)若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2),不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点

(3)

【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;

(2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可;

(3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围.

【详解】（1）解:由题知,

,

所以在点的切线方程为,

即;

（2）设,定义域,

,

当时,恒成立,

所以在单调递增,

所以不存在极值点,

当时,令，

当时,，

当时,，

所以在单调递减,在单调递增,

所以函数存在一个极小值点,无极大值点,

综上:时,不存在极值点,

时,存在一个极小值点,无极大值点;

（3）由题知原不等式,

可化为,

当时,恒成立,

当时,

即,

由(2)知在有最小值,

所以,

,

,

,

,

即,

,,

综上: .

【点睛】方法点睛:该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:

(1)若，恒成立，则只需;

(2) 若，恒成立，则只需;

(3) 若，恒成立，则只需;

(4) 若，恒成立，则只需;

(5) 若，恒成立，则只需;

(6) 若，恒成立，则只需;

(7) 若，恒成立，则只需;

(8) 若，恒成立，则只需.