2022-2023学年北京市昌平区首都师范大学附属昌平校区高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年北京市昌平区首都师范大学附属昌平校区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数在处的瞬时变化率为（    ）

A．－2 B．－4 C．－ D．－

【答案】D

【分析】对函数求导，将代入导函数求值即可得瞬时变化率.

【详解】由题设，故.

故选：D

2．已知为等差数列的前项和，，则的值为（    ）

A．4 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.

【详解】因为，解得.

故选：A

3．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法总数是

A．210 B．420 C．56 D．22

【答案】A

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、在4种不同的荤菜中任选两种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与白米饭搭配，②、在4种不同的荤菜中任选一种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与蛋炒饭搭配，由加法原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2种情况讨论：

①在4种不同的荤菜中任选两种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与白米饭搭配，有种搭配方法；

②在4种不同的荤菜中任选一种荤菜，在7种不同的蔬菜任选两种蔬菜，与蛋炒饭搭配，有种搭配方法，

则每天不同午餐的搭配方法总数是种，

故选A．

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计算原理的应用，注意结合题意正确进行分类讨论，属于中档题.

4．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.

【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

只有C选项的图象符合.

故选：C.

5．已知数列满足，，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用递推关系即求.

【详解】依题意有，则，

由此得，，，．

故选：C．

6．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件电视机的显像管开关了次还能继续使用，记事件电视机的显像管开关了次后还能继续使用，则，，

所以，已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率为.

故选：D.

7．数列的前项和为，，则（    ）

A．32 B．16 C．15 D．8

【答案】B

【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再利用等比数列求.

【详解】因为，

所以时，，

所以，整理得，，又

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以．

故选：B

8．下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）中阴影三角形的个数为1，记为，图（2）中阴影三角形的个数为3，记为，以此类推，，，…，数列构成等比数列.设的前n项和为，若，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】依题意可得，再求出，即可得到方程，解得即可；

【详解】解：易知，所以，由，得，所以.

故选：C

9．已知三个互不相等的正数，，成等差数列，那么对于数列，，，下列说法正确的是（    ）

A．可能成等差数列 B．可能成等比数列

C．既可能成等差，也可能成等比数列 D．既不可能成等差，也不可能成等比数列

【答案】D

【分析】根据等差中项和等比中项分析可得答案.

【详解】因为三个互不相等的正数，，成等差数列,所以,

因为,

所以数列，，一定不成等差数列，故A不正确；

因为，

所以数列，，一定不成等比数列，故BC不正确.

故选：D

10．已知函数，若，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．当时，

D．

【答案】C

【分析】对于A，构造函数，通过导数得到函数的单调性进行判断；

对于B，构造函数，通过导数得到函数的单调性进行判断；

对于D，通过导数得到函数的单调性进行判断；

对于C，结合选项A、D计算与0的大小关系即可.

【详解】对于A选项，因为令，在上是增函数，所以当时，，所以，即．故A错误；

对于B选项，因为令，所以，所以时，单调递增，时，单调递减．所以与无法比较大小．故B选项错误；

对于D选项，，所以时，在单调递减，时，在单调递增，所以当时，，故成立，当时，，．故D错误；

对于C选项，由D选项知，当时，在单调递增，又由选项A得出成立

所以

,故C选项正确.

故选：C．

二、双空题

11．若数列满足，，则数列的通项公式      ，设为数列的前项和，那么当      时的值最小.

【答案】     /    

【分析】依题意可得是公差的等差数列，即可求出通项公式，再令，求出的取值范围，根据数列的单调性，即可确定的值最小时的值.

【详解】因为，所以是公差的等差数列，又，

所以，

令，即，解得，又公差，所以数列单调递增，

所以，

即数列的前项均为负数，所以当时的值最小.

故答案为：；

三、填空题

12．展开式的常数项是          ．（用数字作答）

【答案】24

【分析】求出给定二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.

【详解】展开式的通项公式是，

由，得，

所以展开式的常数项为.

故答案为：24

13．随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是         ．

【答案】

【详解】根据已知条件得，

解得b＝，a＝，c＝.

∴D(ξ)＝×(－1－)2＋×(0－)2＋×(1－)2＝.

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数的解析式      ．

①；②是偶函数；③在上单调递增．

【答案】（满足条件即可）

【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可》

【详解】解：如，

，，故，

是偶函数，

又在上单调递增，

故答案为：（满足条件即可）

15．如图，将一边长为的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要求所得容器的容积最大，则截去的小正方形边长为           .

【答案】1

【分析】根据题意先设小正方形边长为x，计算出容器体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可.

【详解】设剪去小正方形的边长为x，则容器的容积为：，.

令，则 (舍去)，.

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，

所以当时铁盒的容积最大，故截去的小正方形边长为1m.

故答案为：1.

16．已知函数，下列结论中正确的是             .

①函数有零点；

②函数有极大值，也有极小值；

③函数既无最大值，也无最小值；

④函数的图象与直线有3个交点.

【答案】①②④

【分析】由确定①正确，结合导数判断其他项的正确性．

【详解】，所以①选项正确，

，所以在区间上递增，在区间上递减，

所以当时，有极大值，

当时，有极小值，所以②选项正确，

因为恒成立，所以是的最小值，③选项错误，

画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y=1有3个交点，④选项正确．

故答案为：①②④．

四、解答题

17．已知数列中，，______，其中．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：数列是等比数列；

（3）求数列的前项和．

从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答．

【答案】选择条件见解析（1），；（2）证明见解析；（3）.

【分析】（1）选①：根据与的关系即可得出答案；

选②：根据可得数列是以2为首项2为公差的等差数列，从而可得答案；

选③：根据，可得数列为等差数列，设公差为，求出公差，从而可得答案；

（2）求出数列的通项公式，根据等比数列即可得出结论；

（3）利用分组求和及等比数列和等差数列的求和公式即可得出答案.

【详解】解：（1）选①：因为，，

当时，，

当时，等式也成立

所以，；

选②：由，，

所以数列是以2为首项2为公差的等差数列，

所以，；

选③：由，且，

可得数列为等差数列，设公差为，

则，

所以，；

（2）证明：，

可得，

所以数列是首项和公比均为4的等比数列；

（3），

.

18．某中学高二年级共有8个班，现从高二年级选10名同学组成社区服务小组，其中高二（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）.

（1）求选出的3名同学来自不同班级的概率；

（2）设为选出的同学来自高二（1）班的人数，求随机变量的分布列和数学期望.

【答案】（1）；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）设“选出的名同学来自不同班级”为事件，利用排列组合知识能求出选出的名同学来自班级的概率．

（2）随机变量的所有可能值为 分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．

试题解析：（1）三名学生均不来自高二（1）班的概率为

三名学生有1名来自高二（1）班的概率为

三名学生来自不同班级的概率为

（2）时，，时，

时，，时，.

的分布列如下表：

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”即利用排列组合，枚举法，概率公式求出随机事件取每个值时的概率；

第三步：写出“分布列”即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求曲线的单调区间及在上的最大值．

【答案】(1)；

(2)单调递增区间为和，单调递减区间为；最大值为.

【分析】（1）先求得在处切线的斜率，再求得切点坐标，由此求得切线方程；

（2）利用导数求得函数的单调区间，根据单调区间求得最大值.

【详解】（1）因为函数，，

所以，则,

所以切线方程为；

（2）因为，令得,

当时，，当时，，当时，，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为，

当时，.

20．某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与 的大小．（结论不要求证明）

【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）,（Ⅲ）

【分析】（Ⅰ）根据频率估计概率，即得结果；

（Ⅱ）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；

（Ⅲ）先求，再根据频率估计概率，即得大小.

【详解】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，

该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;

（Ⅲ）

【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

21．已知函数．

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，证明：；

（Ⅲ）判断在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数在定义域内不是单调函数．理由见解析

【分析】根据解析式可确定函数定义域并求得

（Ⅰ）求得和，根据导数几何意义可知切线斜率为，从而得到切线方程；

（Ⅱ）将所证不等式转化为；令，通过导数求得函数单调性，可得，即，从而证得结论；

（Ⅲ）令，通过导数可知单调递减；利用零点存在定理可知在内存在零点，从而得到的符号，进而得到单调性，说明不是单调函数.

【详解】由题意得：函数的定义域为，

（Ⅰ），

在点处的切线方程为：

即

（Ⅱ）当时，

欲证，即证，即证

令，则．

当变化时，变化情况如下表：

函数的最大值为，故

（Ⅲ）函数在定义域内不是单调函数．理由如下：

令，

    在上单调递减

，

存在，使得

当时，，从而，所以函数在上单调递增；

当时，，从而，所以函数在上单调递减

故函数在定义域内不是单调函数

【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、函数单调性的判断等知识；利用导数研究函数单调性时，若导函数零点不易求得，则可利用零点存在定理和导函数的单调性确定零点所在区间，进而得到函数的单调区间.