甘肃省白银市、定西市等3地2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解）

这是一份甘肃省白银市、定西市等3地2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含答案详解），共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分 选择题（共60分）
一、单项选择题（每题5分、共60分）
1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 等于
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【详解】由题设可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，应选答案D．
2. 若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为第四象限角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故选：D
3. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，因此最小值为2，选B.
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
4. 已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意得到关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式，求解不等式可得a的范围.
【详解】由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，求解不等式有： SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选C.
【点睛】本题主要考查交集的定义与运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5. 下列等式一定成立的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得；
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：D
6. 已知角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，利用三角函数的定义可求出 SKIPIF 1 < 0 的正弦和余弦，进而利用二倍角公式，两角和的余弦公式即可求解.
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由三角函数的定义知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
7. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，可得 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，结合 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，所以 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，可得 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，利用函数的单调性和对称性可得 SKIPIF 1 < 0 即可.
8. 关于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有以下四个结论：
① SKIPIF 1 < 0 是偶函数
② SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 是减函数
③ SKIPIF 1 < 0 有且仅有1个零点
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，最大值是3
其中正确结论的个数是（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简函数得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用奇偶性定义和换元法研究复合函数单调性、零点及最值对选项逐一判断即可.
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，①正确；
令 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 是减函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，根据复合函数单调性可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，②正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 时，最小值为-1， SKIPIF 1 < 0 时，最大值为3，④正确；
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有无数个零点，故③错误.所以有3个正确结论.
故选：C.
【点睛】本题的解题关键是借助换元法进行转化，将三角函数问题转化成二次函数的单调性、零点及最值问题.
9 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. 2C. 1D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 的范围代入分段函数的解析式利用对数运算求值.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
10. 已知 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得对任意实数 SKIPIF 1 < 0 总有 SKIPIF 1 < 0 成立，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】先化简 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意即求半个周期的A倍．
【详解】解：依题意 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选C．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题．
11. 下列函数中，既是奇函数，又在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增依次判定即可.
【详解】对于A选项，定义域 SKIPIF 1 < 0 ，所以单调性直接不满足，排除；
对于B选项，定义域 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不是奇函数，排除；
对于C选项， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故C选项正确；
对于D选项，定义域 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，排除.
故选：C.
12. 下列结论中，正确的是（ ）
A. 函数 SKIPIF 1 < 0 是指数函数
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象必过定点 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】对A根据指数函数定义判断；对B根据二次函数值域判断；对C根据指数函数的单调性判断；对D根据指数函数恒过定点判断.
【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得 SKIPIF 1 < 0 不是指数函数，故A 不正确.
选项B. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
选项C. 当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确.
选项D. 由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过点 SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确.
故选：B
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（每题5分、共20分）
13. 方程 SKIPIF 1 < 0 一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【详解】试题分析：设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式得实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
考点：一元二次方程根的分布
14. 设函数 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式将不等式转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集得结果.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上，符合题意的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】思路点睛：该题考查解分段函数不等式，解题思路如下：
（1）根据分段函数的解析式，结合题中条件，将不等式转化为不等式组；
（2）对不等式组分别求解，最后取并集得到结果.
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由角 SKIPIF 1 < 0 的终边经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为锐角，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结三角函数值可得 SKIPIF 1 < 0 ，则由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由两角差的正切公式可求出 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】因为角 SKIPIF 1 < 0 的终边过点 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：3
三、解答题（共70分）
16. 已知 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）化简集合 SKIPIF 1 < 0 ，求出集合 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件，即 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，列不等式求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可．
【详解】 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 真子集，故 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
17. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最小值及单调减区间.
【答案】（1）最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
(1)利用降幂公式、诱导公式及逆用正弦二倍角公式将函数 SKIPIF 1 < 0 化为一个角的正弦函数，再利用周期公式，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
(2)先求出内层函数的值域，再结合正弦函数的图象和性质，即可求出结果.
【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 .
(2)因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递减区间为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据式子结构，将函数 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 的形式.
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
（2）判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）奇函数
【解析】
【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组 SKIPIF 1 < 0 ，解此不等式组求出 SKIPIF 1 < 0 范围就是函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．
【小问1详解】
要使函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）有意义，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
对任意 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
19. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求x的取值范围.
【答案】（1）0；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 对 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 进行赋值即可得到答案；
（2）利用赋值法得 SKIPIF 1 < 0 ，然后结合 SKIPIF 1 < 0 转化已知不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据单调性求出所求.
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0
又已知 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的减函数
∴有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】关键点点睛：解决抽象函数问题，主要考查利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用单调性求解不等式，属于函数知识的综合应用，属于中档题.
20. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）判断 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，解关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）奇函数 （2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，然后检验 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系即可判断；
（2）结合对数函数的单调性即可求解．
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数；
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
故不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的对称中心的坐标.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）首先利用降幂公式，逆用两角和的正弦公式将原式化为一般形式 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得函数周期；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的对称中心的坐标.
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的对称中心的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .