2022-2023学年甘肃省白银市靖远县第二中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省白银市靖远县第二中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由交集的定义求解即可.

【详解】因为集合，，

则.

故选：B.

2．已知，且，其中，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解.

【详解】由，得，

代入有，

则，且，

解得.

故选：A.

3．坐标轴与圆的交点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】先求出圆心和半径，再分别求出圆心到两坐标轴的距离与半径比较可得结论.

【详解】圆，即圆，

所以圆，半径，

因为圆心到轴的距离为1，且，

所以圆与轴相交，即与轴有两个交点，

因为圆心到轴的距离为2，且等于半径，

所以圆与轴相切于点，即与轴有一个交点，

综上坐标轴与圆有3个交点，

故选：C

4．函数的大致图象是（    ）

A．   B．   C．   D．  

【答案】C

【分析】利用时，，可判断B，D；利用函数的导数判断时图像变化情况，可判断A，C.

【详解】当时，，故B，D错误；

又，当时，，当时，，

故时的图象是先下降后上升，故A错误，C正确，

故选：C

5．图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】D

【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解.

【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，

可设拱桥所在抛物线的方程为，

又抛物线过点，则，解得，

则抛物线的方程为，当时，，

故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米.

故选：D

6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】因为，为的中点，则，

由圆锥的几何性质可知平面，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

又因为，所以，点到平面的距离为.

故选：B.

7．某市场供应的黄瓜中，来自甲地的占，来自乙地的占，来自丙地的占，甲地、乙地供应的黄瓜的新鲜率（按斤计算）均为，丙地供应的黄瓜的新鲜率（按斤计算）是．从该市场供应的黄瓜中任意购买一斤，若这斤黄瓜新鲜的概率为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用全概率公式可构造方程求得结果.

【详解】记事件为“买到的黄瓜来自甲地”，事件为“买到的黄瓜来自乙地”，事件为“买到的黄瓜来自丙地”，事件为“买到的黄瓜是新鲜黄瓜”，

则，，，，

，解得：.

故选：C.

8．已知数列满足，且（），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用题给条件求得（），列出关于的方程，进而求得的值.

【详解】

（），

，解得.

故选：A

二、多选题

9．已知向量，，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最小值为2 D．的最大值为4

【答案】ABC

【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.

【详解】对于A，若，且，，

则存在唯一实数使得，即，

则，解得，故A正确；

对于B，若，则，

即，解得，故B正确；

，

故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

10．已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）

A．在上单调递增

B．曲线在处的切线的斜率为0

C．

D．有1个极大值点

【答案】ABD

【分析】根据导函数为的图象，结合导函数与函数的关系，以及函数的极值点的概念，逐项判定，即可求解.

【详解】根据定义在区间上的函数的导函数的图象，

对于A中，当时，，且仅当时，，所以在上单调递增，所以A正确；

对于B中，当时，可得，所以曲线在处的切线的斜率为，所以B正确；

对于C中，因为在上单调递增，所以不是函数的最大值，所以C不正确；

对于D中，由的图象，可得时，，单调递增；

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以只有当时，函数取得极大值，所以有1个极大值点，所以D正确.

故选：ABD.

11．已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】结合等比数列的通项公式及下标和性质一一分析即可.

【详解】因为等比数列的公比为，，

，

则，，即，

所以，，

所以，，故A正确，B正确；

所以，

，故C正确，D错误．

故选：ABC．

12．某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排．（    ）

A．若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种

B．若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种

C．若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种

D．若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种

【答案】ABD

【分析】通过每排的可能情况列出后，根据分类计数原理计算即可判断A；

通过“正难则反”的方法考虑反面情况判断B和D；通过先选再排判断C.

【详解】若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种，

在第五排有种，

在第六排有种在第七排有种，共有27种．

再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况，故A正确．

甲、乙在同一列的情况共有种，

则甲、乙不在同一列的情况有种，故B正确．

若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，

再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况，故C错误．

中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位．甲、乙分坐于两侧，有种．

甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种，

所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种，故D正确．

故选：ABD

三、填空题

13．已知点，都在直线上，写出一个直线的方向向量：       .

【答案】(答案不唯一)

【分析】由方向向量的定义求解即可.

【详解】，

因为点，都在直线上，

所以都是直线的方向向量，

则可取.

故答案为：.

14．已知,，则的取值可以是          .（写出一个即可）

【答案】（答案不唯一，也可以是或或）

【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式可求出.

【详解】因为，所以,

所以，所以或，即或，

因为，所以或或或.

故答案为：（（答案不唯一，也可以是或或）.

15．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则      ．

【答案】/

【分析】由椭圆方程可得的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得，根据可求得结果.

【详解】由椭圆方程得：，，，；

设，由椭圆定义知：，

，，即，

解得：或；

为椭圆在第一象限内的点，，即，，；

.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数存在两个极值点，且，则的取值范围为        ，的取值范围为        ．

【答案】         

【分析】求出函数的导函数，依题意与在上有两个不同的交点，即可求出的取值范围，在由正弦函数的对称性得到，即，即可得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，从而得解.

【详解】因为，所以，

因为存在两个极值点，且，

所以在上有两个不相等的实根，

所以与在上有两个不同的交点，

所以，即，

当时，函数图象关于直线对称，

所以，即，

则，

令，，

则，所以在上单调递减，

所以，所以，

即.

故答案为：；

五、解答题

17．已知在等差数列中，，．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列性质和通项公式可求得公差，代入通项公式即可求得；

（2）采用裂项相消法可求得.

【详解】（1）设等差数列的公差为，

，，，

.

（2）由（1）得：，

.

18．已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求角的值；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据同角三角函数的关系，三角恒等变换将待求表达式化简后求解；

（2）根据，余弦定理，三角形的面积公式进行求解.

【详解】（1）因为，

所以，

则，

则，

故．

因为，所以，

则．

（2）由余弦定理和基本不等式，，

即，当且仅当时，等号成立，

则的面积（取得等号），

即面积的最大值为．

19．如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．

(1)若，证明：平面；

(2)若直线与平面所成角为，求的值；

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先证明平面，得到，再证明DE⊥平面即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法，根据线面角列方程即可得解.

【详解】（1）取的中点F，连接EF，DF，DC，

因为平面ABC，平面ABC，所以，同理，

又，结合题设，可得，

易知，

所以，则．            

因，平面，

所以平面，

又平面，所以，          

因为，平面，

所以平面．

（2）以D为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则           

设，则，       

设平面的法向量为，

则，取，则          

设直线与平面所成的角为，

则           

化简得，解得或．

当时，点E与点重合，此时，不符合题意．

所以，即的值为.

20．世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.

(1)从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据概率公式，先算出该居民是各社区且每周运动时间没有超过5小时的概率，由对立事件的概率公式求解即可；

（2）由于三个社区的居民人数之比为，设出三个社区的居民人数，计算出各社区每周运动总时间超过5小时的人数，然后由频率估计概率即可；

（3）由正态分布的性质结合条件求解即可.

【详解】（1）设从三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件，

则.

设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件，

则事件的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，

所以，

故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为.

（2）设三个社区的居民人数分别为，

则社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

社区每周运动总时间超过5小时的人数为，

所以，故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率.

（3）因为，所以.

因为，所以，

所以.

21．已知函数.

(1)当时，求的图像在点处的切线方程；

(2)若不等式恒成立，求的取值集合.

【答案】(1)y=2x

(2){1}

【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出结果；

（2）通过构造函数，将问题转化成求的最小值，通过对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，进而求出结果.

【详解】（1）当时，，所以，

又 ，所以，

故的图像在点处的切线方程为，即.

（2）解法一：因为恒成立，恒成立，

令函数，则  

①当时，在区间恒成立，此时g(x)在区间单调递增，又，易知，所以，故不合题意，

②当时，由 可得  即

令，则在区间上恒成立

所以在区间上单调递增，又因为，

所以存在，使得，两边同时取对数可得，

则当时，，即，

当时，，即，

所以当时，，

故要使恒成立，只需，

令，则，

由，得到，由，得到，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

 ，即，

所以只有唯一解，即.

综上，a的取值集合为.

解法二：由题意可得恒成立，

令 ，则在区间上恒成立，

所以在区间上单调递增，又因为，所以，

所以恒成立，即在区间上恒成立，

令，又因为，要使恒成立，

则是的极小值点，又因为，所以，解得.

当时，令，，

所以时，，时，，

所以，满足题意.

综上，a的取值集合为.

【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查不等式恒成立问题，解题方法是把不等式变形为，然后由导数求得的最小值，解不等式即可得参数范围．

22．已知双曲线经过点，双曲线的右焦点到其渐近线的距离为2.

(1)求双曲线的方程；

(2)已知为的中点，作的平行线与双曲线交于不同的两点，直线与双曲线交于另一点，直线与双曲线交于另一点，证明：三点共线.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式求解；

（2）利用韦达定理以及斜率公式证明三点共线.

【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，

所以双曲线的右焦点到其渐近线的距离为.

因为双曲线经过点，所以，解得.

故双曲线的方程为.

（2）证明：因为为的中点，所以.

设直线的方程为，

所以，

直线的方程为，

直线的方程为.

联立,

可得，

所以

又因为，所以，

则.

同理可得.

,

，

所以.

故三点共线.