精品解析：北京市首都师范大学附属中学（通州校区）2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题（解析版）

首师大附中（通州校区）高二月考

数学试卷

一、单选题（每小题4分，共40分）

1. 某物体做直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)满足关系式，那么该物体在s时的瞬时速度是（    ）

A. 2m/s B. 4m/s C. 7m/s D. 12m/s

【答案】D

【解析】

【分析】

对求导，将代入导函数，可求出答案.

【详解】对求导，得，

当时，（m/s），

所以物体在s时的瞬时速度是12m/s.

故选：D.

【点睛】本题考查瞬时速度，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．

2. 在的二项式展开式中，常数项是（    ）

A. 504 B.  C. 84 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式

令 ，解出 ，再代入通项公式中即可

【详解】根据二项展开式的通项公式

令，解得

故选：C

3. 若直线与曲线相切，则（    ）

A. 1 B. 2 C. e D.

【答案】B

【解析】

【分析】设切点，则由导数的几何意义可得，解方程组可得.

【详解】设切点坐标为，.

则，解得.

令，则，

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以，所以方程的根为．

故选：B.

4. 设随机变量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得结果．

【详解】因为随机变量，

所以，

解得或（舍） ，

所以，

所以.

故选：D．

5. 某学校安排了4场线上讲座，其中讲座A只能安排在第一或最后一场，讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法共有（    ）种

A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

【答案】C

【解析】

【分析】首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，即可得到答案.

【详解】设四场讲座为，

首先排，共有种，视为一个整体与全排，共有种，再排，共有种，

综上共有种.

故选：C

6. 盒子里有5个球，其中有2 个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，求出，，利用条件概率公式求出概率.

【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，

则，，

则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为.

故选：D

7. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.

【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：

，

故选：A.

8. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率不是的事件为（     ）

A. 恰有1只是坏的 B. 4只全是好的

C. 恰有2只是好的 D. 至多2只是坏的

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意计算随机地抽取4只的总事件数，再根据组合的方法分别计算各选项中的事件数再判断即可

【详解】盒中有10只螺丝钉，

盒中随机地抽取4只的总事件数为：，

其中有3只是坏的，

所以可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：，，，，

恰有1只坏的概率为：，

恰有2只好的概率为：，

4只全是好的概率为:，

至多2只坏概率为:；

故选：ABD．

9. 对于函数的描述，下列说法正确的是（    ）

A. 函数存在唯一的零点 B. 函数在区间上单调递增

C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的值域为R

【答案】C

【解析】

【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的性质，得到函数的零点及单调性即可判断选项A，B，C选项，利用最值以及函数值即可判断选项D．

【详解】对于A，由题意函数，定义域为，，，无解,A错误；

又因为，当或时，，故函数单调递减，

当时，，故函数单调递增，B错误C正确；

当又,,且当时，，所以，故函数的值域不为R .

故选：C．

10. 设函数在R上可导，其导函数为，已知函数的图象如图所示，有下列结论：

①有极大值

②在区间上是增函数

③的减区间是；

④有极小值.

则其中正确结论的个数是（    ）

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【答案】C

【解析】

【分析】根据，的正负求出的正负，可得函数的单调性及极值，判断选项.

【详解】当时，由的图象可知，所以，

当时，由的图象可知，所以，

当时，由的图象可知，所以，

即函数在上递增，在上单调递减，

所以有极大值.

故①③正确，②④错误.

故选：C

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 设随机变量的分布列为，则__________，数学期望___________.

【答案】    ①. 10    ②. 3

【解析】

【分析】利用分布列中所有取值的概率之和为1，算出a的值，再用期望公式计算.

【详解】随机变量的分布列为，

，解得；

.

故答案为：10；3.

12. 二项展开式，则________；________．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，即可根据题意，求出.

【详解】因为展开式的第项为，

令，得；

令，得；

令，得

因此.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.

13. 一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，则至少取到2个正品的概率为__________

【答案】##08

【解析】

【分析】根据已知，利用古典概型以及组合数进行计算求解.

【详解】一个箱子中有6个大小相同产品，从中任取3个产品，有种取法，

其中4个正品、2个次品，至少取到2个正品有种取法，

所以至少取到2个正品的概率为.

故答案为：.

14. 若在上是减函数，则b的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据导数的性质，结合参变分离法进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

因为在上是减函数，

所以在上恒成立，

即，

所以

当时，，所以，

故答案为：

15. 给出如下关于函数的结论：

①；②对，都，使得；③，使得；

其中正确的结论有___________.（填上所有你认为正确结论的序号）

【答案】①③

【解析】

【分析】通过导数求函数的单调区间，对于①作差法比较大小；由单调性判断值域，来判断②是否正确；对于③化简,构造函数来解决是否存在的问题.

【详解】对于①，函数，定义域为，

 ，

即，故 ①正确；

对于②，，，，单调递增，，，单调递减，

当时， ，，都有，找不到，使得，故②错误；

对于③，，令，

 则 ，

故 ，，单调递增， ，，单调递减，

  ，

  ， ，

即，使得，故③正确；

故答案为：①③

【点睛】比大小问题多采用作差的方法将差值与0比较从而得到两个数的大小关系；导数是研究函数的重要工具，通过导数可以判断出函数的单调性，变化趋势等，从而求解相关题目.

三、解答题（共85分）

16. 袋子中有标号为1号的球3个，标号为2号的球3个，标号为3号的球2个，如下表.现从这8个球中任选2个球.

（1）求选出的这2个球标号相同的概率；

（2）设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值，求X的分布与数学期望.

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）求8个球中任选2个球的方法数，再求选出的这2个球标号相同的方法数，利用古典概型公式求概率；

（2）根据随机变量X的取值，计算相应的概率，列出分布列，由期望公式计算数学期望.

【小问1详解】

从这8个球中任选2个球，有种结果，

其中这2个球标号相同有种结果，

所以从这8个球中任选2个球，其中这2个球标号相同的概率为.

【小问2详解】

随机变量X可能的取值为0，1，2，

，

，

，

则X的分布列为：

数学期望.

17. 已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，判断函数零点的个数.

【答案】（1）答案见解析
   

（2）一个零点，理由见解析

【解析】

【分析】（1）求出，分、、讨论可得答案；

（2）由（1）当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为可得函数的极大值，再利用导数证明可得答案.

【小问1详解】

，

令得，

当时，，则函数在上单调递增，

当时， 或时，，

时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，

当时， 或时，，时，，

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为.

【小问2详解】

当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下，

由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减； 则函数的极大值为，

且极小值为，令，，

则，，

所以在上单调递增，

所以，

所以当时，，

，

因为，所以，，可得，

如下图，作出函数的大致图象，

由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数.

  【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力.

18. 某公司生产一种产品，销售前要经过两次检测，两次检验都合格，该产品即为合格品，否则为次品.已知该产品第一种检测不合格的概率为，第二种检测不合格的概率为，两次检测是否合格相互独立.

（1）求每生产一台该产品是合格品概率；

（2）据市场调查，如果是合格品，则每台产品可获利200元；如果是次品，则每台产品获利100元.该公司一共生产了2台该产品，设随机变量X表示这2台产品的获利之和，求X的分布列及数学期望.

【答案】（1）   

（2）的分布列见解析；的数学期望为350元.

【解析】

【分析】（1）根据题意设出事件直接运用概率的乘法公式进行计算即可；

（2）先得到的可能取值为，再直接求解各个概率即可，通过离散型随机变量的期望公式求解数学期望即可.

【小问1详解】

记“生产一台该产品是合格品”为事件，

则，

答：每生产一台该产品是合格品的概率为.

【小问2详解】

由（1）知，每生产一台该产品是合格品的概率为，

每生产一台该产品是次品的概率为，

的可能取值为，

则，

，

，

所以的分布列为：

所以（元）.

答：的分布列见上；的数学期望为350元.

19. 甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.规定成绩超过85分为优秀.两位同学的测试成绩如下表：（单位：分）

（1）从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩优秀的概率；

（2）从甲同学进行的6次测试中随机选取2次，设表示这2次测试成绩达到优秀的次数，求的分布列及数学期望；

（3）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设随即变量X表示这3次测试是成绩优秀的次数，随机变量Y表示这3次测试成绩不是优秀的次数；请直接写出EX与EY的关系式，比较DX与DY的大小（只需结论，不需过程）

【答案】（1）；   

（2）

；   

（3），.

【解析】

【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；

（2）根据题意先求出所有的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；

（3）根据题意先求出所有与的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，分别计算出期望与方差再比较大小即可.

【小问1详解】

从甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过85分的共7次，

由古典概型的计算公式可知，该次测试成绩优秀的概率，

所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩优秀的概率为.

【小问2详解】

从甲同学进行的6次测试中随机选取2次，这2次测试成绩达到优秀的次数的可能取值为0，1，2，

则，，，

所以的分布列为

所以.

【小问3详解】

从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试是成绩优秀的次数的可能取值为0，1，2，3,

则，，

，，

所以的分布列为

所以.

.

同理可得这3次测试成绩不是优秀的次数的分布列为

所以.

.

所以，.

20 已知函数，.

（1）请直接写出函数恒过那个定点；

（2）判断函数的极值点的个数，并说明理由；

（3）若对任意，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）当时，则函数有一个极值点；

当或时，则函数有两个极值点；

当时，则函数无极值点.   

（3）

【解析】

【分析】（1）用赋值法，令含参数的项为零，可得答案；

（2）利用导数，令导数等于零，根据分类讨论，结合极值的判定方法，可得答案；

（3）根据（2），利用函数的最小值的情况，可得答案.

【小问1详解】

令，，故函数的定点为.

【小问2详解】

，令，即.

当时，，，解得，

则函数有一个极值点；

当时，，解得或，且，

则函数有是两个极值点；

当时，，解得，

则函数无极值点；

当时，，解得或，且，

则函数有两个极值点；

综上，当时，则函数有一个极值点；

当或时，则函数有两个极值点；

当时，则函数无极值点

【小问3详解】

当时，由（2），可知，即恒成立；

当时，有，不满足题意，

当时，由（2），在单增，当时，，故不满足题意，

当时，由（2），在上递减，所以，不满足题意，

综上，当时， 恒成立.

21. 已知函数，.

（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求实数的值；

（2）当且时，证明：为函数的极小值点；

【答案】（1）   

（2）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）将交点分别代入和可得，再利用导数的几何意义使斜率相等可得；

（2）易知，通过构造函数可证明当时其在时恒大于零，即可得出的单调性进而得出证明.

【小问1详解】

根据题意可得，即，

所以也在上，即可得，即；

又因为在交点处具有公共切线，所以，

易知，；

，所以，可得

【小问2详解】

当时，

，

令，，则，

当时，在恒成立，单调递增，

所以，可得

当时，令可得，

所以时，，单调递减；

时，，单调递增；

即函数在处取得最小值，所以，

综上可得时，恒成立，

所以当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，是的极小值点.