2022-2023学年甘肃省临夏回族自治州高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省临夏回族自治州高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．计算：（    ）

A． B．0

C． D．1

【答案】B

【分析】常数的导数为.

【详解】.

故选：B

2．在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）存在函数关系，则该运动员在时的瞬时速度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导数的物理意义可求出结果.

【详解】，，

所以运动员在时的瞬时速度为.

故选：C.

3．在空间直角坐标系中，若，，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由，得求出，从而可求出的坐标，进而可求出其模

【详解】因为，，且，

所以，得，

所以，所以，

所以，

故选：B

4．在某项测量中，测量结果服从正态分布，若，则（    ）

A．0.14 B．0.16

C．0.28 D．0.32

【答案】D

【分析】根据正态分布的对称性可求出结果.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：D

5．为响应“书香临夏、悦享阅读”活动，某校开展语文教师课文朗诵比赛．已知男女教师人数相同，有的男教师和的女数师擅长中华诗词朗诵，现随机选一位教师，这位教师恰好擅长中华诗词朗诵的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据全概率公式可求出结果.

【详解】设“男教师”，“女教师”，“擅长中华诗词朗诵”，

则，，，

则

.

故选：B

6．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ）

A．1 B．2

C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为，所以，

所以

，

又，所以，则.

故选：A

7．根据国家统计局统计，我国2018—2022年新生儿数量如表：

依据表中的数据可以看出，可用线性回归模型拟合新生儿数量与年份编号的关系，经计算与的线性回归方程为，请预测2023年我国新生儿的数量约为（    ）

A．880.2万人 B．796.3万人

C．780.1万人 D．786.2万人

【答案】C

【分析】先求出，，，得回归直线方程，再代入可得结果.

【详解】，，

所以，

当时，.

故2023年我国新生儿的数量约为万人.

故选：C

8．已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】转化为，即在上恒成立可求出结果.

【详解】的定义域为，

，

因为在上单调递增，所以，即在上恒成立，

因为，当且仅当时，等号成立，

所以.

故选：A

二、多选题

9．下列函数求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据基本初等函数的导数公式以及求导法则计算可得答案.

【详解】对于A，，，故A错误；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.

故选：BD

10．设某项试验成功率是失败率的2倍，若用随变量描述一次试验的成功次数，，分别为随机变量的均值和方差，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】求出试验成功的概率，然后一次试验中成功的次数为X概率，最后求出随机变量X的数学期望、方差，逐个选项分析即可；

【详解】设试验成功的概率为，解得：；

记一次试验中成功的次数为X，则的取值有0,1，

,选项A正确；

则随机变量X的数学期望,

选项B正确；

选项C正确；

选项D错误；

故选：ABC.

11．已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减

C．函数在处取得极大值 D．函数共有两个极小值点

【答案】BCD

【分析】利用导函数的图象，根据导数的符号判断单调性，根据极值和极值点的概念可得答案.

【详解】当时，，当时，，所以函数在上先减后增，故A错误；

当时，，所以函数在上单调递减，故B正确；

因为在左侧附近导数为正，右侧附近导数为负，所以函数在处取得极大值，故C正确；

因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，因为在左侧附近导数为负，右侧附近导数为正，所以函数在处取得极小值，则函数共有两个极小值点，故D正确.

故选：BCD

12．如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（    ）

A．

B．

C．异面直线与所成角的余弦值为

D．点到直线的距离为

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；

【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，

，选项A正确；

，

所以

根据三角函数两角正余弦关系解得：

，选项B正确；

，

选项C错误；

点到直线的距离为：，

而

所以选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；

三、填空题

13．已用，，则在方向上的投影向量为          ．

【答案】

【分析】用在方向上的投影乘以与同向的单位向量可得结果.

【详解】在方向上的投影向量为.

故答案为：

14．函数在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.

【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则，

所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即

故答案为：

15．临夏刺绣是传统民间工艺，历史悠久，享有“一针一世界，一绣一繁华”的美誉，2018年被列为市级非物质文化遗产名录、刺绣精巧别致、种类多样．现有两人都准备从“床布、门帘、中堂、墙帱”四个物体中随机购买一个，设事件为“两人至少有一人购买墙帱”，事件为“两人选择的物件不同”，则          ．

【答案】

【分析】根据条件概率公式可求出结果.

【详解】，，

所以.

故答案为：.

16．在数学中用符号“”表示“连乘”，类似于表示“连加”，例如：，已知函数，记为的导函数，若，则          ．

【答案】

【分析】设，则，可求出；设，则，可求出.

【详解】，

设，则，

，

所以，

设，则，

，

所以，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，点在边上，且，为的中点．以，，分别为轴，轴，轴的正方向，井以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求：

(1)直线的一个方向向量；

(2)点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到点的坐标，可得直线的一个方向向量；

（2）根据点面距的向量公式可求出结果.

【详解】（1）依题意得，，

所以为直线的一个方向向量.

（2），，， ，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，，则，

所以点到平面的距离为.

18．某高科技产品研发中心组织“科技创新知识挑战赛”，组委会共设计10道不同的参赛题目．比赛规定：每个参赛队从这10道题中随机抽取3道题进行现场答题，若答对其中2道及以上即为挑战成功．现有甲、乙两队参加比赛，根据平时经验，甲队能正确完成其中的6道题，乙队能正确完成每道题的概率为．求：

(1)乙队挑战成功的概率；

(2)甲队正确完成题目个数的分布列和期望，并说明哪个队挑战成功的可能性更大．

【答案】(1)；

(2)详见解析；

【分析】(1)    根据古典概型的频率计算即可；

(2)    列出甲队正确完成题目个数的分布列，根据分布列计算的概率，然后甲乙两队比较

【详解】（1）设乙队正确完成的题目数为,则

,

所以乙队挑战成功的概率为：

；

（2）由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,

，

故的分布列为：

,

甲队挑战成功的概率为：

因为，所以甲队挑战成功的可能性更大.

19．给出条件：①是函数的一个极值点；②的一个零点为．从这两个条件中任意选择一个作为题中的条件，并给出解答．

【注】若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．

已知函数的导函数为，且__________．

(1)求；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)函数在区间上的最大值为，最小值为.

【分析】（1）若选①，由可得，再验证；若选②，由，得；

（2）由导数得函数单调性，根据单调性可得最值.

【详解】（1），

若选①，，得，

当时，，

令，得，令，得或，

所以在上为减函数，在，上为增函数，

所以是函数的一个极值点，符合题意，

所以.

若选②，，得.

（2）由（1）知，，， ，

令，得，令，得或，

所以在上为减函数，在，上为增函数，

当时，在上为增函数，在上为减函数，上为增函数，

因为，，，，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为.

20．如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，点为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连交于，根据中位线平行以及线面平行的判定定理可证；

（2）根据三棱锥的体积为，求出，以为原点，以，，的正方向分别为轴建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量可求出结果.

【详解】（1）连交于，则为的中点，

因为为的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为底面为正方形，底面，点为的中点．，

所以，

所以，

以为原点，以，，的正方向分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

，，，，

设平面的一个法向量为，

则，取，得，，则，

设平面的一个法向量为，

则，，取，得，则，

所以，

由图可知，二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

21．为了考察某种新疫苗预防疾病的作用，科学家对小白鼠进行试验，所得数据（单位：只）如表所示：

(1)能否有的把握认为接种疫苗与预防疾病有关？

附：．

(2)若任选一只小白鼠，表示事件“选中的小白鼠接种疫苗”，表示事件“小白鼠发病”．

（i）利用表中数据，求，的估计值；

（ii）记为接种疫苗与预防疾病风险程度的一项度量指标，求的估计值．

【答案】(1)有的把握认为接种疫苗与预防疾病有关.

(2)（i）,;（ii）;

【分析】（1）根据独立性检验公式，求出，即可判断；

（2）根据条件概率概念计算求解；

【详解】（1）由题意得：，

因为，

所以有的把握认为接种疫苗与预防疾病有关.

（2）（i）由题意知，，，，,

（ii）

故的估计值为.

22．设函数，．

(1)求证：；

(2)若当时，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析

(2).

【分析】（1）作差构造函数，利用导数证明即可；

（2）作差构造函数，求导后分三种情况①，②，③，讨论求解即可得解.

【详解】（1）设，，

令，得，令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

所以，即.

（2）设，

当时，，即恒成立，

，

当时，因为，，，所以，

在上为增函数，恒成立，

当时，设，，

若，即时，因为，所以，在上为增函数，

，即在上恒成立，故在上为增函数，

所以恒成立，

若，即时，令，得，则在上为减函数，

所以当时，，即，在上为减函数，

可得，不符合题意.

综上所述：.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，总有成立，故；

（2）若，总有成立，故；

（3）若，使得成立，故；

（4）若，使得，故.