2022-2023学年甘肃省天水市高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省天水市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求.

【详解】由题设，或，

所以.

故选：B

2．在数列中，，，若，则等于（    ）

A．671 B．673 C．674 D．675

【答案】C

【分析】由题意可知是以为首项，为公差的等差数列，求得通项公式，从而可求解.

【详解】由，得，即是以为首项，为公差的等差数列，

故，由，解得．

故选：C．

3．若 的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则该展开式中的常数项为（    ）

A．10 B．20 C． D．

【答案】D

【分析】首先利用求出，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.

【详解】根据题意可得，解得，

则展开式的通项为，

令，得，

所以常数项为：.

故选：D.

4．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ）

A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系

【答案】C

【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对；

对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；

对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；

对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对.

故选：C.

5．已知，，（其中为自然对数的底数），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小可得答案.

【详解】因为，所以；

因为，；

因为，.

∴，

故选：D.

6．如图，在平行六面体中，，，，，，，则用表示及线段的长为分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】用向量的线性运算可直接求得；求整体的模长可平方再开根.

【详解】在平行六面体中，，，，，，

∵，

∴

,

∴．

故选:C．

7．某班有甲、乙等5个学生分配到人工智能、航天、生物科技三个竞赛活动的社团服务，其中甲、乙两同学必须在一个组，每组至少1人参加，则不同分组方法有（ ）种

A．48 B．36 C．24 D．18

【答案】B

【分析】分两种情况：甲、乙两人为一组，和甲、乙和另外一人共三人为一组，结合排列组合运算求解.

【详解】按甲、乙两人为一组，和甲、乙和另外一人共三人为一组分成两类，

若甲、乙两人为一组，其它组为2人和1人，一共有种；

若甲、乙和另外一人共三人为一组，其它各组各1人，一共有种；

所以一共种.

故选：B.

8．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求导得到范围A，再分，，三种情况讨论得范围B，最后根据条件得A与B包含关系，计算得到答案.

【详解】由，得，所以，

由，得，设该导函数值域为B，

(1)当时，导函数单调递增，，

由题意得

故，解得；

(2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去；

（3）当时，不符合题意.

综上所述：的取值范围为.

故选：.

【点睛】本题考查了函数的切线问题，根据直线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、多选题

9．已知复数，则（    ）

A．

B．

C．

D．复数在复平面内对应的点在第二象限

【答案】ABD

【分析】根据复数代数形式的除法运算求出，根据模长公式求出可知A正确；根据共轭复数的概念求出，可知B正确；求出，可知C不正确；根据复数的几何意义可知D正确.

【详解】，

，故A正确；

，故B正确；

，故C不正确；

复数在复平面内对应的点为，该点位于第二象限，故D正确.

故选：ABD

10．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作．某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工甲抽取到的3件产品中次品数量为，员工乙抽取到的3件产品中次品数量为，．则下列判断正确的是（    ）

A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布

C． D．

【答案】ABD

【分析】对于A，由二项分布的定义判断，对于B，由超几何分布的定义判断，对于CD，通过计算判断.

【详解】对于A，因为员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，所以随机变量服从二项分布，所以A正确，

对于B，因为员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品，所以随机变量服从超几何分布，所以B正确，

对于D，该批产品有件，则，

，所以D正确；

对于C，因为，，

若可得，与D矛盾！故C错误．

故选：ABD

11．某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项目．小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡．小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7．如果他们第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则小乐与好朋友（    ）

A．第二天去甲游乐场的概率为0.63

B．第二天去乙游乐场的概率为0.45

C．第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为

D．第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为

【答案】AC

【分析】设：第一天去甲游乐场，：第二天去甲游乐场，：第一天去乙游乐场，：第二天去乙游乐场，再利用全概率公式及条件概率公式及对立事件的概率关系即可判断各选项.

【详解】设：第一天去甲游乐场，：第二天去甲游乐场，

：第一天去乙游乐场，：第二天去乙游乐场，

依题意可得，，，，

对于A，，A正确；

对于B，，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，，D错误

故选：AC．

12．已知点O为△ABC内的一点，D，E分别是BC，AC的中点，则（    ）

A．若O为AD中点，则

B．若O为AD中点，则

C．若O为△ABC的重心，则

D．若O为△ABC的外心，且BC＝4，则

【答案】ABD

【分析】由为中点，结合平面向量的加法法则即可判断A，B；由重心的性质即可判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D．

【详解】对于A，因为为中点，所以，故A正确；

对于B，由为中点，则，故B正确；

对于C，由O为△ABC的重心，则根据三角形重心的性质得，所以，故C错误；

对于D，若点O为△ABC的外心，BC＝4，则根据三角形外心的性质得，

故，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题

13．如果，，那么      ．

【答案】

【分析】已知，利用同角三角关系可求出，再用和角的正弦公式打开即可.

【详解】因为，，则，

所以．

故答案为：.

14．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围      ．

【答案】

【分析】由题意求得所以，，从而求得，再根据直线与圆的位置关系可求得点到直线距离，再结合面积公式即可求解.

【详解】因为直线分别与轴，轴交于，两点，

所以，，因此．

因为圆的圆心为，半径，

设圆心到直线的距离为，

则，

因此直线与圆相离．

又因为点在圆上，

所以点到直线距离的最小值为，

最大值为，即，

又因为面积为，

所以面积的取值范围为．

故答案为：

四、双空题

15．2023年6月4日神舟十五号载人飞行任务取得圆满成功．费俊龙、邓清明、张陆这三位航天员在空间站上工作了186天，此次神船十五号载人飞船返回，是我国空间站转人应用与发展阶段后的首次返回任务，掀开了中国航天空间站的历史新篇章．某航空机械公司的研究院研发了一款新零件用于航天器，若这批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分，且，现从该批零件中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则      ，      ．

【答案】     /     /

【分析】先利用正态分布的性质求出1件产品的质量指标值不位于区间的概率，再根据二项分布的性质可求得结果.

【详解】解：由正态分布的性质得，

则1件产品的质量指标值不位于区间的概率为，

所以，故，，

故答案为：，

五、填空题

16．已知椭圆，双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆与双曲线的离心率之积为          ．

【答案】

【分析】利用条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率，利用渐近线的夹角求双曲线的离心率，从而得出答案．

【详解】如图

正六边形中，，直线即双曲线的渐近线方程为，

由椭圆的定义可得，所以椭圆的离心率，

双曲线的渐近线方程为，则，双曲线的离心率，

所以椭圆与双曲线的离心率之积为

【点睛】本题考查椭圆的定义和离心率，双曲线的简单性质，属于一般题．

六、解答题

17．已知函数，且．

(1)求的值和的最小正周期；

(2)求在上的单调递增区间．

【答案】(1)，

(2)，．

【分析】（1）由代值求解即可得，再利用三角恒等变换，化为一个三角函数，得到最小正周期；

（2）先令找到的增区间，再找到在上的增区间.

【详解】（1）由，得．

所以

．

所以的最小正周期.

（2）由得（），

所以的单调递增区间为（）．

当时，的单调递增区间为，

当时，的单调递增区间为，

所以在上的单调递增区间为，．

18．已知等差数列满足，，等比数列满足，．

(1)求与的通项公式；

(2)若，设，求的前项和．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）设的公差为，由题意可得，求得， ，进而可求；设的公比为，由题意可得，求得或，再分，两种情况求解即可.

（2）利用裂项相消法和分组求和法即可求解.

【详解】（1）设的公差为，因为，，

所以，解得，从而，

所以．

设的公比为，因为，则有

，，解得或，

当时，因为，所以，所以．

当时，因为，所以，所以．

（2）由（1）可知，若，则．

因为，所以，

所以，

所以．

19．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度（单位：℃）对某种鸡的时段产蛋量（单位：t）和时段投入成本（单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．

其中.

(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；

(3)已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？

附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.

②

【答案】(1)；

(2)；

(3)鸡舍的温度为℃时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432

【分析】（1）散点图的变化趋势不是线性的，所以更适宜；

（2）对函数两边取对数得，再根据数据可得，即可得到答案；

（3）将代入回归方程即可求鸡的时段产蛋量，继而求出时段投入成本的预报值

【详解】（1）根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选更适宜此散点的回归方程；

（2）由得，

令，

由图表中的数据可知，

，

关于的回归方程为；

（3）时，由回归方程得，，

即鸡舍的温度为℃时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432

20．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.

(1)求证：平面；

(2)若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)12

【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；

（2）由题意可建立以为坐标原点的空间直角坐标系，设分别求出平面和平面的法向量，由二面角公式代入解方程即可求出，进而求出的长.

【详解】（1）取中点，连接.

在中，分别为的中点，所以.

在菱形中，因为，

所以.

所以四边形为平行四边形，所以.

又因为平面平面，

所以平面.

（2）选择条件①：

因为平面平面，

所以.

又因为平面，

所以平面，又平面，

所以，

以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

连接，因为，所以，又为中点，所以，

所以为正三角形.因为，所以.

设，

则，

根据条件，可得平面的法向量为.

设平面的法向量为，

则，所以，

取，则，所以，

由题意，二面角的大小为，

所以，解得（舍负）.

因为是的中点，所以的长为12.

经检验符合题意.

选择条件②：

因为平面平面，

所以.

连接，因为，且，

所以，在菱形中，，即为正三角形.

又因为为中点，所以，

以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

又因为.

因为为正三角形且，所以.

设，

则，

根据条件，可得平面的法向量为.

设平面的法向量为，

则，所以，

取，则，所以，

由题意，二面角的大小为，

所以，解得（舍负）.

因为是的中点，所以的长为12.

经检验符合题意.

21．已知函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求在的最大值和最小值，并说明函数零点个数；

(3)求证：曲线在抛物线的上方．

【答案】(1)

(2)最大值为,最小值为，函数有2个零点．

(3)证明见解析

【分析】（1）由函数在某点处的切线求解.

（2）求导，利用导数研究函数的单调性、最值及零点个数.

（3）令，只需证明即可.

【详解】（1），切点

，

切线方程为．

（2），令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，，

所以函数的最大值为；最小值为．

，，所以函数有2个零点．

（3）证明：由题意只要证，即证，

令，则，

令，则，

则单调递增，，，

所以在内有唯一解，设为，即，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

故，，

根据二次函数的性质可知，对称轴，

所以二次函数在单调递减，

，

故曲线在抛物线的上方．

22．已知椭圆：的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线垂直于轴时．

(1)求椭圆的方程；

(2)作轴于点，作轴于点，直线交直线于点．

①求证：，，三点共线；

②求与的面积之比．

【答案】(1)

(2)①证明见解析；②1:1

【分析】（1）利用椭圆的通径及求出；

（2）①先设直线方程为：，联立椭圆，将每个点的坐标表示出来，要找

，，三点共线，只需证明.

②因为，先找到，将分别转换成即可求解.

【详解】（1）由题，直线，代入中，得，

故，所以．

又因为，，所以，

解得，即，．

所以椭圆的方程为．

（2）如图所示：

①设，，，,

直线方程为：，

，

，．

直线的方程为，

令，得，

所以，

，，

，

所以，，三点共线.

（2）因为，

与的面积之比1:1.