2022-2023学年北京市第五十七中学高二下学期期中测试数学试题含答案

2022-2023学年北京市第五十七中学高二下学期期中测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接求并集得到答案.

【详解】集合，则.

故选：C

2．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，结合复数的运算，代入计算，即可得到结果.

【详解】因为复数对应的点的坐标为，则

所以

故选:A

3．在等差数列中，，，则=（    ）

A．9 B．11 C．13 D．15

【答案】C

【分析】利用等差数列的基本量计算可得答案.

【详解】设等差数列的公差为，则，

则

故选：C

4．已知双曲线的离心率是2，则（    ）

A．12 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.

【详解】由题意可得，

解得，

故选：B.

5．若点为圆的弦的中点，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由垂径定理可知，求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.

【详解】圆的标准方程方程为，，即点在圆内，

圆心，，由垂径定理可知，则，

故直线的方程为，即.

故选：C.

6．已知平面向量，满足，，且与的夹角为，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】A

【分析】根据向量数量积的定义及运算性质即得．

【详解】∵，，且与的夹角为，

∴，

∴，

∴．

故选：A.

7．函数y=sin2x的图象可能是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.

详解：令，

因为，所以为奇函数，排除选项A,B;

因为时，，所以排除选项C，选D.

点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

8．设是等差数列，其前项和为.则“”是“为递增数列”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】先由进行化简，能推出，即为递增数列.

再由为递增数列，得，能推出

故“”是“为递增数列”的充分必要条件.

【详解】设的公差为 .

充分性证明：由得： ，即：.

所以为递增数列.

必要性证明：由为递增数列得： ，所以

所以“”是“为递增数列的充分必要条件

故选：C.

【点睛】本题主要结合等差数列考查充分条件及必要条件的判断.属于基础题目.

9．函数，.若存在，使得，则的最大值是（    ）

A．8 B．11 C．14 D．18

【答案】C

【解析】令，原方程可化为存在，使得，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得的最大值.

【详解】因为存在，

使得，

故.

令，，则，

故，因为

故，故.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到满足的条件，本题属于较难题.

10．名学生参加某次测试，测试由道题组成．若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从进行讨论即可得出的最小值为9.

【详解】根据题意可知，不妨设，

所以，若求的最小值，只需最小即可；

易知当时，即；

此时即有3名学生不妨设为甲、乙、丙；3道题目设为；

根据题意可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，

可设甲同学做出了两道题，乙同学做出了两道题，丙同学做出了0道题，

此时合格的学生为甲乙，即有名学生成绩合格，

三道题目中有两道题，有名学生未解出来，即满足测试中有道题为难题；

所以符合题意.

故选：B

二、填空题

11．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若在区间上的最小值为，则的最大值为     ．

【答案】

【分析】首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：将向右平移个单位长度得到，

因为，所以，

由于函数，

该函数在上的最小值为，故，故，

即的最大值为．

故答案为：．

12．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是                ．

【答案】13

【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，

判别式，

∴，

∴ ， 得，

∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.

故答案为：13.

13．已知函数和，若存在实数使得，则实数的取值范围为          ．

【答案】

【详解】当时,

;当时,,若存在使,则,即,解得,故填.

点睛：本题考查学生的是函数的应用问题,属于中档题目.首先求出分段函数的值域,一段根据对数函数的单调性,另外一段利用对勾函数的性质以及基本不等式和反比例的值域求得,根据题意,即方程有解问题,从而限制的范围,解出不等式即可.

三、双空题

14．声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.

（1）若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为，甲、乙声波合成后的数学模型为.要使恒成立，则的最小值为            ；

（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S1，S2两种不同的声波合成得到的，S1，S2的数学模型分别记为和，满足.已知S1，S2两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个.

①；        ②

③；④

则S1，S2两种声波的数学模型分别是         .(填写序号)

【答案】          ②③

【分析】（1）结合诱导公式求得的最小值.

（2）根据的图象确定正确的数学模型.

【详解】（1）由得，

即，所以，由于为正数，所以的最小值为.

（2）根据的图象可知，的最大值小于，由此排除④，

根据的图象可知，的最小正周期为，对于①，其最小正周期为，由此排除①.

，

，的周期为，符合题意.

故答案为：；②③

四、填空题

15．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：

①；

②；

③直线与底面所成角的正弦值为；

④面积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是         ．

【答案】①④

【分析】①通过线面垂直证明线线垂直

②通过计算可得到结果

③通过线面角的定义与计算可得到结果

④通过求OE的取值范围计算三角形面积的取值范围

【详解】

由， 得平面，因为平面，所以，①正确

计算可得,，，

所以，②不正确；

由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③不正确；

由得，，

， 时最小，④正确．

故答案为：①④

五、解答题

16．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)的值；

(2)角的大小和的面积.

条件①：；条件②：.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得，若选②，先由同角三角函数的关系求出，然后由正弦定理可求出，

（2）若选①，先求出，再利用正弦定理可求出角，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角，利用面积公式可求出其面积，

【详解】（1）选择条件①

因为，，，

由余弦定理，得，

化简得，

解得或（舍）.

所以；

选择条件②

因为，，

所以，

因为，，

所以，

由正弦定理得，得，

解得；

（2）选择条件①

因为，，

所以.

由正弦定理，得，

所以，

因为，所以，

所以为锐角，

所以，

所以，

选择条件②

由（1）知，，

又因为，，

在中，，

所以

因为

所以，

所以

17．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．

(1)求证：平面BDE；

(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

(3)求点D到平面ABE的距离．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）利用空间向量的方法求线面角即可；

（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.

【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，

∵平面，∴平面，

∵平面，∴，

在三角形中，，为中点，∴，

∵，平面，∴平面.

（2）

如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

在直角三角形中，，，∴，

，，，，

，，，

设平面的法向量为，

，令，则，，所以，

设直线与平面所成角为，

所以.

（3）设点到平面的距离为，所以.

18．已知椭圆：，上下两个顶点分别为，，左右焦点分别为，，四边形是边长为的正方形，过作直线交椭圆于，两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求证：四边形对角线交点的纵坐标与，两点的位置无关.

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】（1）求出后可得椭圆的方程.

（2）设直线，，则可用的坐标表示直线与直线交点的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去后，利用韦达定理化简，从而可得为定值.

【详解】（1）因为四边形是边长为的正方形，故，所以，

所以椭圆方程为：.

（2）设直线，，

则直线，，

由可得直线与直线交点的纵坐标为

，

由可得，

所以，且，

又，

故四边形对角线交点的纵坐标与，两点的位置无关.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.

19．已知函数．

（1）若函数在区间(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

（2）试判断1是不是函数的极值点，并说明理由；

（3）是否存在实数a，使得直线y=x-2与曲线相切？若存在，直接写出满足条件的实数a的个数；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）存在；实数a的个数为2．

【分析】（1）由题意知：，恒成立，即，则可求a的范围；

（2）讨论、、、，判断是否为0，即可说明1是不是函数的极值点；

（3）根据a值，判断切点处是否有成立.

【详解】（1）由解析式知：定义域为，且，

∵在区间(1，+∞)上单调递增，

∴对，都成立，即．

∴即可，故a的取值范围是．

（2）①当时，令，得x = a(舍)或1，

②当时，令，得x = a或1，

③当时，对，(当且仅当x=1时取等号)，所以f(x)在区间(0，+∞)上单调递增，无极值；

④当时，令，得x = a或1，

综上所述，当时，1不是极值点；当或时，1是极值点

（2）存在，满足条件的实数a的个数为2.

【点睛】关键点点睛：

（1）由区间单调性，结合导数的符号求参数范围；

（2）讨论参数a的范围，利用函数的导数研究区间单调性，进而判断1是否为极值点；

（3）直接写出a值，根据切点处有是否成立.

20．已知数列，具有性质P：对任意（）与，两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和．

（1）分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P：

（2）证明：且；

（3）证明：当时，成等差数列．

【答案】（1）数列不具有性质；数列具有性质；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【分析】（1）利用数列新定义直接判断即可.

（2）由定义知，，证明，利用累加法即可证得结论.

（3）由（2）可证得，利用定义知是数列A中的项，可知，即可证得数列是以0为首项，公差为的等差数列．

【详解】（1），，所以数列不具有性质；

；；；；；，六组数中，至少有一个属于，所以数列具有性质．

（2）由数列具有性质，

与中至少有一个属于A，

又，，故，，．

由A具有性质可知，．

，

；

上边n个式子累加得：，

，

（3）证明：由（2）知，，，

而不是数列A中的项，则是数列A中的项，

，，

所以数列是以0为首项，公差为的等差数列．

【点睛】关键点点睛：本题是一道新型的探索性问题，认真理解题目所给的数列新定义是解决问题的关键，通过解决探索性问题，培养学生综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力，属于难题.

21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底．

(1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；

①，；

②，．

(2)若集合是集合的一个元基底，证明：；

(3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底.，是的一个二元基底.．

（2）设，计算出的各种情况下的正整数个数并求出它们的和，结合题意得，即．

（3）由（2）可知，所以，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”．再讨论当时，集合的所有情况均不可能是的4元基底，而当时，的一个基底，由此可得 的最小可能值为5．

【详解】（1）①不是的一个二元基底.

理由是；

②是的一个二元基底.

理由是，

.

（2）不妨设，则

形如 的正整数共有个；

形如 的正整数共有个；

形如 的正整数至多有个；

形如 的正整数至多有个.

又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底.

故，即.

（3）由（2）可知，所以.

当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *

假设为的一个4元基底，

不妨设，则.

当时，有，这时或.

如果，则由，与结论*矛盾.

如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾.

当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.

当时，均不可能是的4元基底.

当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.

综上，的最小可能值为5.

【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.