2022-2023学年甘肃省白银市靖远县第四中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年甘肃省白银市靖远县第四中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】由求出复数，从而可求出其在复平面内的对应点所在的象限

【详解】由，得，

所以复数在复平面内的对应点位于第二象限，

故选：B

2．是等差数列，且，，则的值（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质计算．

【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，

所以．

故选：B．

3．已知随机变量X服从正态分布 ，且，则（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

【答案】D

【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解.

【详解】随机变量X服从正态分布，所以正态分布的对称轴为 ，根据对称性可知：

故选：D

4．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（       ）

A．10 B．15 C．20 D．25

【答案】C

【分析】根据椭圆的定义求解即可

【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知

∴

故选：C

5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用零点存在定理判断零点存在区间.

【详解】因为函数在上为减函数，

且，，，，，∴函数在内存在零点.

故选：D.

【点睛】易错点睛：零点存在性定理应用条件：

（1）f(x)在[a,b]上连续，f(a) f(b)<0,则f(x)在（a,b）上存在零点；

（2）注意开闭区间.

6．已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.

【详解】表示点与距离的平方，

因为点到直线的距离，

所以的最小值为．

故选：A

7．设sin，则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.

【解析】三角函数

8．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则（    ）

A．从六门课程中选两门的不同选法共有30种

B．课程“书”不排在第三天的不同排法共有720种

C．课程“礼”、“数”排在不相邻两天的不同排法共有288种

D．课程“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有576种

【答案】D

【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答．

【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有(种)，A选项不正确；

对于B，除第三天外的5天中任取1天排“书”，再排其他五门体验课程共有(种)，B选项不正确；

对于C，“礼”“数”排在不相邻两天，先排其余四门课程，再用插空法排入“礼”“数”

则不同排法共有(种)，C选项不正确；

对于D，六门课程的全排列有(种)，“乐”、“射”、“御”排在都相邻的三天的不同排法有(种)，则“乐”、“射”、“御”排在不都相邻的三天的不同排法共有(种)，D选项正确.

故选：D

二、多选题

9．对于定义在R上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（    ）

A．使的一定是函数的极值点

B．在R上单调递增是在R上恒成立的充要条件

C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大

D．若在R上存在极值，则它在R一定不单调

【答案】ABC

【分析】ABC均可以举出反例，D可以通过极值点和极值的定义进行判断.

【详解】A选项，的不一定是函数的极值点，比如在处导函数的值为0，但不是的极值点，A说法错误；

在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如为单调递增函数，在处导函数值为0，故在R上单调递增不是在R上恒成立的充要条件，B说法错误；

若函数既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如，在处取得极大值-2，在处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；

根据极值点和极值的定义可以判断，若在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.

故选：ABC

10．为研究混凝土的抗震强度y与抗压强度x的关系，某研究部门得到下表的样本数据：

若y与x线性相关，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．y与x正相关

C．y与x的相关系数为负数 D．若，则

【答案】AB

【分析】求出样本的中心点计算a判断A；由回归方程判断B，C；由回归方程的意义判断D作答.

【详解】依题意，，，

由，解得，A正确；

因回归方程中x的系数为正，则y与x正相关，且相关系数为正数，B正确，C不正确；

当时，值约为，D不正确.

故选：AB

11．设m是不等于零的实数，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，下列结论正确的是（    ）

A．定点N的坐标是 B．

C．的最大值是5 D．的最大值

【答案】ABC

【分析】由题可得，可判断AB，进而可得，然后根据基本不等式可判断CD.

【详解】由直线可得定点，

由直线，即，可得恒过点，故A正确；

所以，故B正确；

又，可得两条直线互相垂直，

所以其交点落在以为直径的圆周上，

所以，

∴，当且仅当时等号成立，故C正确，D错误.

故选：ABC.

12．下列说法正确的是（    ）

A．一批文具中有件正品，件次品，从中任取件，则取得件次品的概率为

B．二项式的展开式中，第项的系数为

C．若，，则

D．若，，，则

【答案】ACD

【分析】根据超几何分布概率公式可求得A正确；由二项展开式通项公式可确定B错误；根据条件概率和全概率公式可推导得到CD正确.

【详解】对于A，由超几何分布概率公式可得所求概率，A正确；

对于B，展开式通项为，展开式第项的系数为，B错误；

对于C，，，

，C正确；

对于D，由，得：，，

，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知的展开式的各项系数之和为81，则       ．

【答案】4

【分析】求二项式展开式各项系数之和时，令未知数的值为1即可﹒

【详解】由题意，令，∴﹒

故答案为：4．

14．记函数的导函数为．若，则        ．

【答案】1

【分析】求出函数的导数，将代入即可求得答案.

【详解】由题意得，，故，

故答案为：1

15．在的展开式中，其二项式系数和为64，则所有项的系数和为        ．

【答案】64

【分析】根据二项式系数和求得n的值，再用赋值法求得各项系数和即可.

【详解】由题意可得，解得,

故令，则所有项的系数和为，

故答案为：64

16．若关于x,y的方程表示的是曲线C,给出下列四个命题:

①若C为椭圆,则1<t<4;

②若C为双曲线,则t>4或t<1;

③曲线C不可能是圆;

④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则.

其中正确的命题是     .(把所有正确命题的序号都填在横线上)

【答案】②

【分析】利用椭圆的标准方程的特点可判断①④，利用双曲线的标准方程的特点可判断②，根据圆的的方程的特点可判断③.

【详解】对于①，若C为椭圆，则有，解得且．所以①不正确；

对于②，若C为双曲线，则有，解得t>4或t<1，所以②正确；

对于③，当时，该曲线方程为，表示圆，所以③不正确；

对于④，若C表示椭圆，且长轴在x轴上，则，解得，所以④不正确；

综上只有②正确．

故答案为：②.

四、解答题

17．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

[方法二]：正弦化角（通性通法）

设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

[方法三]：余弦与三角换元结合

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，

所以周长的最大值为．

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

18．已知等差数列的前项和为，且 .数列的前项和满足,且.

(1)求数列和的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)，

(2) .

【分析】（1）设等差数列的公差为d，根据题意列出方程组，求得，可得；利用可得，相减可得，说明数列为等比数列，即可求得；

（2）利用（1）的结论求得的表达式，利用错位相减法即可求得数列的前n项和.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

∵，则 ，

解得 ，∴ ；

数列的前项和满足,且,

故，则，

由可得，可知 ，

故，而适合该式，

故为等比数列，则；

（2）由（1）得，

故 ，

则 ,

两式相减得

，

故．

19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．

(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；

(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可；

（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可.

【详解】（1）解：由题意得：

设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ；

（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．

，，

，．

应聘者乙正确完成题数的分布列为

20．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值；

(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）（2）（3）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，，因为，所以，

所以，即，

所以，，

设平面的法向量为，则，

令，则，所以，

平面的法向量为，则，

令，则，所以，

所以，所以，

所以平面平面.

（2）易知平面的一个法向量，

设平面与平面所成角为，则，

所以平面与平面所成角的余弦值为.

（3）因为棱上一点，满足，所以，

所以，

所以点到平面的距离.

21．已知F1（，0），F2（，0）为双曲线C的两个焦点，点在双曲线C上．

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知点A，B是双曲线C上异于P的两点，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，若，证明：直线AB过定点．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意得，再结合，可求出，从而可求出双曲线的方程，

（2）设直线AB的方程为，，将直线方程代入双曲线方程消去化简，利用根与系数的关系，表示直线PA，PB的方程，从而可求出点M，N的坐标，再由化简计算可求出的关系，从而可证得结论

【详解】（1）设双曲线C的方程为（），

由题意知，

因为，所以解得

∴双曲线C的方程为

（2）设直线AB的方程为，，

由，整理得，

则，，得，

直线PA方程为

令，则M（0，），同理N（0，）.

由，可得，

∴0，

0，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴

当时，

此时直线AB方程为恒过定点，显然不可能

∴，直线AB方程为恒过定点

22．已知函数（）.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，，且在上恒成立，求实数 m 的取值范围.

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可利用导数求得函数的单调性；

（2）由题可得在上恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即得.

【详解】（1）由题可知的定义域为，，

当时，恒成立，在上单调递增；

当时，令，则，所以在上单调递增，

令，则，所以在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）当时，，

由在上恒成立，等价于在上恒成立.

令（），则只需即可，

∴，令（），

则，

所以在上单调递增，又，，

所以有唯一的零点，且，在上单调递减，在上单调递增，

因为，两边同时取自然对数，则有，

即，

构造函数（），则，

所以函数在上单调递增，又，

所以，即，

所以，

于是实数m的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：解决本题得关键是利用导函数得隐零点进行代换.