甘肃省天水市武山县2022-2023学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

甘肃省天水市武山县2022-2023学年高二下学期期中数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、函数在区间上的平均变化率是(   )

A. B. C. D.

2、已知点，则点A关于原点的对称点的坐标为(   )

A. B. C. D.

3、函数在点处切线的斜率为(   )

A.-1 B.0 C.1 D.2

4、空间两点，之间的距离为(   )

A.5 B.3 C.2 D.1

5、给出下列五个导数式：

①；

②；

③；

④；

⑤.

其中正确的导数式共有(   )

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

6、在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为(   )

A.-6          B.6   C.3 D.-3

7、如图，在四面体OABC中，，且，则(   )

A.  B.

C.  D.

8、函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为(   )

A.  B.

C.  D.

二、多项选择题

9、一个质点做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则(   )

A.该质点在前2秒内的平均速度为24m/s

B.该质点在第1秒的瞬时速度为12m/s

C.该质点在第2秒的瞬时加速度为

D.该质点的瞬时加速度取得最小值时的时刻为第1秒

10、已知函数，则(   )

A.的极小值为2

B.有三个零点

C.点是曲线的对称中心

D.直线是曲线的切线

11、关于空间向量，以下说法正确的是(   )

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若，则是钝角

C.设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底

D.若对空间中任意一点O，有，则P,A,B,C四点共面

12、如图，已知正方体的棱长为，E、F分别为棱、的中点，则下列结论正确的为(   )

A.  B.

C.  D.为平面的一个法向量

三、填空题

13、已知向量 ， 若 ，则实数________.

14、已知直线l的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线l与平面的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)

15、函数在点处的切线的方程为___________.

16、设，则满足在上恒正的是__________.（填写序号）

①；②；③；④.

四、解答题

17、在中，已知，，且，，求，.

18、已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程.

（2）求在区间上的最大值和最小值.

19、已知正方体的棱长为1，如图以O为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系.D,E分别是,AB的中点.

（1）求直线DE的一个方向向量；

（2）证明：平面.

20、设函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间上的最小值.

21、如图，在正方体中，为棱的中点.求证：

（1）平面；

（2）平面平面.

22、已知函数.

（1）若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；

（2）求函数的单调区间.

参考答案

1、答案：B

解析：，函数在区间上的平均变化率是，故选B.

2、答案：D

解析：因为点，

所以点A关于原点的对称点的坐标为，

故选：D

3、答案：D

解析：由题设，则，

所以处切线的斜率为2.

故选：D

4、答案：B

解析：.

故选：B.

5、答案：A

解析：由，①正确；

由，②错误；

由，③正确；

由，④错误；

由，⑤错误；

正确的共有2个.

故选：A

6、答案：B

解析：由题意可得，，，

所以，即，得.

故选：B.

7、答案：D

解析：因为，所以，

又，所以.

故选：D

8、答案：A

解析：由题意，知的解集即的单调递减区间，

故的解集为.

故选：A.

9、答案：BCD

解析：因为该质点在前2秒内的位移为，该质点在前2秒内的平均速度为12m/s， A错误.

因为，所以该质点在第1秒的瞬时速度为， B正确.

设，则，

所以，即第2秒的瞬时加速度为，C正确；

当时取得最小值，D正确.

故选：BCD

10、答案：CD

解析：，，

令，解得：或，

时，，单调递增；

 当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

的极小值为：，

的极大值为：，

有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误；

对C，若点是曲线的对称中心，则有，

将函数代入上式验证得：

，故C正确；

对于D，，解得：，

当时，， 切线方程为：，即，故D正确.

故选：.

11、答案：AC

解析：选项A，空间中的三个向量，若有两个向量共线，由于空间任意两个向量一定共面，因此这三个向量一定共面，正确；

选项B，若，则是钝角或者，错误；

选项C，设是空间中的一组基底，则不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，正确；

选项D，对空间中任意一点O，有，

，四点不共面，错误；

故选：AC

12、答案：BC

解析：以点为坐标原点，DA、DC、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、

、、、.

对于A选项，，，则，A错；

对于B选项，，，则，B对；

对于C选项，，故，C对；

对于D选项，，故不是平面的一个法向量，D错.

故选：BC.

13、答案：-1

解析：因为向量，且，

所以，

解得：.

故答案为：-1.

14、答案：相交

解析：因为，，

所以，

从而直线l与平面不平行且，

故直线l与平面相交.

故答案为：相交.

15、答案：

解析：，，，

所以在点处的切线的方程为：，

整理得：

故答案为：

16、答案：①③

解析：对①：，则，

故在R上恒成立，①成立；

对②：，则，

故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；

对③：，则，

故在R上恒成立，③成立；

对④：由，解得，

故的定义域为，

则，故在上恒成立，④不成立；

故答案为：①③.

17、答案：，

解析：在中，，，且，，

所以，，，

故，则，

，则.

18、答案：(1)

(2)最大值为，最小值为-4

解析：（1）由已知，

则，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

（2）令，得或，

令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以在区间上的最大值为12，最小值为-4.

19、答案：(1)；

(2)证明见解析.

解析：（1），

因此,则直线DE的一个方向向量为，

（2）平面，

平面,则 ，

又因为,,平面,故平面，

因此取平面的法向量为，

由于则，而平面，因此//平面.

20、答案：(1)；

(2)1.

解析：（1）函数，求导得：，则有，而，

于是得，即，

所以曲线在点处的切线方程是.

（2）函数，求导得：，

当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，.

21、答案：（1）证明见解析；

（2）证明见解析

解析：（1）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，，

所以，，，，

设平面的法向量，

则，取，得.

因为，所以，所以平面；

（2）设平面AEC的法向量，

则，取，得，

，

平面平面.

22、答案：(1)

(2)见解析

(3)

解析：（1）直线的斜率为，

因为，所以由导数的几何意义知，，

所以，解得：.

（2）的定义域为，

，

当时，，则在上单调递增，

当时，令，解得：，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，则单调递增区间为；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为.