2022-2023学年上海市黄浦区高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年上海市黄浦区高二下学期期末数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．直线与直线的夹角为 ；
【答案】
【分析】分别求出两直线的斜率，再由两角差的正切公式求出夹角.
【详解】因为直线的斜率为，
直线的斜率为，
设两直线的夹角为，则，，
所以.
故答案为：.
2．两直线与平行，则的值是 ；
【答案】
【分析】根据直线平行的充要条件即可求出．
【详解】因为两直线与平行，
当时，显然与不平行，
当时，有，解得，
故答案为：．
3．双曲线过点，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据离心率得出的关系，代入点求解即可.
【详解】因为双曲线离心率为2，所以，所以，即，
点代入双曲线方程得：，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
故答案为：
4．双曲线的右焦点F到其一条渐近线的距离为 ．
【答案】2
【分析】求出右焦点和渐近线方程，由点到直线距离公式求出答案.
【详解】的右焦点为，渐近线方程为，
不妨取，则右焦点F到其一条渐近线的距离为.
故答案为：2
5．设直线与圆相交所得弦长为，则 ；
【答案】
【分析】利用点线距离公式与圆的弦长公式即可得解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线，即的距离，
由圆的弦长公式，即，得，
所以，解得，
经检验，满足题意，所以.
故答案为：.
6．已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为 ．
【答案】9
【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故答案为：9.
7．已知无穷数列满足，且，则 .
【答案】4
【分析】由已知求得数列的首项，判定为等比数列，利用等比数列的前项和求得，取极限即得.
【详解】∵，，，
∴数列是首项为2，公比为的等比数列，
所以，
故答案为：4
8．在正项等比数列中，有，则 ；
【答案】
【分析】利用等比数列的性质求解即可.
【详解】因为是正项等比数列，则，，
所以由得，即，
又，所以.
故答案为：.
9．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，该书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长次成等差数列，若立春的日影子长是12.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子为 尺；
【答案】/
【分析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，从而求出所求项即可.
【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为，
则立春的日影子长为第项，芒种的日影子长为第项，立夏的日影子为第项，
所以，解得，
则，
所以立夏的日影子长为尺.
故答案为：.
10．已知数列满足，，则 .
【答案】
【分析】根据给定的递推公式，构造等比数列求出通项公式作答.
【详解】由，得，由，得，
因此数列是首项为3，公比为2的等比数列，则，
所以.
故答案为：
11．已知在区间上，如图所示的图像中， 有可能表示函数的图像.

【答案】①
【分析】利用导数的几何意义，结合图形即可得解.
【详解】因为在区间上，
所以在上，切线的斜率始终大于，仅①满足．
故答案为：①.
12．设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】9x﹣y﹣16=0．
【分析】求出导函数，由导函数是偶函数（利用二次函数性质）求得值，再计算得切线斜率，同时计算出，然后由点斜式得切线方程，整理即可．
【详解】因,由题设对称称轴,即,故，，由点斜式方程可得,即,
故答案为：．
二、单选题
13．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相离C．内含D．内切
【答案】D
【分析】先分别求出两圆的圆心坐标和半径，求出两圆心间的距离与两半径的和与差进行比较，得出答案
【详解】圆即，则圆心为 ，半径为1
圆即，则圆心为 ，半径为3
两圆心间的距离，所以两圆的位置关系为内切，
故选：D．
14．已若是等差数列，则由下列关系确定的数列也一定是等差数列的是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用等差数列定义直接判断即可.
【详解】由是等差数列，可设，若，则，满足题意.
故选C
【点睛】判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：
1．定义法：（常数）（）是等差数列．
2．递推法：（）是等差数列．
3．性质法：利用性质来判断．
4．通项法：（为常数）是等差数列．
5．求和法：（为常数，为的前项的和）是等差数列．
15．已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的斜率是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由题设条件可求得等差数列的公差，再利用斜率的坐标计算公式即可求解
【详解】由题意得：解之得
直线的斜率
故选：B
16．若函数在上单调递增，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，故只需保证，解得．故选C．
【解析】三角变换及导数的应用
【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解的关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,即注意正、余弦函数的有界性.
三、解答题
17．已知数列的前项和为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的最大值及取得最大值时的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）前16项或前17项和最大，最大值为.
【解析】（1）先由求通项公式，再利用定义法证明即可；
（2）先判断的n的范围，得到数列的正负分布，即得何时最大.
【详解】解：（1）证明：当时，，
又当时，，满足，
故的通项公式为，
∴.
故数列是以32为首项，为公差的等差数列；
（2）令，即，解得，
故数列的前16项或前17项和最大，
此时.
18．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.
【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）设，利用导数说明其单调性，即可得到的单调性，从而得到其最值；
【详解】解：（1）因为，所以，.
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设，则.
当时，，所以在区间上单调递减.
所以对任意有，
即.
所以函数在区间上单调递减.
因此在区间上的最大值为，最小值为.
19．在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立关于的等式，解出即可求得抛物线方程；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，将数量积用表示，再由建立方程，即可求解．
【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）根据题意可设直线的方程为，

联立，得，
设，，，，则，，
，
，
解得，此时都有，
，直线的方程为，
即．
20．椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若为直角三角形，求的面积；
(3)若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在；
【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，再根据椭圆的离心率公式即可得解；
（2）分和两种情况讨论，结合椭圆的定义即可得解；
（3）设，则直线，再根据已知可得，，化简，再根据韦达定理结合求得的关系，即可得出结论.
【详解】（1）由椭圆的方程为，得标准方程为，
则，故，
所以离心率；
（2）设，，
当时，，
此时，
由对称性，不妨设，且在第一象限，
令，得，则，
此时，
综上，的面积为或；
（3）设，则直线，
由已知，
同理：，
因而，是方程的两根，
所以，得，
又点为椭圆上的动点，
所以，则，
由在第一象限得，所以，
所以存在，.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系；
④消去变量，得到定量关系.
21．设函数是定义在上的函数，若存在，使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，称为峰点，称为含峰区间，
(1)判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：，；
(2)若函数是区间上的单峰函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)不是,上的单峰函数；是,上的单峰函数，其峰点为；
(2)
【分析】（1）根据题意，由“单峰函数”的定义，分析两个函数是否是“单峰函数”，即可得答案；
（2）根据题意，求出函数的导数，由“单峰函数”的定义，分析可得的值在区间,上先正后负，分与两种情况讨论，综合可得答案．
【详解】（1）对于，有，在区间,上是增函数，
则不是,上的单峰函数，
对于，有，
在区间,上，，是增函数，在区间,上，，是减函数，
故是,上的单峰函数，其峰点为；
（2）根据题意，若函数是区间，上的单峰函数，
则在在区间,上先增后减，
其导数，则的值在区间,上先正后负，
若，，在区间,上为减函数，不符合题意；
若，设，则在区间,上恒成立，所以为区间,上的增函数，且，，
若，则，则的值在区间,上先负后正，不符合题意，
若，则，则的值在区间,上恒小于或等于0，不符合题意，
若，则，则的值在区间,上恒大于或等于0，不符合题意，
故在区间,上不存在，满足的值在区间,上先正后负，
综合可得：不存在实数，使函数是区间,上的单峰函数，即实数的集合为．