2022-2023学年北京市第二十五中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年北京市第二十五中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A．6 B．12 C．8 D．20

【答案】C

【分析】根据组合数与排列数的运算即可得答案.

【详解】∵，，

∴.

故选：C.

2．下列结论中正确的是（    ）

A．若，，则

B．若且，则

C．设是等差数列，若，则

D．若，则

【答案】A

【分析】根据不等式的性质判断A，利用特殊值判断B，根据等差数列的性质及基本不等式判断C，构造函数，利用导数判断D.

【详解】选项A，由，可得，则，

又，所以，则，故A正确.

选项B，取，则，

则不等式不成立，故B不正确.

选项C，由题意得且，

所以，故C不正确.

选项D，设，则，

当时，，则单调递减，，

即，故D不正确.

故选：A.

3．函数的导数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据复合函数的求导公式求解即可.

【详解】解：由已知可得，

故选：B.

4．在等差数列中，若，，则（    ）

A．6 B．8 C．16 D．32

【答案】B

【解析】先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.

【详解】因为等差数列中，，，

所以公差，，

则，

故选：B.

5．已知等比数列各项均为正数，且，则=（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】利用等比数列的通项公式即可求解.

【详解】由可得：，即，

因为，，所以，

解得：或（舍），

故选：D.

6．已知等差数列{an}，则“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”的

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解：在等差数列{an}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{an}为单调递增数列，

若数列{an}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，

即“a2＞a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件，

故选C．

【解析】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

7．某质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A．8 B．12 C．18 D．24

【答案】B

【分析】利用导数的物理意义，即可求解.

【详解】，当时，，所以质点在时的瞬时速度为.

故选：B

8．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】求导函数，

当时，，

∴曲线在点处的切线方程为：，

即.

故选：A.

9．如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路.从甲地到丁地的不同路线共有（    ）

A．条 B．条

C．条 D．条

【答案】C

【分析】分甲乙丁与甲丙丁两种情况分类,再根据乘法原理分别求解再求和即可.

【详解】若线路为甲乙丁则有,路线为甲丙丁则有.故共有.

故选：C

【点睛】本题主要考查了分步与分类计数的方法,属于基础题.

10．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有（    ）

A．48个 B．60个 C．96个 D．120个

【答案】B

【分析】根据排列数的意义求解即可.

【详解】根据题意，由1，2，3，4，5组成的无重复数字的3位数有：.

故选：B.

11．函数的单调增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求导函数，令，解不等式即可得函数单调增区间.

【详解】，定义域为

则，

令，解得，

故函数的单调增区间为.

故选：A.

12．函数的极值情况是（    ）

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值

C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值

【答案】D

【分析】对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值.

【详解】∵，∴，

由，得或，

时，；时，；时，，

∴函数的递减区间是，；递增区间是，

∴当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，

∴函数既有极大值又有极小值.

故选：D.

13．已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（    ）

A． B．没有极大值

C．时，有极大值 D．时，有极小值

【答案】D

【分析】根据函数的图象可知，有极大值，的值无法确定，再根据的图象确定的单调性，从而可说明不是函数的极值点，是函数的极小值点.

【详解】解：如图所示，设函数的图象在原点与之间的交点为．

由图象可知：.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增．

可得：是函数的极小值点，是函数的极大值点，是函数的极小值点．

不是函数的极值点，不一定成立．且由图知，有极大值.

故选：D．

14．设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.

15．对于R上可导的任意函数，若满足则必有

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.

【详解】

若，则为常数函数,;

若不恒成立,

当时, ,递增，当时,,递减.

.

故选:C.

【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.

二、填空题

16．在等比数列中，，则           .

【答案】

【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可.

【详解】设该等比数列的公比为，因为，所以，

因此，

故答案为：

17．已知函数，则          .

【答案】6

【分析】利用求导公式对进行求导，根据导数的定义即可求值.

【详解】解：∵，

∴，∴，

则.

故答案为：6.

18．已知函数，则  

【答案】

【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】解：∵，∴，∴；

故答案为：

19．函数在上的最大值为          .

【答案】10

【分析】对二次函数配方后，根据二次函数的性质可求得其最大值.

【详解】解：根据题意，函数，

当时，，当时，，

故函数在上的最大值为10.

故答案为：10.

三、双空题

20．已知二项式的展开式中各项二项式系数和是16，则n＝     ，展开式中的常数项是    ．

【答案】     4     24

【分析】由二项式的和有求n值，写出二项式展开式通项，进而求常数项.

【详解】由题意，则，故二项式展开式的通项为，

令，得，故展开式中的常数项为24.

故答案为：4，24

四、填空题

21．数列中，若，，则          .

【答案】

【分析】根据数列的递推关系式结合累乘法即可得.

【详解】由题意，，可得，所以，

所以.

故答案为：.

22．已知数列的前项和，则          .

【答案】

【解析】根据，求出通项，再验证也满足所求式子即可.

【详解】因为数列的前项和，

所以，

又也满足上式，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查由求数列的通项，属于基础题型.

23．若曲线在点处的切线过点，则实数的值为         .

【答案】/

【分析】根据导数的几何意义结合导数的运算即可确定切线方程，根据切线方程过点，列方程求解实数的值.

【详解】由，得，

∴，

又，

∴曲线在点处的切线方程为，

代入，得，

解得.

故答案为：.

24．已知函数在上是减函数，则的取值范围是        ．

【答案】

【分析】根据导数与单调性的关系,对求导,并令,即可求得的取值范围.

【详解】因为函数

则

因为 在上是减函数

所以在上恒成立

即

则当时, 恒成立

当时, 在上恒成立,则

综上所述, 的取值范围是

【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用,二次函数恒成立问题,属于基础题.

25．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导.则在开区间上至少存在一点，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值”        ．

【答案】

【分析】先求，结合拉格朗日中值的定义，可得求得的值即可.

【详解】由可得，

所以，

由拉格朗日中值的定义可知，

即，

所以．

故答案为： .

五、解答题

26．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(结果用数字回答)

（1）选4人排成一排;

（2）排成前后两排,前排1人，后排4人;

（3）全体排成一排,女生必须站在一起;

（4）全体排成一排,男生互不相邻;

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边;

（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边;

（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前.

【答案】（1）120；（2）120；（3）36；（4）72；（5）72；（6）78；（7）20.

【分析】（1）（2）直接利用排列求解；

（3）利用捆绑法求解；

（4）利用插空法求解；

（5）利用优先法求解；

（6）利用间接法求解；

（7）利用整体法求解.

【详解】（1）选4人排成一排，有种；

（2）排成前后两排,前排1人，后排4人，有种；

（3）全体排成一排,女生必须站在一起，有种；

（4）全体排成一排,男生互不相邻，有种；

（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边，有种；

（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边，有种；

（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前，有种.

27．已知数列满足，，等差数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；

（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．

【详解】解：（1）由，，

可得；

设等差数列的公差为，

由，，

可得，

则；

（2），

可得数列的前项和为

．

28．已知是等差数列，其前n项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)数列的通项公式；

(2)的最小值，并求取得最小值时n的值．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)条件①：；条件②：

(2)条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为.

【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.

【详解】（1）若选择条件①：

设等差数列的公差为，由可得；

又，得，即；

解得，

所以；

即数列的通项公式为.

若选择条件②：

设等差数列的公差为，由可得；

又，即，得；

解得；

所以；

即数列的通项公式为.

（2）若选择条件①：

由可得，；

根据二次函数的性质可得当时，为最小；

即时，取最小值，且最小值为.

若选择条件②：

由可得，；

根据二次函数的性质可得当或时，为最小；

即或时，取最小值，且最小值为.

29．已知曲线：.

(1)求的值；

(2)求曲线在点处的切线方程；

(3)求函数的极值.

【答案】(1)2

(2)

(3)极大值为，极小值为

【分析】（1）根据题意，求导之后代入计算即可得到结果；

（2）根据题意，求导之后，由导数的几何意义即可得到结果；

（3）根据题意，求导之后，代入计算，即可得到极值.

【详解】（1）已知，函数定义域为，可得，所以；

（2）由（1）知，又，所以曲线在点处的切线方程为，即；

（3）由（1）知，

令，解得或，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以在处取得极大值，在处取得极小值.

30．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处切线的倾斜角；

(2)当时，函数在区间上的最小值为，求的取值范围；

(3)若对任意、，，且恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的倾斜角；

（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，结合可得出实数的取值范围；

（3）设，分析可知，函数在上单调递增，对实数的取值进行分类讨论，结合对任意的恒成立，可求得实数的取值范围.

【详解】（1）解：当时，，，则，

所以曲线在点处切线的倾斜角为.

（2）解：函数的定义域为，

当时，，

令，可得或.

①当时，即时，在上单调递增，

所以在上的最小值是；

②当，即时，

若，则，此时函数在上单调递减，

当时，即，此时函数在上单调递增，

所以，在上的最小值是，不合题意；

③当，即时，对任意的时，，

则在上单调递减，

所以在上的最小值是，不合题意.

综上可得，故的取值范围为.

（3）解：设，则，

对任意、，，且恒成立，

等价于在上单调递增.

而，

①当时，，此时在单调递增；

②当时，只需在恒成立，

因为，只要，则需要，

二次函数的对称性为直线，

只需，即.

综上可得，

所以的取值范围为.

【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：

（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；

（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；

（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.