甘肃省靖远县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份甘肃省靖远县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

甘肃省靖远县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、设集合，，则( )
A. B. C. D.
2、已知，且，其中a，，则( )
A.， B.，
C.， D.，
3、坐标轴与圆C：的交点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4、函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
5、图中是抛物线形拱桥，当水面在m时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为( )

A.米 B.米 C.米 D.米
6、如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，，，D为SO的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC的距离为( )

A. B. C.1 D.2
7、某市场供应的黄瓜中，来自甲地的占40%，来自乙地的占30%，来自丙地的占30%，甲地、乙地供应的黄瓜的新鲜率（按斤计算）均为95%，丙地供应的黄瓜的新鲜率（按斤计算）是p，从该市场供应的黄瓜中任意购买一斤，若这斤黄瓜新鲜的概率为93.5%，则( )
A.85% B.88% C.90% D.92%
8、已知数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、已知向量，，则下列结论正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.的最小值为2 D.的最大值为4
10、已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则( )

A.在上单调递增
B.曲线在处的切线的斜率为0
C.
D.有1个极大值点
11、已知等比数列的公比为，前n项积为，若，则( )
A. B. C. D.
12、某电影院的一个播放厅的座位如图所示（标黑表示该座位的票已被购买），甲、乙两人打算购买两张该播放厅的票，目甲、乙不坐前两排.( )

A.若甲、乙左右相邻，则购票的情况共有54种
B.若甲、乙不在同一列，则购票的情况共有1154种
C.若甲、乙前后相邻，则购票的情况共有21种
D.若甲、乙分坐于银幕中心线的两侧，且不坐同一排，则购票的情况共有508种
三、填空题
13、已知点，都在直线l上，写出一个直线l的方向向量：______.
14、已知，，则的取值可以是______.
15、已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，P是椭圆C在第一象限内的一点，若，则______.
四、双空题
16、已知函数，存在两个极值点，，且，则a的取值范围为______，的取值范围为______.
五、解答题
17、已知在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18、已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.
（1）求角A的值；
（2）若，求面积的最大值.
19、如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，.

（1）若，证明：平面.
（2）若直线与平面所成的角为，求的值.
20、世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有的居民每周运动总时间超过5小时，B社区有的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且A，B，C三个社区的居民人数之比为.
（1）从这三个社区中随机各选取1名居民，求至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（2）从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
（3）假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且，现从这三个社区中随机选取1名居民，求该居民每周运动总时间为3至5小时的概率.
21、已知函数.
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若不等式恒成立，求a的取值集合.
22、已知双曲线C：经过点，双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知，D为PQ的中点，作PQ的平行线l与双曲线C交于不同的两点A，B，直线AQ与双曲线C交于另一点M，直线BQ与双曲线C交于另一点N，证明：M，N，D三点共线.
参考答案
1、答案：B
解析：
2、答案：A
解析：，，代入有，故，.
3、答案：C
解析：圆C：，即圆C：，画图（图略）易得坐标轴与圆C：有3个交点.
4、答案：C
解析：当时，.排除B，D.，当时，，单调递增，排除A，故选C.
5、答案：D
解析：以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系（图略），可设拱桥所在抛物线的方程为，则，得，则抛物线的方程为.当时，，故当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为米.
6、答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，

设平面SBC的法向量为，
则，令，得，
则点N到平面SBC的距离.
7、答案：C
解析：设A，B，C分别表示为买到的黄瓜来自甲地、来自乙地、来自丙地，D表示买到的黄瓜是新鲜黄瓜则，，，，，所以，解得.
8、答案：A
解析：，，解得.
9、答案：ABC
解析：若，则，解得，A正确.
若，则，解得，B正确.，故的最小值为2，无最大值，C正确，D错误.
10、答案：ABD
解析：由图可得，当，时，，当时，.所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以有1个极大值点，1个极小值点，A，D正确，C错误.曲线在处的切线的斜率为0，B正确.
11、答案：ABC
解析：因为，，所以，即，，故，，A，B正确.，，C正确，D错误.
12、答案：ABD
解析：若甲、乙左右相邻，先选座位：在第三排共有10种，在第四排共有种，在第五排有种，在第六排有种在第七排有种，共有27种.再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有54种购票情况.
甲、乙在同一列的情况共有种，则甲、乙不在同一列的情况有种.
若甲、乙前后相邻，先选座位：有种，再考虑甲乙顺序，有种，所以一共有42种购票情况.
中心线左侧有18个座位，右侧有18个座位.甲、乙分坐于两侧，有种.甲、乙分坐于两侧且坐同一排（按每一排考虑），有种，所以甲、乙分坐于两侧，且不坐同一排的购票情况共有种.
13、答案：
解析：，（，且）都是直线l的方向向量.
14、答案：（或或或）
解析：因为，所以，即，则或，所以或，.因为，所以的取值可以是或或或.
15、答案：
解析：设，则，.因为，所以，解得或.又P是椭圆C在第一象限内的一点，所以，则，故.
16、答案：；
解析：由，，得.因为存在两个极值点，，且，所以，，，则，则.令，，则，则，故.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）设的公差为d，由，可得.
因为，所以，所以.
因为，所以，
故.
（2）因为，所以，
所以.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，所以，
则，
则，故.
因为，所以，则.
（2）由余弦定理知，，
当且仅当时，等号成立.
因为，所以，则的面积，
即面积的最大值为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取的中点F，连接EF，DF，DC，.
由题意得，，
所以，则.
因为，，所以平面，所以.
因为，所以平面.
（2）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，.

设，，，，.
设平面的法向量为，
则
取，则.
设直线与平面所成的角为，
所以，
化简得，解得或.
当时，点E与点重合，此时，不符合题意.
所以，即的值为.
20、答案：（1）
（2）0.35
（3）0.3
解析：（1）设从A，B，C，三个社区中各选取的1名居民的每周运动总时间超过5小时分别为事件A，B，C，，
则，，，
设选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时为事件M，则事件M的对立事件为选取的3名居民每周运动总时间都没有超过5小时，
所以，故选取的3名居民中至少有1名居民每周运动总时间超过5小时的概率为.
（2）设A，B，C三个社区的居民人数分别为3a，3a，4a，，
则A社区每周运动总时间超过5小时的人数为，
B社区每周运动总时间超过5小时的人数为，
C社区每周运动总时间超过5小时的人数为，
所以，故从这3个社区中随机抽取1名居民且每周运动总时间超过5小时的概率.
（3）因为，所以.
因为，所以，
所以.
21、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，.，.
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2）解法一：由题意可得恒成立.
令函数，
则.
①当时，恒成立，此时单调递增，的值域为R，不符合题意.
②当时，则，不符合题意.
③当时，令，可得，即.
令函数，则，
所以在上单调递增.
设存在，使得，两边同时取对数可得，
则当时，，，当时，，，
所以当时，，
故只需即可.
令函数，则，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，即.
故只有唯一解，即.
综上，a的取值集合为.
解法二：由题意可得恒成立.
令，即.
令函数.
，要使恒成立，则是的极小值点.
，，解得.
经检验，符合题意.
综上，a的取值集合为.
22、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为双曲线C的渐近线方程为，
所以双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为.
因为双曲线C经过点，所以，解得.
故双曲线C的方程为.
（2）因为，，D为PQ的中点，所以，.
设直线l的方程为，，，，，
所以，，
直线AQ的方程为，直线BQ的方程为.
联立可得，
所以.
又因为，所以，
则，.
同理可得,.
，
，所以.
故M，N，D三点共线.