2022-2023学年上海市洋泾中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市洋泾中学高一上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知集合，，则_______.

【答案】

【分析】根据N表示的自然数集，以及交集的定义计算即可.

【详解】解：已知，则B表示自然数集，

所以，

故答案为：.

2．“且”的否定形式为_______.

【答案】或

【分析】根据原命题的否定的定义可直接写出结论.

【详解】原命题的否定形式为：“或”.

故答案为：或.

3．关于的函数且恒过定点_______.

【答案】

【分析】利用指数函数的性质即可求出函数的定点坐标.

【详解】根据题意，令，解得，此时，所以关于的函数恒过定点.

故答案为：.

4．已知函数，则 _______.

【答案】2

【分析】根据分段函数特点逐步代入即可.

【详解】

.

故答案为：2.

5．函数的单调递减区间为___________.

【答案】(或都对)

【解析】利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；

【详解】令，则，

在单调递减，在单调递增，

根据复合函数的单调性可得：在单调递减，

故答案为：.

6．已知函数，则 _______.

【答案】

【分析】根据换元法，令得，代入题中条件，即可得出结果.

【详解】令，则，

，

所以.

故答案为：.

7．方程的解集为_______.

【答案】

【分析】对分四种情况讨论得解.

【详解】解：当时，原方程可以化为；

当时，原方程可以化为

因为，所以此时方程无解；

当时，原方程可以化为

因为，所以此时方程无解；

当时，原方程可以化为.

综上所述，方程的解集为.

故答案为：

8．关于的不等式的解集为 _______.

【答案】

【分析】构造函数，根据其单调性解不等式即可.

【详解】函数，单调递增，

解之：

故答案为：

9．函数的值域为______.

【答案】

【分析】利用换元法和指数函数单调性即可求得函数的值域

【详解】函数的定义域为R，令，则，

由的值域为，可得函数的值域为

故答案为：

10．已知函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【分析】根据一次函数与二次函数的单调性，结合分段函数区间端点的函数值大小关系求解即可.

【详解】由题意，一次函数系数为正，且分段函数区间端点的函数值满足不等关系，有，即，解得.

故答案为：

11．已知函数，，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则的取值范围是_______.

【答案】

【分析】根据图象，以及函数关系，得到，，代入后转化为二次函数求取值范围.

【详解】如图，若关于的方程恰有4个不同的实数根，则 ，，，

即，则，

， ，

所以的取值范围是.

故答案为：

12．已知函数，若，则的取值范围为_______.

【答案】

【分析】先由的解析式得到为偶函数，且在单调递增，在单调递减，再将题给不等式转化为对数不等式，解之即可求得的取值范围

【详解】函数，

则为偶函数，其图像关于y轴轴对称，

且在单调递增，在单调递减

则等价于，即或

解之得或

故答案为：

二、单选题

13．已知函数的定义域为，则“函数为奇函数”是“”的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】A

【分析】根据奇函数的定义结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】若函数为上的奇函数，则，

若，不能推出函数为奇函数，如，

所以“函数为奇函数”是“”的充分非必要条件.

故选：A.

14．下列函数中，既是增函数又是奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用增函数和奇函数的定义结合函数图像求解即可.

【详解】由指数函数的图像可得为定义在上的增函数，且为非奇非偶函数，A错误；

由对数函数的图像可得为定义在上的增函数，且为非奇非偶函数，B错误；

由幂函数的图像可得为在和上的减函数，且为奇函数，C错误；

为定义在上的增函数，且为奇函数，D正确；

故选：D

15．已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意结合函数的奇偶性确定函数的单调性，画出函数简图，讨论，，三种情况，解得答案.

【详解】任意的，有，则函数在上单调递增，

函数为定义在上的奇函数，故函数在上单调递增.

，故，又，画出函数简图，如图所示：

当时，，即，；

当时，，即，；

当时，不成立.

综上所述：.

故选：A

16．记，已知均是定义在实数集上的函数，设，有下列两个命题：

①若函数都是偶函数，则也是偶函数；

②若函数都是奇函数，则也是奇函数．

则关于两个命题判断正确的是（    ）

A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误

【答案】B

【分析】对于①，根据偶函数的定义判断；对于②，举反例即可.

【详解】对于①，若函数都是偶函数，则，所以 ，所以也是偶函数；命题①正确；

对于②，若函数都是奇函数，如都是R上的奇函数，

而不是定义在R上的奇函数，命题②错误；

故选：B.

三、解答题

17．设集合A为函数的定义域，集合为函数的定义域，若，求实数的取值范围.

【答案】

【分析】先由具体函数定义域的求法得到集合，再由得到，从而利用数轴法求得的取值范围.

【详解】因为集合A为函数的定义域，

所以，

因为集合为函数的定义域，

所以，

因为，所以，又，

所以由数轴法得，解得，

所以，即的取值范围为.

18．已知为方程的两个实根，且，.

(1)将表示为关于的代数式；

(2)比较与的大小.

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）利用韦达定理与完全平方公式即可得解；

（2）先利用判别式求得，再利用作差法得到，分类讨论，与即可得到与的大小.

【详解】（1）因为为方程的两个实根，

所以，

所以，.

（2）依题意得，，即，

因为，

所以当时，，则；

当时，，则；

当时，，则.

19．已知函数是上的奇函数，．

(1)求的值．

(2)用定义证明：函数是上的严格增函数．

【答案】(1)1

(2)详见解析.

【分析】（1）根据是上的奇函数，由成立求解；

（2）任取，且，判断的符号即可.

【详解】（1）解：因为函数是上的奇函数，

所以，即，

所以，

解得；

（2）由（1）知：，

任取，且，

则，

因为，

所以，

因为，

所以，

所以，

即，

所以函数是上的严格增函数.

20．双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产千辆新能源汽车可得销售收入（万元），其中该公司预计2022年全年其他成本总投入万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.设2022年的全年利润为（单位：万元）．

(1)求函数的解析式；

(2)当2022年产量为多少辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．

【答案】(1)

(2)产量为3000辆，最大利润是390万元，理由见解析

【分析】（1）根据，化简即可得解；

（2）和两种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式即可得出答案.

【详解】（1）由已知，，

又，

，

整理得：；

（2）当时，，

则当时，，

当时，

，

当且仅当，即时，，

∵，∴最大值为390，

故当2022年产量为3000辆，该企业利润最大，最大利润是390万元．

21．设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.

(1)求函数的解析式:

(2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.

(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)是“A佳”函数，区间为；

(3).

【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；

（2）求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可；

（3），则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．

【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数，

所以，解得，

所以函数的解析式为．

（2）由(1)知，，函数的定义域为，

又，所以函数的值域为，

则存在，使得在上的值域为，

故函数为“A佳”函数.

因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，

有，解得或，或，

故“A佳”函数的区间为；

（3），，则在上单调递减，

因为是“A佳”函数，所以，

令，，则，，

所以，有，即，

因为，所以，所以，得，

所以，代入，

得，

因为，所以，得，

令，，

所以，又该函数在上单调递减，

所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.