2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省卓越联盟高二下学期3月月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等差数列an中，a2+a8=10，则a5=( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
2.已知f′x0=3,limΔx→0fx0+2Δx−fx03Δx的值是
( )
A. 3B. 1C. 2D. 32
3.下列求导运算正确的是( )
A. x−1x′=1−1x2B. lg3x′=1xln3
C. 5x′=5xlg5eD. x2csx′=−2xsinx
4.如下图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列说法正确的个数是
( )

①f(x)在区间[−2,−1]上是增函数；
②x=−1是f(x)的极小值点；
③f(x)在区间[−1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数；
④x=1不是f(x)的极大值点．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.已知函数fx=xcsx−sinx+π2，则f′π2的值为
( )
A. π2B. −π2C. −1D. −π
6.若直线y=x−2a与曲线y=xlnx−x相切，则a=( )
A. 1eB. eC. e2D. e2
7.若函数f(x)=x+3x,x≤013x3−4x+a,x>0，在其定义域上只有一个零点，则整数a的最小值为
( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
8.已知f(x)=ex，g(x)=2 x，若f(x1)=g(x2)，d=|x2−x1|，则d的最小值为
( )
A. 1−ln22B. 1−ln2C. 14D. 1e
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.可能把直线y=32x+m作为切线的曲线是
( )
A. y=−1xB. y=csxC. y=lnxD. y=ex
10.已知直线y=kx−2与抛物线x2=4y相切，则k=( )
A. 2B. − 2C. −2D. 2
11.已知函数fx=xln1+x，则
( )
A. fx在0,+∞单调递增
B. fx有两个零点
C. 曲线y=fx在点0,f0处切线的斜率为0
D. fx是偶函数
12.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则( )
A. S5=35B. an+1−an=n
C. Sn−Sn−1=n(n+1)2，n≥2D. 1a1+1a2+1a3+...+1a100=200101
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.曲线fx=3sinx+4x2+5在点0,f0处切线的斜率为 ．
14.若函数f(x)=x3+mx2+x+2023在R上无极值点，则实数m的取值范围是 ．
15.已知等比数列an为递减数列，且a52=a10，2an+an+2=5an+1，则数列an的通项公式an= ．
16.已知函数fx=13x3−2x+ex−1ex，其中e是自然对数的底数，若f(2a−3)+fa2≤0，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设等差数列an公差为d，等比数列bn公比为q，已知a1=b1=1,b4=64,q=2d．
(1)求数列an，bn的通项公式；
(2)记cn=a2n−1+b2n，求数列cn的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
设函数fx=−13x3+x2+m2−1x，其中m>0．
(1)当m=1时，求fx在区间−3,2上的最大值与最小值；
(2)求函数fx的单调递增区间．
19.(本小题12分)
已知函数fx=x+4x，gx=2x+a．
(1)求函数fx=x+4x在12,1上的值域；
(2)若∀x1∈12,1，∃x2∈1,3，使得fx1≥gx2，求实数a的取值范围．
20.(本小题12分)
在数列an中，a1=1，对∀n∈N*，nan+1−n+1an=nn+1．
(1)求数列an的通项公式；
(2)若bn=1 anan+1，证明数列bn的前n项和Sn<1．
21.(本小题12分)
已知数列an满足a1=2,an=2an−1+2,n⩾2,n∈N∗．
(1)求证：数列an+2为等比数列；
(2)设bn=lg2an+2，求数列bnan+2的前n项和Tn．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx+ax2−3x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−2，求a值；
(2)若a=1，对于任意x1,x2∈[1,10]，当x1mx2−x1x1x2恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质，属于较易题．
利用等差数列的性质即可求出a5的值．
【解答】
解：由题意，n∈N*，
在等差数列an中，a2+a8=10，
∴a2+a8=2a5=10，解得：a5=5，
故选：A．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查导数的定义，属于较易题．
根据导数值的定义计算即可．
【解答】
解：根据导数值的定义：limΔx→0fx0+2Δx−fx03Δx=23limΔx→0fx0+2Δx−fx02Δx=23f′(x0)=2．
故选：C
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查基本初等函数的导数公式及导数的乘除运算，属于较易题．
根据导数公式依次讨论各选项即可得答案．
【解答】
解：对于A选项，x−1x′=1+1x2，故 A选项错误；
对于B选项，lg3x′=1xln3，故 B选项正确；
对于C选项，5x′=5xln5，故 C选项错误；
对于D选项，(x2csx) ′=2xcsx−x2sinx，故 D选项错误．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象的关系，考查函数极值的概念，属于较易题．
由导函数f′(x)的图象，可判断f(x)在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
【解答】
解：由导函数f′(x)的图象可知，当−2当−10，当20，
所以f(x)在区间−2,−1上单调递减，故①错误；
在区间−1,2上单调递增，在区间2,4上单调递减，4,5上单调递增，
在x=−1和x=4处取得极小值，x=2处取得极大值，故②③④正确；
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查导数基本的加减乘除运算法则，属于容易题．
求导后，代入x=π2即可．
【解答】
解：∵f′x=csx−xsinx−csx=−xsinx，∴f′π2=−π2sinπ2=−π2．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数求切线的未知参数，属于较易题．
由导数的几何意义求出切点坐标，然后代入直线y=x−2a求解即可．
【解答】
解：因为y=xlnx−x，所以y′=lnx，
令y′=lnx=1，解得x=e，
将x=e代入y=xlnx−x得：y=0，
所以切点的坐标为e,0，代入y=x−2a得：
e−2a=0，解得a=e2．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查如何利用导数研究函数的零点(或方程的根)，零点存在定理，及函数单调性与最值，属于较易题．
先根据零点存在定理判断出在−∞,0上f(x)有唯一实数根，于是x>0时，f(x)无解，根据导数可判断x>0时，f(x)有最小值，只需最小值大于零即可．
【解答】
解：根据指数函数性质y=3x在−∞,0上单调递增，
且y=x在−∞,0上单调递增，
故当x≤0时，则fx=x+3x在−∞,0上单调递增，
f0=1>0,f−1=−23<0，
根据零点存在定理，fx在−∞,0存在唯一零点，
则当x>0时，fx=13x3−4x+a无零点，
x>0时，f′x=x2−4，
令f′x>0，则x>2 ；f′x<0时，则0fx在(0,2)上单调递减，在2,+∞上单调递增，
于是x>0时，f(x)有最小值f(2)，
依题意，f2=a−163>0，解得a>163，所以最小整数为6．
故选：C
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数与方程的综合应用，利用导数研究函数的单调性以及最值问题，解题的关键是构造函数，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
令f(x1)=g(x2)=t>0，则x1=lnt，x2=t24，构造函数h(t)=x2−x1，利用导数研究函数h(t)的单调性，确定其最小值，即可得到答案．
【解答】
解：令f(x1)=g(x2)=t>0，则x1=lnt，x2=t24，
令h(t)=x2−x1，即h(t)=t24−lnt，
则h′(t)=t2−1t=t2−22t，
令h′(t)=0，解得t= 2，
当0当t> 2时，h′(t)>0，则h(t)单调递增，
所以当t= 2时，h(t)取得最小值为h( 2)=( 2)24−ln 2=1−ln22，
故d的最小值为1−ln22．
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查如何求曲线上一点的切线方程，学会对基本初等函数求导，属于较易题．
根据题意结合导数的几何意义逐项分析判断．
【解答】
解：因为直线y=32x+m的斜率k=32，
对于选项A：因为y=−1x，则y′=1x2，
令1x2=32，解得x=± 63，故 A正确；
对于选项B：因为y=csx，则y′=−sinx，
又因为−sinx∈−1,1，则方程−sinx=32>1无解，故 B错误；
对于选项C：因为y=lnx，则y′=1x，
令1x=32，解得x=23，故 C正确；
对于选项D：因为y=ex，则y′=ex，
令ex=32，解得x=ln32，故 D正确；
故选：ACD．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查利用导数的几何意义研究曲线的切线问题，属于中等题．
设出切点坐标，由导数的几何意义求解即可．
【解答】
解：因为直线y=kx−2与抛物线x2=4y相切，
设切点坐标为x0,y0，因为抛物线方程为x2=4y ，所以y=x24，
所以求导有y′=x2，所以k=x02①，
由切点x0,y0在直线y=kx−2与抛物线x2=4y上，
所以y0=kx0−2且y0=x024，所以kx0−2=x024②，
由①②可得：x0=2 2k= 2或x0=−2 2k=− 2．
故选：AB
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的单调区间(不含参数)，考查利用导数研究函数的零点(或方程的根)，及求曲线上一点的切线方程，属于中等题．
通过对函数求导，再根据各个选项逐一分析，即可得出结论，注意函数的定义域．
【解答】
解：由题意，x∈−1,+∞，
在fx=xln1+x中，f′x=ln1+x+x1+x，
∴当x=0时，f0=0,f′0=0，
∴曲线y=f(x)在点0,f0处切线的斜率为0， C正确；
A项，当x∈0,+∞时，f′x>0，
故fx在(0,+∞)单调递增， A正确；
B项，当−10，
当x>0时，ln(1+x)>0,f(x)>0，所以f(x)只有0一个零点，B错误；
D项，函数的定义域为−1,+∞，不关于原点对称，∴fx不是偶函数， D错误．
故选：AC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查归纳推理能力和数列求和，属于中档题．
根据题意由归纳推理和数列求和的知识，逐项分析即可．
【解答】
解：a1=1，a2−a1=2，a3−a2=3，⋯⋯，an−an−1=n，
∴an=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，
S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35，故A正确；
an+1−an=n+1，故B错误；
n≥2,Sn−Sn−1=an=n(n+1)2，故C正确；
∵1an=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，
∴1a1+1a2+⋯+1a100=2(1−12)+2(12−13)+⋯+2(1100−1101)=2(1−1101)=200101，
故D正确．
故选ACD．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查利用导数求曲线上一点处切线的斜率，属于中档题．
求出函数的导函数，求出f′0，即可得解．
【解答】
解：因为f(x)=3sinx+4x2+5，所以f′(x)=3csx+8x，
所以f′0=3cs0+8×0=3，即曲线fx在点0,f0处切线的斜率为3．
故答案为 ：3
14.【答案】− 3, 3
【解析】【分析】
本题考查利用导数根据极值或极值点求参，属于较易题．
根据极值点的定义结合二次函数分析求解．
【解答】
解：因为f′(x)=3x2+2mx+1，
若函数f(x)在R上无极值点，等价于f′(x)在R上至多有一个零点，
则Δ=4m2−12≤0，解得− 3≤m≤ 3，
所以实数m的取值范围是− 3, 3．
故答案为：− 3, 3．
15.【答案】12n
【解析】【分析】
本题考查利用等比数列的递推公式求通项公式，属于中等题．
设数列{an}的首项为a1，公比为q，依题意由等比数列通项公式求出a1、q，即可得解．
【解答】
解：设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然an≠0，q≠0，
由a52=a10，可得a12q8=a1q9，所以a1=q，
由2(an+an+2)=5an+1，即2(an+anq2)=5anq，可得2q2−5q+2=0，
解得q=2或q=12，因为数列{an}为递减数列，所以q=12，则a1=12，
所以an=12×(12)n−1=(12)n．
故答案为：12n
16.【答案】−3,1
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，单调性，利用导数解不等式，属于一般题．
先判断函数的奇偶性和单调性，再化简原不等式，利用函数单调性得到关于a的不等式，解不等式，得到本题结论．
【解答】
解：由fx=13x3−2x+ex−1ex，
则f−x=13−x3−2−x+e−x−1e−x=−13x3+2x+1ex−ex=−fx，即函数f(x)为R上的奇函数．
又f′x=x2−2+ex+1ex≥x2−2+2 ex⋅1ex=x2−2+2=x2≥0，当且仅当x=0时f′(x)=0 ，所以函数fx为R上的增函数，
又f2a−3+fa2≤0，所以f2a−3≤f−a2，即2a−3≤−a2，
解得−3≤a≤1，即实数a的取值范围是−3,1．
故答案为：−3,1．
17.【答案】解：(1)因为b4=64，所以b1q3=64，
又b1=1，所以q=4，
又因为q=2d，所以d=2，
因为a1=1，
所以an=a1+(n−1)d=2n−1，bn=b1qn−1=4n−1．
(2)cn=a2n−1+b2n=22n−1−1+42n−1=4n−3+42n−1．
所以Sn=(1+5+9+⋅⋅⋅+4n−3)+4+43+⋅⋅⋅+42n−1
=n(1+4n−3)2+4×1−42n1−42
=2n2−n+42n+1−415．

【解析】本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查等差数列、等比数列前n项和公式的应用，考查分组求和法求数列的和，属于中等题．
(1)由b4=b1q3=64求得q，即可得到d，进而求解即可；
(2)由(1)可得cn=a2n−1+b2n=4n−3+42n−1，则利用分组求和法求解即可．
18.【答案】解：(1)当m=1时，fx=−13x3+x2，∴f′x=−x2+2x=−xx−2，
∴当x∈−3,0时，f′x<0；当x∈0,2时，f′x>0；
∴fx在−3,0上单调递减，在0,2上单调递增，
又f−3=9+9=18，f2=−83+4=43，f0=0，
∴fxmax=f−3=18，fxmin=f0=0．
(2)由题意知：fx定义域为R，f′x=−x2+2x+m2−1=−x−m+1x+m−1；
令f′x=0，解得：x=m+1或x=1−m；
∵m>0，∴1−m0，得x∈1−m,m+1 ，
∴fx的单调递增区间为1−m,m+1．

【解析】本题考查利用导数求函数的最值(不含参)，利用导数求函数的单调区间(含参)，属于一般题．
(1)利用导数可确定fx在−3,2上的单调性，进而确定最值点和最值；
(2)求导后，根据f′x=0的两根可确定f′x>0的解集，由此可得单调递增区间．
19.【答案】解：(1)∵f′x=1−4x2=x+2x−2x2，∴当x∈12,1时，f′x<0 ，
∴fx在12,1上单调递减，∴fxmax=f12=12+8=172，fxmin=f1=1+4=5 ，
∴fx在12,1上的值域为5,172．
(2)∵∀x1∈12,1，∃x2∈1,3，使得fx1≥gx2，
∴f(x)在12,1 上的最小值不小于g(x)在1,3上的最小值；
当x∈[1,3]时，g(x)min=g(1)=2+a；
由(1)知：当x∈[12,1]时，f(x)min=5，∴5≥2+a，解得：a≤3，
即实数a的取值范围为−∞,3．

【解析】本题考查利用导数求函数的单调性及最值，考查利用导数研究恒成立与存在性问题，属于中等题．
(1)利用导数可求得fx单调性，结合单调性可确定最值，由此可得fx值域；
(2)将问题转化为f(x)在12,1上的最小值不小于g(x)在1,3上的最小值，结合一次函数性质及问(1)即可构造不等式求得结果．
20.【答案】解：(1)由nan+1−n+1an=nn+1得：an+1n+1−ann=1，又a11=1，
∴数列ann是以1为首项，1为公差的等差数列，∴ann=1+n−1=n，
∴an=n2．
证明：(2)由(1)得：bn=1 n2n+12=1nn+1=1n−1n+1，
∴Sn=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋅⋅⋅+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=1−1n+1，
∵n∈N*，∴1n+1>0，∴1−1n+1<1，即Sn<1．

【解析】本题考查等差数列的通项公式，并根据数列的递推公式求通项公式，求和时考查了裂项相消法的应用，属于中档题．
(1)化简已知递推关系式可证得数列ann为等差数列，结合等差数列通项公式可整理推导得到an；
(2)利用裂项相消法可求得Sn，由此可推理得到结论．
21.【答案】解：(1)证明：当n≥2时，则an=2an−1+2，
可得an+2=2an−1+2，且a1=2，即a1+2=4≠0，
所以an+2an−1+2=2，
故an+2是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)由(1)可知an+2=4⋅2n−1=2n+1，则bn=lg22n+1=n+1，
所以bnan+2=n+1⋅2n+1，
则Tn=2×22+3×23+4×24+⋯+n⋅2n+n+1⋅2n+1①，
2Tn=2×23+3×24+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1+n+1⋅2n+2②，
①−②得−Tn=8+23+24+⋯+2n+1−n+1⋅2n+2
=8+8⋅1−2n−11−2−n+1⋅2n+2=−n⋅2n+2，
所以Tn=n⋅2n+2．

【解析】本题考查等比数列的通项公式与前n项和，考查错位相减法的应用，属于较难题．
(1)根据题意结合等比数列定义分析证明；
(2)由(1)结合等比数列通项公式可得bnan+2=n+1⋅2n+1，利用错位相减法运算求解．
22.【答案】解：(1)由题意得函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x+2ax−3，
由函数f(x)在点1,f1处的切线方程为y=−2，
得f′(1)=1+2a−3=0，解得a=1;
(2)由a=1得f(x)=lnx+x2−3x ，
不等式fx1−fx2>mx2−x1x1x2可变形为fx1−fx2>mx1−mx2，
即fx1−mx1>fx2−mx2. 因为x1,x2∈[1,10]，且x1所以函数y=f(x)−mx在[1,10]上单调递减.
令h(x)=f(x)−mx=lnx+x2−3x−mx,x∈[1,10]，
则h′(x)=1x+2x−3+mx2≤0在x∈[1,10]上恒成立，
即m≤−2x3+3x2−x在x∈[1,10]上恒成立．
设F(x)=−2x3+3x2−x，则F′(x)=−6x2+6x−1=−6x−122+12．
因为当x∈[1,10]时，F′(x)<0，
所以函数F(x)在[1,10]上单调递减，所以F(x)min=F(10)=−2×103+3×102−10=−1710，
所以m≤−1710，
即实数m的取值范围为(−∞,−1710]．

【解析】本题考查已知切线求参数，利用导数研究恒成立问题，属于中等题．
(1)由导数的几何意义求解参数的值即可；
(2)由已知不等式进行变形，结合不等式特点合理的构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系及不等式恒成立与最值关系的转化可求．