2022-2023学年甘肃省天水市高一（上）期末数学试卷含解析

这是一份2022-2023学年甘肃省天水市高一（上）期末数学试卷含解析，共16页。试卷主要包含了0分，f =1．等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩∁UA=( )
A. {1,6}B. {1,7}C. {6,7}D. {1,6,7}
2. 设p：x>2，q：x2>2，则p是q成立的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知A(1,3)，B(4,-1)，则与向量AB共线的单位向量为( )
A. (45,35)或(-45,35)B. (35,-45)或(-35,45)
C. (-45,-35)或(45,35)D. (-35,-45)或(35,45)
4. 已知正实数a，b满足a+4b=1，则1a+b的最小值为( )
A. 4B. 6C. 9D. 10
5. 函数f(x)=lg12(2-x)的单调递增区间是( )
A. (-∞,2)B. (-∞,0)C. (2,+∞)D. (0,+∞)
6. 已知π<α<2π，sinα+csα=15，则tanα等于( )
A. -34B. -34或-43C. 34或43D. 35
7. 已知函数f(x)=x|x|，当x∈[t,t+2]时，恒有f(x+2t)>4f(x)成立，则实数t的取值范围是( )
A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. (-∞,2)D. (-∞,2]
8. “a>1，b>1”是“lgab+lgba≥2”的条件( )
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
9. 定义集合的商集运算为AB={x|x=mn,m∈A,n∈B}，已知集合S={2,4,6}，T={x|x=k2-1,k∈S}，则集合ST∪T中的元素个数为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
10. 设函数f(x)=ex+2x-4，g(x)=lnx+2x2-5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )
A. g(a)<0C. 011. 已知函数f(x)=()x-lg2x，实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)<0(0A. x0bC. x0c
12. 函数f(x)=cs2x-3sinxcsx+2sin2x-12的最小正周期为( )
A. π2B. πC. 2πD. 4π
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 计算：lg14-2lg73+lg7-lg18 =________
14. 已知函数f(x)=3x,x≤0f(-x),x>0，则f(lg32)=______ ．
15. 已知函数，则f(3)的值为______．
16. 若定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三条：
(ⅰ)对任意的x∈[0,1]总有f(x)≥0(ⅱ)f(1)=1
(ⅲ)若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)就称f(x)为“A函数”，下列定义在[0,1]的函数中为“A函数”的有______
①f(x)=x；②f(x)=2x-1③f(x)=lg12(x+1)④f(x)=lg2(x+1)
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知集合A={x|2x2-5x-12≥0}，B={y|y=3x+1(x>0)}．
(1)求集合A∩B，(∁RA)∪B；
(2)若集合C={x|m-2≤x≤2m}且(∁RA)∩C=C，求m的取值范围．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=4sin(3x-π3)先将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，再将所得图象上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象．
(Ⅰ)当x∈[2π3,π]时，求函数f(x)的值域；
(Ⅱ)求函数g(x)在[0,2π]上的单调递增区间．
19. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=sinxcsx-3sin2x+32．
(1)求函数f(x)的单调增区间；
(2)若f(x0)=，x0∈[，]，求cs2x0的值．
20. (本小题12.0分)
(1)已知角α的终边经过点P(x,6)，且csα=-513，求sinα和tanα的值．
(2)已知csα=17，cs(α-β)=1314，且0<β<α<π2，求角β．
21. (本小题12.0分)
已知函数，m∈R．
(1)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性，并证明你的结论；
(2)是否存在m，使得f(x)为奇函数？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2x-aa⋅2x+1为奇函数，其中a为实数．
(1)求实数a的值；
(2)若a>0时，不等式f(f(x))+f(t⋅2x)<0在x∈[-1,1]上恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查集合的交集与补集的求解，属于基础题．
先求出∁UA，然后再求B∩∁UA即可求解．
【解答】
解：∵U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，
∴∁UA={1,6,7}，
则B∩∁UA={6,7}，
故选C．

2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：q：x2>2，解得x>2或x<-2；
若p：x>2成立，则q：x2>2成立，
反之，若q：x2>2成立，则p：x>2未必成立；
即p是q成立的充分不必要条件，
故选：B．

3.【答案】B
【解析】解：AB=(3,-4)
设与AB共线的单位向量是(x,y)，
则有3y=-4xx2+y2=1，
解得：y=-45x=35或y=45x=-35，
故选：B．
利用向量的坐标公式求出向量的坐标；利用向量共线的充要条件及单位向量的定义列出方程组，求出值．
本题考查向量的坐标公式、向量共线的充要条件、单位向量的定义．
4.【答案】C
【解析】解：∵a>0，b>0，a+4b=1，
∴1a+b=(a+4b)(1a+b)=5+ab+4ab≥5+2ab⋅4ab=9，
当且仅当ab=4ab,a+4b=1时，
即a=13,b=6时取“=”成立．
故选：C．
直接利用关系式的恒等变换和均值不等式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：均值不等式成立的条件的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】解：2-x>0，得到x<2，且t=2-x在(-∞,2)上递减，
而y=lg12t在(0,+∞)上递减，
由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x)=lg12(2-x)在(-∞,2)上递增，
故选：A．
求出函数的定义域，利用复合函数的单调性求解即可．
本题考查复合函数的单调性的判断与性质的应用，是基本知识的考查．
6.【答案】A
【解析】解：∵π<α<2π，sinα+csα=15，
∴平方可得1+2sinαcsα=125，即sinαcsα=-1225<0，
∴sinα<0，csα>0，
∵sin2α+cs2α=1，可得：(15-csα)2+cs2α=1，解得：csα=45，或-35(舍去)，
∴sinα=15-45=-35，可得：tanα=-34．
故选：A．
由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：∵函数f(x)=x|x|=x2,x≥0-x2,x<0，
∴f(x)在R上是单调递增函数，且满足4f(x)=f(2x)，
∵当x∈[t,t+2]时，恒有f(x+2t)>4f(x)成立，
∴x+2t>2x在[t,t+2]恒成立，即t>12x在[t,t+2]恒成立，
∴t>12(t+2)，∴t>2，即实数t的取值范围是(2,+∞)．
故选：A．
由题意可得在R上是单调递增函数，且满足4f(x)=f(2x)，再根据不等式f(x+2t)≥4f(x)在[t,t+2]恒成立，可得x+2t≥2x在[t,t+2]恒成立，即可得出答案．
本题考查了函数恒成立问题及函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：当a>1，b>1时lgab>0，lgba>0，
故lgab+lgba=lgab+1lgab≥2lgab⋅1lgab=2，
当且仅当lgab=±1，即a=b或a=1b时“=”成立，是充分条件，
取a=12，b=116，显然满足lgab+lgba≥2，
故由lgab+lgba≥2，推不出a>1，b>1，
故不是必要条件，
故“a>1，b>1”是“lgab+lgba≥2”的充分不必要条件，
故选：A．
根据充分必要条件的定义以及对数的运算性质判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查对数的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了集合的列举法，商集的定义，元素与集合的关系，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
可以求出T={0,1,2}，然后根据商集的定义即可得出ST={1,2,3,4,6}，然后进行并集的运算即可求出集合ST∪T中的元素个数．
【解答】
解：S={2,4,6}，T={0,1,2}，
∴ST={1,2,3,4,6}，
∴ST∪T={0,1,2,3,4,6}，
∴集合ST∪T中的元素个数为6．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=ex+2x-4，g(x)=lnx+2x2-5，
∴f(x)与g(x)在各自的定义域上为增函数，
∵f(1)=e-2>0，g(1)=0+2-5<0，
∴若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，
∴a<1，b>1，
∵g(a)f(1)>0，
故选：A．
根据函数的解析式判断单调性，运用f(1)=e-2>0，g(1)=0+2-5<0，得出a<1，b>1，再运用单调性得出g(a)f(1)>0，即可选择答案．
本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．
11.【答案】D
【解析】解：∵y=()x是R上的减函数，
y=lg2x是(0,+∞)上的增函数；
∴f(x)=()x-lg2x是(0,+∞)上的减函数；
又∵f(a)f(b)f(c)<0，且0∴f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0；
或f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0；
故f(c)故c>x0；
故x0>c不可能成立，
故选：D．
可判断f(x)=()x-lg2x是(0,+∞)上的减函数，从而可得f(c)<0，从而可得f(c)本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的定义应用，属于基础题．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
【解答】
函数f(x)=cs2x-3sinxcsx+2sin2x-12
=-32sin2x+sin2x+12
=-32sin2x+1-cs2x2+12
=1-sin(2x+π6)，
最小正周期为2π2=π，
故选：B．
13.【答案】0
【解析】
【解答】
解：lg14-2lg73+lg7-lg18
=lg14-lg49+lg9+lg7-lg18
=lg(14×9×749×18)
=lg1=0．
故答案为：0．
【分析】
利用对数的性质和运算法则求解．
本题考查对数式的计算，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质和运算法则的灵活运用．
14.【答案】12
【解析】解：根据题意，函数f(x)=3x,x≤0f(-x),x>0，而lg32>0，
则f(lg32)=f(-lg32)=f(lg312)=3lg312=12，
故答案为：12．
根据题意，由函数的解析式可得f(lg32)=f(-lg32)=f(lg312)=3lg312，结合对数的运算性质计算可得答案．
本题考查函数的求值，涉及对数的计算，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：∵函数，
∴f(3)=f(2)=f(1)=f(0)==1，
故答案为：1．
由题意，利用函数的解析式，求得函数的值．
本题主要考查根据函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
16.【答案】①②
【解析】解：①f(x)=x在[0,1]满足条件(ⅰ)f(x)=x>0；也満足条件(ⅱ)f (1)=1．
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=x1+x2-x1-x2=0≥0成立，即满足条件(ⅲ)，故f (x)为“A函数”，
②f(x)=2x-1在[0,1]満足条件(ⅰ)f (x)≥0；也满足条件(ⅱ).f (1)=1．
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=2x1+x2-1-[(2x1-1)+(2x2-1)]=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1)≥0，即满足条件(ⅲ)，故f (x)为A函数．
③f(x)=lg12(x+1)在[0,1]不满足条件(ⅰ)，f (x)≥0，则函数不是A函数．
④f(x)=lg2(x+l)在[0,1]満足条件(ⅰ)f (x)≥0；也满足条件(ⅱ)，f (1)=1..
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=lg2(x1+x2+1)-lg2(x1+1)lg2(x2+1)=lg2x1+x2+1(x1+1)(x2+1)=lg21=0，故f (x)不为A函数
故“A函数”的有①②，
故答案为：①②
根据“A函数”的定义分别判断是否满足三个条件即可．
本题主要考查函数与方程的应用，结合“A函数”的定义，分别判断三个条件是否满足是解决本题的关键．考查学生的推理能力．
17.【答案】解：集合A={x|2x2-5x-12≥0}={x|x≤-32或x≥4}，
B={y|y=3x+1(x>0)}={y|y>2}．
(1)集合A∩B={x|x≥4}，
∁RA={x|-32∴(∁RA)∪B={x|x>-32}；
(2)若集合C={x|m-2≤x≤2m}，且(∁RA)∩C=C，
∴C⊆∁RA，
若C≠⌀，则m-2⩽2m，得m⩾-2．
∴m-2>-322m<4，解得12当C=⌀时，m-2>2m，解得∴m<-2；
综上，m的取值范围是m<-2或12【解析】(1)化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；
(2)根据题意(∁RA)∩C=C知C⊆∁RA，讨论C=⌀和C≠⌀时，分别求出m的取值范围．
本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)当x∈[2π3,π]时，3x-π3∈[5π3,8π3]，∴sin(3x-π3)∈[-32,1]，
故函数f(x)=4sin(3x-π3)∈[-23,4]，故函数f(x)的值域为[-23,4]．
(Ⅱ)∵将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后，
可得函数y=4sin(3x+π4-π3)=4sin(3x-π12)的图象；
再将所得图象上点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得到函数g(x)=4sin(32x-π12)的图象．
令2kπ-π2≤3x2-π12≤2kπ+π2，求得4kπ3-5π18≤x≤4kπ3+7π18，
可得g(x)的增区间为[4kπ3-5π18,4kπ3+7π18]，k∈Z，
则当x∈[0,2π]时，g(x)的增区间为[0,7π18]，[19π18,31π18].
【解析】(Ⅰ)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f(x)的值域．
(Ⅱ)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)=sinxcsx-3sin2x+32=sin2x+32(1-2sin2x)=sin2x+32cs2x=sin(2x+)，
令，k∈Z，
解得，
故函数f(x)的单调增区间为[-，]，k∈Z；
(2)因为x0∈[，]，
所以2x0+∈[]，
因为f(x0)=sin(2x0+)=，
所以cs(2x0+)=-，
所以cs2x0=cs(2x0+-)=cs(2x0)+32sin(2x0)=-+=33-410．
【解析】(1)由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求；
(2)由已知代入先求出sin(2x0+)，然后结合两角差的余弦公式进行化简即可求解．
本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵角α的终边经过点P(x,6)，且csα=-513=xx2+36，∴x=-52，∴P(-52,6)，
∴sinα=1213，tanα=-125．
(2)由csα=17，0<α<π2得，sinα=437．
由0<β<α<π2，得0<α-β<π2，再根据cs(α-β)=1314，可得sin(α-β)=3314，
所以，csβ=cs[α-(α-β)]=csαcs(α-β)+sinαsin(α-β)=12，
又0<β<π2，∴β=π3．
【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义，求得x的值，可得点P的坐标，从而得到sinα和tanα的值．
(2)由题意先求出sinα、cs(α-β)的值，可得csβ=cs[(α-(α-β)]的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题．
21.【答案】解：(1)f(x)在(-∞,0)上单调递减，
证明：∀x1，x2∈(-∞,0)，且x1则=，
∵x1∴0<2x1<2x2<1，∴2x2-2x1>0，2x1-1<0，2x2-1<0，
∴f(x1)-f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(-∞,0)上单调递减；
(2)函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)恒成立，
即恒成立，
解得，
∴存在，使得f(x)为奇函数．
【解析】(1)利用单调性的定义直接证明即可；
(2)假设存在，则恒成立，解出即可得出结论．
本题考查函数单调性及奇偶性的判断，考查推理论证能力，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为函数f(x)=2x-aa⋅2x+1为奇函数，
所以f(-x)+f(x)=0，即2-x-aa⋅2-x+1+2x-aa⋅2x+1=0，
化简整理可得(1-a2)(22x+1)=0，
因为22x+1>0，所以1-a2=0，
解得a=±1．
(2)a=1，则f(x)=2x-12x+1=1-22x+1，函数f(x)为奇函数，且在R上单调递增，
所以不等式f(f(x))+f(t⋅2x)<0在x∈[-1,1]上恒成立，
等价于f(f(x))等价于f(x)<-t⋅2x在x∈[-1,1]上恒成立，
即1-22x+1<-t⋅2x在x∈[-1,1]上恒成立，
即-t>2x-12x(2x+1)在x∈[-1,1]上恒成立，
设2x-1=m(-12≤m≤1)，即有-t>m(m+1)(m+2)在-12≤m≤1恒成立，
当m=0时，-t>0，即t<0；
当0(1m+3m+2)max，
由g(m)=m+3m+2在(0,1]递减，可得g(m)≥g(1)=6，1m+3m+2≤16，
可得-t>16，即t<-16；
在-12≤m<0时，-t>(1m+3m+2)max，
由g(m)=m+3m+2在[-12,0)递减，可得g(m)≤g(-12)=-92，
即有-29≤1m+3m+2<0，
可得-t≥0，即t≤0．
综上可得，t的取值范围是(-∞,-16).
【解析】(1)由奇函数的性质可得f(-x)+f(x)=0，化简整理，结合恒等式的性质，可求得a的值；
(2)首先判断函数f(x)为奇函数，且在R上单调递增，由题意可得f(f(x))2x-12x(2x+1)在x∈[-1,1]上恒成立，运用换元法和指数函数的单调性，结合对勾函数的单调性，可得最值，进而得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
题号
一
二
三
总分
得分