2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，则（    ）

A．5 B．6 C．8 D．9

【答案】A

【分析】利用等差数列的性质即可求出的值.

【详解】由题意，，

在等差数列中，，

∴，解得：，

故选：A.

2．已知的值是（    ）

A．3 B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】根据导数值的定义计算即可.

【详解】根据导数值的定义：.

故选：C

3．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数公式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，，故A选项错误；

对于B选项，，故B选项正确；

对于C选项，，故C选项错误；

对于D选项，，故D选项错误.

故选：B

4．如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（    ）

①在区间上是增函数；                         

②是的极小值点；

③在区间上是增函数，在区间上是减函数；   

④不是的极大值点．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】D

【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．

【详解】由导函数的图象可知，当时，

当时，当时，当时，

所以在区间上单调递减，故①错误；

在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，

在和处取得极小值，处取得极大值，故②③④正确；

故选：D．

5．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导后，代入即可.

【详解】，.

故选：B.

6．若直线与曲线相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线求解即可.

【详解】因为，所以，

令，解得，

将代入得：，

所以切点的坐标为，代入得：

，解得.

故选：C.

7．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.

【详解】根据指数函数性质在上单调递增，

故当时，则在上单调递增，

，

根据零点存在定理，在存在唯一零点，

则当时，无零点

时，，

令，则，时，则；

在上单调递减，在上单调递增，

于是时，有最小值

依题意，，解得，所以最小整数为

故选：C

8．已知若，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令，则，构造函数，通过求导，分析单调性求出最值，即可求得的最小值．

【详解】令，则，，所以

令，则

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，

则

所以，则的最小值为

故选：A

二、多选题

9．可能把直线作为切线的曲线是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.

【详解】因为直线的斜率，

对于选项A：因为，则，

令，解得，故A正确；

对于选项B：因为，则，

又因为，则方程无解，故B错误；

对于选项C：因为，则，

令，解得，故C正确；

对于选项D：因为，则，

令，解得，故D正确；

故选：ACD.

10．已知直线与抛物线相切，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】AB

【分析】设出切点坐标，由导数的几何意义求解即可.

【详解】因为直线与抛物线相切，

设切点坐标为，因为抛物线，所以，

所以，所以①，

由切点在直线与抛物线上，

所以且，所以②，

由①②可得：或.

所以，所以.

故选：AB

11．已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．曲线在点处切线的斜率为0

D．是偶函数

【答案】AC

【分析】通过对函数求导，即可得出结论.

【详解】由题意，，

在中，，

∴当时，，

∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；

A项，当时，，

故在单调递增，A正确；

B项，当时，，

当时，，所以只有0一个零点，B错误；

D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.

故选：AC.

12．如下图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意分析可得：，利用累加法求得，进而可以判断选项A、B、C；再利用裂项相消法分析判断选项D.

【详解】由题意可知：，

可得，，……，，

以上个式子累加可得：，

所以，

且也满足上式，所以.

则，所以，故选项A正确；

由递推关系可知：，故选项B不正确；

当，，故选项C正确；

因为，

所以

，故选项D正确；

故选：ACD.

三、填空题

13．曲线在点处切线的斜率为          ．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解.

【详解】因为，所以，

所以，即曲线在点处切线的斜率为.

故答案为：

14．若函数在上无极值点，则实数m的取值范围是          ．

【答案】

【分析】根据极值点的定义结合二次函数分析求解.

【详解】因为，

若函数在上无极值点，等价于在上至多有一个零点，

则，解得，

所以实数m的取值范围是.

故答案为：.

15．已知等比数列为递减数列，且，，则数列的通项公式          ．

【答案】

【分析】设数列的首项为，公比为，依题意由等比数列通项公式求出、，即可得解.

【详解】设数列的首项为，公比为，显然，

由，可得，所以，

由，即，可得，

解得或，因为数列为递减数列，所以，则，

所以.

故答案为：

16．已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是          ．

【答案】

【分析】由函数的奇偶性，单调性求解不等式即可.

【详解】由，

则，即函数为上的奇函数．

又，函数为上的增函数，

又，所以，即，

解得，即实数的取值范围是．

故答案为：.

四、解答题

17．设等差数列公差为，等比数列公比为，已知.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记，求数列的前项和.

【答案】（1），，（2）

【解析】（1）由求得,即可得到,进而求解即可；

（2）由（1）可得,则利用分组求和法求解即可

【详解】（1）因为,所以,

又,所以,

又因为,所以,

因为,

所以,.

（2）.

所以

.

【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式,考查等差数列、等比数列前项和公式的应用,考查分组求和法求数列的和

18．设函数，其中．

(1)当时，求在区间上的最大值与最小值；

(2)求函数的单调递增区间．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用导数可确定在上的单调性，进而确定最值点和最值；

（2）求导后，根据的两根可确定的解集，由此可得单调递增区间.

【详解】（1）当时，，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

，.

（2）由题意知：定义域为，；

令，解得：或；

，，当时，，

的单调递增区间为.

19．已知函数，．

(1)求函数在上的值域；

(2)若，，使得，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数可求得单调性，结合单调性可确定最值，由此可得值域；

（2）将问题转化为，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.

【详解】（1），当时，；

在上单调递减，，；

在上的值域为.

（2），，使得，；

当时，；

由（1）知：当时，，，解得：，

即实数的取值范围为.

20．在数列中，，对，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，证明数列的前项和．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）化简已知递推关系式可证得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可整理推导得到；

（2）利用裂项相消法可求得，由此可推理得到结论.

【详解】（1）由得：，又，

数列是以为首项，为公差的等差数列，，

.

（2）由（1）得：，

，

，，，即.

21．已知数列满足．

(1)求证：数列为等比数列；

(2)设，求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意结合等比数列定义分析证明；

（2）由（1）结合等比数列通项公式可得，利用错位相减法运算求解.

【详解】（1）当时，则，

可得，且，即，

所以，

故是首项为4，公比为2的等比数列．

（2）由（1）可知，则，

所以，

则①，

② ，

①-②得

，

所以．

22．已知函数．

(1)若函数在点处的切线方程为，求a值；

(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由导数的几何意义求解参数的值即可；

（2）不等式恒成立问题，构造新函数利用导数研究函数的单调性求解最值，从而求出实数m的取值范围即可.

【详解】（1）由题意得函数的定义域为，

由函数在点处的切线方程为，

得，解得

（2）由得.

不等式可变形为，

即因为，且，

所以函数在上单调递减.   

令

则在上恒成立，

即在上恒成立

设，则.

因为当时，，

所以函数在上单调递减，所以，

所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般的解题思路为分离参数，构造新函数，转化为利用导数分析单调性，求最值即可.