2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省兰州市教育局第四片区高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知直线，直线，若，则（    ）

A．0 B．2

C． D．4

【答案】A

【分析】分和两种情况，求得时，对于的a值即可.

【详解】当时，直线，直线，易知，满足条件；

当时，若，则两直线斜率乘积为-1，即，不满足；

综上所述，，

故选：A

2．在等比数列中，，，则（    ）

A．2 B．±2 C．2或 D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的定义，结合等比中项，建立方程组，可得答案.

【详解】设的公比为q，由，则，解得（舍去），故，所以，.

故选：A.

3．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（    ）

A．  B．（y≠0）

C． D．

【答案】D

【分析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.

【详解】因为，所以，

所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，

所以顶点C的轨迹方程是 ，

故选：D.

【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.

4．的展开式中的常数项为（    ）

A．15 B．60 C．80 D．160

【答案】B

【分析】利用二项式定理的通项公式进行求解.

【详解】由题知，的展开式的通项为，

当时，，此时，

故的展开式中的常数项为60，故A，C，D错误.

故选：B.

5．已知双曲线的渐近线与圆相切，则a=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得双曲线渐近线方程，根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，列出方程，即可得答案.

【详解】由题意得双曲线的渐近线方程为，根据对称性，不妨取，即，

因为渐近线与圆相切，

所以圆心（0,2）到直线的距离，解得，

所以或（舍）.

故选：B

6．已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，求得，结合奇偶性，排除B，结合时，，排除D，根据，得到答案.

【详解】因为函数，可得，即，

由，所以函数为偶函数，故排除B，

当时，可得，故排除D．

由，可得，则，

所以在处的切线斜率为负数．

故选：C．

7．已知，则（    ）

A．0 B．－4 C．－2 D．2

【答案】B

【分析】先求出导函数，由求得，然后再计算．

【详解】由已知，，，

即，所以．

故选：B．

8．如图，在平行六面体中，设，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据空间向量线性运算求解即可.

【详解】连接，如图所示：

.

故选：B

二、多选题

9．关于双曲线，下列说法正确的是（    ）

A．实轴长为8 B．焦距为 C．顶点坐标为 D．离心率为

【答案】AD

【分析】利用双曲线的标准方程及其性质即可得出．

【详解】解：由双曲线的方程，可知：，，解得，，

．

实轴长，焦距为，因此正确，错误；

顶点坐标为，离心率，因此错误，正确．

故选：．

10．若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据组合数的概念和性质可得.

【详解】因，

得，或，

得，或，

故选：AB

11．已知直线的方向向量分别是，若且则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】根据空间向量模的计算公式以及向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】，

若且，

则，解得或，

所以或.

故选：AC

12．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ）

A．函数在区间内单调递增

B．当时，函数取得极小值

C．函数在区间内单调递增

D．当时，函数有极小值

【答案】BC

【解析】利用的区间是增区间，使的区间是减区间，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值分别对选项进行逐一判定.

【详解】对于A，函数在区间内有增有减，故A不正确；

对于B，当时，函数取得极小值，故B正确；

对于C，当时，恒有，则函数在区间上单调递增，故C正确；

对于D，当时，，故D不正确.

故选：BC

【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题．

三、填空题

13．关于空间向量的命题：

①方向不同的两个向量不可能是共线向量；

②长度相等，方向相同的向量是相等向量；

③平行且模相等的两个向量是相等向量；

④若，则．

其中所有真命题的序号有        ．

【答案】②

【分析】根据平面向量的相关概念逐项分析判断.

【详解】对于①：由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；

对于②：长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；

对于③：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；

对于④：若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.

故答案为：②.

14．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则这个双曲线的渐近线方程为      ．

【答案】

【分析】由等差数列定义确定关系，由此可得双曲线的渐近线方程.

【详解】设双曲线的半焦距为，

因为双曲线的实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，

所以，即，又，

所以，故，

所以，

所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

四、双空题

15．已知函数，，则函数与图象的交点坐标为        ，在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为        ．

【答案】          /

【分析】联立两函数解析式，可得出交点坐标；利用导数求出两函数图象在交点处的两条切线方程，并求出这两条切线与轴的交点坐标，即可求得这两个函数在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积.

【详解】令可得，解得，此时，

所以，函数与图象的交点坐标为，

因为，则，所以，，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，即，

所以，直线交轴于点，

因为，则，则，

所以，函数的图象在点处的切线方程为，即，

所以，直线交轴于点，

因此，两个函数的图象在交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为.

故答案为：；.

五、填空题

16．某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排方法种数是          .

【答案】240

【分析】根据平均分组原则和分步计数原理即可解答.

【详解】先将5名学生分成4组共有种，

再将4组学生安排到4所不同的学校有种，

根据分步计数原理可知：不同的安排方法共有种.

故答案为：240

六、解答题

17．已知抛物线的焦点为.

（1）求.

（2）斜率为1的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.

【答案】（1）4；（2）16.

【解析】（1）由题可得，即可求出；

（2）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可求出.

【详解】（1），则由抛物线性质得，

∴，∴，

即的标准方程是.

（2）由题意得，抛物线的焦点为，

∴的方程为，，，

，

，，

∴.

综上所述，线段的长度为16.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.

18．用0、1、2、3、4这五个数字组数.

(1)可以组成多少个允许数字重复的三位数？

(2)可以组成多少个无重复数字的三位数？

(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

【答案】(1)100

(2)48

(3)30

【分析】（1）根据题意，0不能在百位，允许数字重复，依次分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；

（2）根据题意，0不能在百位，无重复数字，由此分析三位数的百位、十位、个位的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；

（3）根据题意，分0在个位和0不在个位两种情况讨论，无重复数字，求出每种情况下的偶数的数目，由加法原理计算可得答案．

【详解】（1）根据题意，百位数字不能为0，则百位数字有4种情况，十位、个数数字可以为五个数字中任意一个，有5种情况，则有个允许数字重复的三位数.

（2）根据题意，百位数字不能为0，则百位数字有4种情况，在剩下的4个数字中任选2个，安排在十位和个位，有种情况，则有个无重复数字的三位数.

（3）根据题意，分2种情况讨论：

若0在个位，有个偶数，

若0不在个位，则数字2，4作个位，有个偶数，

所以共有个无重复数字的偶数．

19．已知向量，，，且，．.

(1)求向量，，的坐标；

(2)求与所成角的余弦值.

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）由空间向量平行与垂直坐标公式列出方程组，即可求解；

（2）利用空间向量的夹角坐标公式，即可得解.

【详解】（1）∵向量，，，且，，

易知，否则不成立，

∴，解得，，．

∴向量，，．

（2）∵，，

∴，

，

∴向量与所成角的余弦值为．

20．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．

（1）求切线的方程；

（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围．

【答案】(1) ；(2)

【分析】（1）由导数的几何意义，求得，得到，进而求得切线的切点坐标，求得切线的方程；

（2）由（1）函数，求得函数的单调性与极值，由有3个零点，转化为与的图象有3个交点，即可求解．

【详解】（1）由题意，函数，则，

又的图象在点处的切线与直线平行，

所以，解得，即，

所以，所以切点的坐标为，

则切线方程为，即；

（2）由（1）可知，令，则，

列表如下：

所以当时，有极大值；

当时，有极小值，

且当时，；当时，，

因为有3个零点，所以有3个实数根，

即与的图象有3个交点，所以实数的取值范围为．

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求解函数的单调性与极值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

21．已知向量，向量满足以下三个条件：①；②；③与向量垂直；求向量．

【答案】或

【分析】利用待定系数法，结合空间向量数量积运算与模的公式求解即可.

【详解】依题意，设，

∵，，，与向量垂直；

∴，，，

解得，，．或，，．

∴或．

22．母亲园广场有一个直径为米的半圆形花园，现在在花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带，从点到点设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.

(1)设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；

(2)试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧长公式：，其中为弧所对的圆心角)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为的函数；

（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定的值，使得绿化带总长度最大．

【详解】（1）如图，连接，

在直角三角形中，，

所以，

由于，

则弧的长为，

；

（2）由知，

令，解得，

当时，单调递增，

当，单调递减，

所以当时，使得绿化带总长度最大.