2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题 一、单选题1．在等差数列中，，则（    ）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】利用等差数列的性质即可求出的值.【详解】由题意，，在等差数列中，，∴，解得：，故选：A.2．已知的值是（    ）A．3 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】根据导数值的定义计算即可.【详解】根据导数值的定义：.故选：C3．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据导数公式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，，故D选项错误.故选：B4．如下图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（    ）  ①在区间上是增函数；                         ②是的极小值点；③在区间上是增函数，在区间上是减函数；   ④不是的极大值点．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．【详解】由导函数的图象可知，当时，当时，当时，当时，所以在区间上单调递减，故①错误；在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，在和处取得极小值，处取得极大值，故②③④正确；故选：D．5．已知函数，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导后，代入即可.【详解】，.故选：B.6．若直线与曲线相切，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线求解即可.【详解】因为，所以，令，解得，将代入得：，所以切点的坐标为，代入得：，解得.故选：C.7．若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.【详解】根据指数函数性质在上单调递增，故当时，则在上单调递增，，根据零点存在定理，在存在唯一零点，则当时，无零点时，，令，则，时，则；在上单调递减，在上单调递增，于是时，有最小值依题意，，解得，所以最小整数为故选：C8．已知若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，则，构造函数，通过求导，分析单调性求出最值，即可求得的最小值．【详解】令，则，，所以令，则当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，则所以，则的最小值为故选：A 二、多选题9．可能把直线作为切线的曲线是（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断.【详解】因为直线的斜率，对于选项A：因为，则，令，解得，故A正确；对于选项B：因为，则，又因为，则方程无解，故B错误；对于选项C：因为，则，令，解得，故C正确；对于选项D：因为，则，令，解得，故D正确；故选：ACD.10．已知直线与抛物线相切，则（    ）A． B． C． D．2【答案】AB【分析】设出切点坐标，由导数的几何意义求解即可.【详解】因为直线与抛物线相切，设切点坐标为，因为抛物线，所以，所以，所以①，由切点在直线与抛物线上，所以且，所以②，由①②可得：或.所以，所以.故选：AB11．已知函数，则（    ）A．在单调递增B．有两个零点C．曲线在点处切线的斜率为0D．是偶函数【答案】AC【分析】通过对函数求导，即可得出结论.【详解】由题意，，在中，，∴当时，，∴曲线在点处切线的斜率为，C正确；A项，当时，，故在单调递增，A正确；B项，当时，，当时，，所以只有0一个零点，B错误；D项，函数的定义域为，不关于原点对称，∴不是偶函数，D错误.故选：AC.12．如下图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）  A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意分析可得：，利用累加法求得，进而可以判断选项A、B、C；再利用裂项相消法分析判断选项D.【详解】由题意可知：，可得，，……，，以上个式子累加可得：，所以，且也满足上式，所以.则，所以，故选项A正确；由递推关系可知：，故选项B不正确；当，，故选项C正确；因为，所以，故选项D正确；故选：ACD. 三、填空题13．曲线在点处切线的斜率为          ．【答案】【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解.【详解】因为，所以，所以，即曲线在点处切线的斜率为.故答案为：14．若函数在上无极值点，则实数m的取值范围是          ．【答案】【分析】根据极值点的定义结合二次函数分析求解.【详解】因为，若函数在上无极值点，等价于在上至多有一个零点，则，解得，所以实数m的取值范围是.故答案为：.15．已知等比数列为递减数列，且，，则数列的通项公式          ．【答案】【分析】设数列的首项为，公比为，依题意由等比数列通项公式求出、，即可得解.【详解】设数列的首项为，公比为，显然，由，可得，所以，由，即，可得，解得或，因为数列为递减数列，所以，则，所以.故答案为：16．已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是          ．【答案】【分析】由函数的奇偶性，单调性求解不等式即可.【详解】由，则，即函数为上的奇函数．又，函数为上的增函数，又，所以，即，解得，即实数的取值范围是．故答案为：. 四、解答题17．设等差数列公差为，等比数列公比为，已知.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），，（2）【解析】（1）由求得,即可得到,进而求解即可；（2）由（1）可得,则利用分组求和法求解即可【详解】（1）因为,所以,又,所以,又因为,所以,因为,所以,.（2）.所以.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式,考查等差数列、等比数列前项和公式的应用,考查分组求和法求数列的和18．设函数，其中．(1)当时，求在区间上的最大值与最小值；(2)求函数的单调递增区间．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用导数可确定在上的单调性，进而确定最值点和最值；（2）求导后，根据的两根可确定的解集，由此可得单调递增区间.【详解】（1）当时，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，，.（2）由题意知：定义域为，；令，解得：或；，，当时，，的单调递增区间为.19．已知函数，．(1)求函数在上的值域；(2)若，，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用导数可求得单调性，结合单调性可确定最值，由此可得值域；（2）将问题转化为，结合一次函数性质即可构造不等式求得结果.【详解】（1），当时，；在上单调递减，，；在上的值域为.（2），，使得，；当时，；由（1）知：当时，，，解得：，即实数的取值范围为.20．在数列中，，对，．(1)求数列的通项公式；(2)若，证明数列的前项和．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）化简已知递推关系式可证得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可整理推导得到；（2）利用裂项相消法可求得，由此可推理得到结论.【详解】（1）由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，.（2）由（1）得：，，，，，即.21．已知数列满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列定义分析证明；（2）由（1）结合等比数列通项公式可得，利用错位相减法运算求解.【详解】（1）当时，则，可得，且，即，所以，故是首项为4，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知，则，所以，则①，② ，①-②得，所以．22．已知函数．(1)若函数在点处的切线方程为，求a值；(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2). 【分析】（1）由导数的几何意义求解参数的值即可；（2）不等式恒成立问题，构造新函数利用导数研究函数的单调性求解最值，从而求出实数m的取值范围即可.【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 由函数在点处的切线方程为，得，解得（2）由得.不等式可变形为，即因为，且，所以函数在上单调递减.   令则在上恒成立，即在上恒成立设，则.因为当时，，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.【点睛】对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，一般的解题思路为分离参数，构造新函数，转化为利用导数分析单调性，求最值即可.