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2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高二上学期1月期末考试数学试题含答案
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这是一份2022-2023学年甘肃省天水市第一中学高二上学期1月期末考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角
【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．
故选：A．
2．椭圆 的焦距为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】直接利用计算焦距即可.
【详解】椭圆， ， ，故，焦距为.
故选：C
3．数列为等差数列，若,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列的性质可求得公差，根据通项公式运算得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，
所以.
故选：B.
4．若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据组合数的性质可得，结合排列数与组合数对计算即可.
【详解】由组合数的性质，得，
所以，
即，
解得或(舍去).
故选：C
5．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若线段的长是16，MN的中点到轴的距离是6，则值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】设中点为,过、、分别作准线的垂线，利用抛物线的可得，进而利用中位线定理得，从而得解.
【详解】设中点为,过、、分别作准线的垂线，如图所示：
则，，所以，
所以中位线，
所以则线段的中点到轴的距离为，
解得
故选：D.
6．展开式的常数项为（ ）
A．B．C．100D．220
【答案】A
【分析】先求得展开式的通项公式，分别求得展开式中常数项和项的系数，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，解得，
所以，
令，解得，
所以，
所以展开式的常数项为.
故选：A
7．若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设圆心，根据其与轴相切得到，再根据点到直线的距离等于半径得到关于的方程，解出即可.
【详解】设圆心，圆：，
依题意有，圆心到直线的距离为
解得或（舍去）.
所以圆的标准方程：.
故选：A.
8．已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解：，直线与直线的斜率均存在
直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为
对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
9．已知正项等比数列满足:，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】先利用等比数列的通项公式求得基本量，进而求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】设正项等比数列的公比为，，
由，得，则，
即，则，即，解得或（舍去），
又由得，即，所以，
又，所以=，
当且仅当，即时取等号.
故选：C.
10．已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，再表达出，结合双曲线的方程化简即可.
【详解】设，则，
.
故选：B
二、多选题
11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
【答案】ABD
【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误
对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有种选法
选化学，不选物理，有种选法
物理与化学都选，不选历史，有种选法
故总数为种，故D错误
故选：ABD
12．若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
【答案】ACD
【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有 种不同的分配方法．
【答案】150
【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得.
【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，
一是分成3,1,1然后分配，共有种分配方法，
二是分成2,2,1然后分配，共有种分配方法，
所以共有种分配方法.
故答案为：150.
14．已知数列的通项公式为，则的最小值为 ，此时n= ．
【答案】 －2 2或3
【分析】结合二次函数性质求解．
【详解】因为，所以当或时，取得最小值，为．
故答案为：；2或3．
15．若两圆和有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出两圆的圆心及半径，利用两圆不相离列出不等式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
依题意，两圆不相离，则，即，解得或
所以的取值范围是.
故答案为：
16．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为
【答案】
【分析】依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；
【详解】解：由圆，得到圆心，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
故答案为：
四、解答题
17．设数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据与的关系即得；
（2）根据等差数列的定义结合条件求出，然后利用分组求和法即得.
【详解】（1）因为，
所以，当时，，
当时，，
此时也满足上式，
所以；
（2）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，即，
.
18．已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直．
(1)求直线的方程；
(2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）解方程组求得点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理；
（2）由直线方程设，然后由可得．
【详解】（1）由得，即，
，∴，的方程为，即；
（2）设，由，解得或，
所以点坐标为或．
19．已知．
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)当时，最大的项的系数为；当时，最大的项的系数为
(2)
【分析】（1）根据题意得，求出或，分别求解即可；
（2）根据题意得，求解计算即可.
【详解】（1）由题意得，
所以．所以或，
当时，展开式中二项式系数最大的项是和．
所以的系数为，的系数为，
当时，展开式中二项式系数最大的项是．
所以的系数为．
（2）因为，所以．
所以或（舍去）．
设第项的系数最大，
因为，所以．
所以，
又，所以．所以展开式中系数最大的项为第11项，
．
20．已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．
(1)若﹐求直线l的方程：
(2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得；
（2）根据圆的性质结合平面几何知识可得，然后根据距离公式即得.
【详解】（1）由圆，可知圆心为，半径为2，
因为，直线，即，
所以，
解得或，
所以直线方程为或，
即或；
（2）由直线可知直线过定点，
又，可知，又直线，，
所以，
如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N，
所以，，
所以，即，
又，，
所以为定值，
若直线过圆心，则与重合，与重合，显然，
综上，为定值.
21．设是数列的前n项和，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和；
【答案】(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）首先根据与的关系得到，即可证明数列是等差数列；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
两边同除以得，
因为，所以，
因此数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）知，即，
∴，
∴
.
一、单选题
1．已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两点坐标求出斜率，即可得出倾斜角
【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．
故选：A．
2．椭圆 的焦距为（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】直接利用计算焦距即可.
【详解】椭圆， ， ，故，焦距为.
故选：C
3．数列为等差数列，若,，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由等差数列的性质可求得公差，根据通项公式运算得解.
【详解】设等差数列的公差为，由，
所以.
故选：B.
4．若，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据组合数的性质可得，结合排列数与组合数对计算即可.
【详解】由组合数的性质，得，
所以，
即，
解得或(舍去).
故选：C
5．已知直线过抛物线的焦点，且与该抛物线交于两点，若线段的长是16，MN的中点到轴的距离是6，则值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
【答案】D
【分析】设中点为,过、、分别作准线的垂线，利用抛物线的可得，进而利用中位线定理得，从而得解.
【详解】设中点为,过、、分别作准线的垂线，如图所示：
则，，所以，
所以中位线，
所以则线段的中点到轴的距离为，
解得
故选：D.
6．展开式的常数项为（ ）
A．B．C．100D．220
【答案】A
【分析】先求得展开式的通项公式，分别求得展开式中常数项和项的系数，化简计算，即可得答案.
【详解】由题意得展开式的通项公式为，
令，解得，
所以，
令，解得，
所以，
所以展开式的常数项为.
故选：A
7．若圆的半径为1，圆心在第三象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设圆心，根据其与轴相切得到，再根据点到直线的距离等于半径得到关于的方程，解出即可.
【详解】设圆心，圆：，
依题意有，圆心到直线的距离为
解得或（舍去）.
所以圆的标准方程：.
故选：A.
8．已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】有条件知，两直线的斜率均存在且不为0，写出它们的斜截式方程后再进行判断．
【详解】解：，直线与直线的斜率均存在
直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为
对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
9．已知正项等比数列满足:，若存在两项使得，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】C
【分析】先利用等比数列的通项公式求得基本量，进而求得，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】设正项等比数列的公比为，，
由，得，则，
即，则，即，解得或（舍去），
又由得，即，所以，
又，所以=，
当且仅当，即时取等号.
故选：C.
10．已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，再表达出，结合双曲线的方程化简即可.
【详解】设，则，
.
故选：B
二、多选题
11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
【答案】ABD
【分析】若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；若物理和化学至少选一门，有3种情况，分别讨论计算，可判断D错误．
【详解】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误
对于B，若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法
若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法
由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误
对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确
对于D，若物理和化学至少选一门，有3种情况，
只选物理不选历史，有种选法
选化学，不选物理，有种选法
物理与化学都选，不选历史，有种选法
故总数为种，故D错误
故选：ABD
12．若为等差数列，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是数列中的项
C．数列单调递减
D．数列前7项和最大
【答案】ACD
【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，
由，得，故B错误，
因为，所以数列单调递减，故C正确，
由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有 种不同的分配方法．
【答案】150
【分析】把5名医生分成3组，然后再分配即得.
【详解】根据题意，先把5名医生分成3组再分配，
一是分成3,1,1然后分配，共有种分配方法，
二是分成2,2,1然后分配，共有种分配方法，
所以共有种分配方法.
故答案为：150.
14．已知数列的通项公式为，则的最小值为 ，此时n= ．
【答案】 －2 2或3
【分析】结合二次函数性质求解．
【详解】因为，所以当或时，取得最小值，为．
故答案为：；2或3．
15．若两圆和有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出两圆的圆心及半径，利用两圆不相离列出不等式求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
依题意，两圆不相离，则，即，解得或
所以的取值范围是.
故答案为：
16．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线、，、为切点，则四边形的面积的最小值为
【答案】
【分析】依题意可得，由点到直线的距离公式结合勾股定理求出的最小值，即可求得四边形的面积的最小值；
【详解】解：由圆，得到圆心，半径
由题意可得：，，，
，
在中，由勾股定理可得：，
当最小时，最小，此时所求的面积也最小，
点是直线上的动点，
当时，有最小值，此时，
所求四边形的面积的最小值为；
故答案为：
四、解答题
17．设数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据与的关系即得；
（2）根据等差数列的定义结合条件求出，然后利用分组求和法即得.
【详解】（1）因为，
所以，当时，，
当时，，
此时也满足上式，
所以；
（2）因为数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，即，
.
18．已知直线和直线相交于点P，O是坐标原点，直线经过点P且与OP垂直．
(1)求直线的方程；
(2)求以O点为圆心10为半径的圆与直线的交点Q的坐标．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）解方程组求得点坐标，求出直线斜率后，由点斜式得直线方程并整理；
（2）由直线方程设，然后由可得．
【详解】（1）由得，即，
，∴，的方程为，即；
（2）设，由，解得或，
所以点坐标为或．
19．已知．
(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)当时，最大的项的系数为；当时，最大的项的系数为
(2)
【分析】（1）根据题意得，求出或，分别求解即可；
（2）根据题意得，求解计算即可.
【详解】（1）由题意得，
所以．所以或，
当时，展开式中二项式系数最大的项是和．
所以的系数为，的系数为，
当时，展开式中二项式系数最大的项是．
所以的系数为．
（2）因为，所以．
所以或（舍去）．
设第项的系数最大，
因为，所以．
所以，
又，所以．所以展开式中系数最大的项为第11项，
．
20．已知圆，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点，M为线段PQ的中点．
(1)若﹐求直线l的方程：
(2)若直线l与直线交于点N，直线l过定点A，求证：为定值．
【答案】(1)或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据圆的弦长公式结合条件即得；
（2）根据圆的性质结合平面几何知识可得，然后根据距离公式即得.
【详解】（1）由圆，可知圆心为，半径为2，
因为，直线，即，
所以，
解得或，
所以直线方程为或，
即或；
（2）由直线可知直线过定点，
又，可知，又直线，，
所以，
如图设，又M为线段PQ的中点，直线l与直线交于点N，
所以，，
所以，即，
又，，
所以为定值，
若直线过圆心，则与重合，与重合，显然，
综上，为定值.
21．设是数列的前n项和，且．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列的前n项和；
【答案】(1)详见解析；
(2).
【分析】（1）首先根据与的关系得到，即可证明数列是等差数列；
（2）利用裂项相消法求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
两边同除以得，
因为，所以，
因此数列是首项为，公差为的等差数列；
（2）由（1）知，即，
∴，
∴
.
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