2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．展开式中，二项式系数最大的项是（    ）

A．第3项 B．第4顶 C．第5项 D．第6项

【答案】C

【分析】根据二项式确定展开式中二项式系数最大的项即可.

【详解】由题设，展开式中二项式对应二项式系数为，

所以，二项式系数最大的项为，即：第5项.

故选：C

2．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.

【详解】，

因为是定义在上的偶函数，

所以，

因为，，，

且在上单调递减，

所以，

即.

故选：A.

3．函数的图像是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】B

【分析】根据题意，令，可以排除AD，然后求导得，即可排除C.

【详解】因为，令，则，

即，解得，或，解得，

所以当时，函数有1个零点，当时，函数有2个零点，

所以排除AD；

当时，，

则，当时，，

所以当时，，函数单调递增，所以B正确；

故选：B.

4．关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据二次不等式恒成立得，再根据充分不必要条件的概念求解即可.

【详解】解：当时，，该不等式成立；

当，即时，该不等式成立；

综上，得当时， 关于的不等式恒成立，

所以，关于的不等式恒成立的一个充分不必要条件是．

故选：D．

5．在的展开式中，含的项的系数是（    ）

A．74 B．121 C． D．

【答案】D

【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，

【详解】因为在，

所以含的项为：，

所以含的项的系数是的系数是，

，

故选：D

【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，

6．为激发人们爱林、造林的热情，促进国土绿化，保护人类赖以生存的生态环境，每年的3月12日是我国法定的植树节．某班6名男同学和3名女同学约定周末一起去植树，现需将9人分成三组，每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，且男同学甲与女同学乙不在同一个小组，则不同的安排方法种数为（    ）

A．240 B．360 C．480 D．540

【答案】C

【分析】根据题意得到每组中两个男生和一个女生，先求得男同学甲与女同学乙不在同一个小组，有分法，再求得将6个男生和3个女生，分为3组，结合平均分组的计算方法，求得有分法，进而得到男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法为种分法，再根据每组中的两名男生有2种不同的分配情况，即可求解.

【详解】因为每组3人，各小组内3人分别负责挖坑、填土、浇水三项工作，其中女同学只负责浇水，

所以每组中男女分配只有一种可能，即两个男生和一个女生，

若男同学甲与女同学乙在同一个小组，再从5个男生中抽取一个男生，有中，

剩余的6分成两组，共有种分法，所以共有分法，

若将6个男生和3个女生，分为3组，且每组中两个男生和一个女生，

共有分法，

所以男同学甲与女同学乙不在同一个小组的不同分法，共有种分法，

又因为每组中的两名男生有2种不同的分配情况：

所以不同的安排方法种数为种.

故选：B.

7．北京冬奥会奥运村有智能餐厅和人工餐厅各一个，某运动员连续两天均在奥运村用餐且每一天均在同一个餐厅用餐．他第一天等可能地随机选择其中一个餐厅用餐．若他第一天去智能餐厅，那么第二天去智能餐厅的概率为0.7；如果他第一天去人工餐厅，那么第二天去人工餐厅的概率为0.2．则该运动员第二天去智能餐厅用餐的概率为（    ）

A．0.45 B．0.14 C．0.75 D．0.8

【答案】C

【分析】根据题意，由全概率公式，代入计算即可得到结果.

【详解】设“第1天去智能餐厅用餐”，“第1天去人工餐厅用餐”，“第2天去智能餐厅用餐”，则，且与互斥，

根据题意得：，，，

由全概率公式得，

故选：C．

8．已知是定义在R上的可导函数，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设，求导判断单调性可得答案.

【详解】设，，因为，

所以，所以在上单调递增，

因为，所以，

即，解得.

故选：C.

【点睛】方法点睛：构造函数解决导数问题的常用模型有：

模型1，若的系数为x，且同时出现与的和或差，考虑构造x与的积或者商；模型2，若出现与且系数相同时，考虑构造e与的积或者商.模型3，若出现与系数分别是常数和x时，考虑构造与的积或者商；模型4，若出现与且系数为与时，考虑构造与的积或者商，或者与的积或者商.

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假．

【详解】由题可得，，设，，所以，

即函数在上递增，所以由可得：．

对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误；

对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即

，B正确；

对于C，当时，若，则，C错误；

对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确．

故选：BD．

10．已知函数（，）的定义域为，则（    ）

A． B．

C． D．被8整除余数为1

【答案】BCD

【分析】利用赋值或，判断AB；对函数两边求导，再赋值，判断C；，展开后可判断余数，判断D.

【详解】因为，

对于A：当时，，①，故A错误；

对于B：当时，，②，

①②得，解得，故B正确；

对于C：，

令得，故C正确；

对于D：，所以被整除余数为1，故D正确.

故选：BCD

11．已知函数，则（    ）

A．有两个极值点 B．有两个零点

C．恒成立 D．恒成立

【答案】AD

【分析】求函数的导函数，设，利用导数研究的单调性，最值，判断C，再确定的极值判断A，利用证明由此判断BD.

【详解】函数的定义域为，

，

设，则，

当时，，函数，即在上单调递减，

当时，，函数，即在上单调递增，

又，所以C错误；

又，所以存在，使得，又，

所以当，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取极大值，当时，函数取极小值，

所以函数有两个极值点，故A正确；

设，则，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

又，

所以当时，，当且仅当时取等号，

所以当时，，当且仅当时取等号，

所以函数只有一个零点，恒成立，B错误；D正确；

故选：AD．

12．下列说法正确的是（    ）

A．若，则的最大值为；

B．函数的最小值为2；

C．已知，则的最小值为3；

D．若正数满足，则的最小值是3

【答案】AC

【分析】利用基本不等式“一正二定三相等”及“1”的妙用，对选项逐一分析检验即可.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，则的最大值为，故A正确；

对于B，因为，所以，令，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

所以，即的最小值为，故B错误；

对于C，因为，

所以，

当且仅当且，即时，等号成立，

所以，即的最小值为3，故C正确；

对于D，因为，，

所以，则，

当且仅当，即时，等号成立，此时，

故，即的最小值是4，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．已知一组成对数据如表所示.

若该组数据的回归方程为，则      .

【答案】68

【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，再利用回归直线的性质求解作答.

【详解】依题意，，，

而，因此，解得，

所以.

故答案为：68

14．一个袋中共有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则红球的个数为             ．

【答案】

【分析】设黑球有个，红球个，利用古典概型概率公式结合条件列方程求即可.

【详解】设袋中黑球数为，红球数为，

则事件从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是，

由已知，所以，

因为事件从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，

所以，

所以，所以，

故红球个数为.

故答案为：.

15．已知随机变量服从正态分布，且，则的展开式中的系数为          .

【答案】

【分析】根据正态分布的性质求，结合二项式定理展开式的通项公式求展开式中的系数.

【详解】因为随机变量服从正态分布，且，

所以，故，

二项式展开式的通项，

令，可得，

所以展开式中的系数为，

故答案为：.

16．已知不等式恰有1个整数解，则实数a的取值范围为      .

【答案】

【分析】原不等式等价于，设，，然后数形结合转化为函数图像的交点问题求解.

【详解】原不等式等价于，

设，，令，得

当时，，所以在上单调递增，

当时，，所以在上单调递减，

当时，取极大值，又，且时，，

因此的图像如下，

直线恒过点.

当有无数个整数解，不满足条件；

当时，只需要满足，即，解得.

则实数a的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数，.

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间；

（2）由（1）可得函数的单调性，即可求出函数的最小值，再求出区间端点值，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】（1）因为，所以，

所以当或时，当时，

所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.

（2）由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，又，，

因为函数在上有两个不同的零点，

所以，即，解得，即实数的取值范围为.

18．记数列的前项和为，已知，.

(1)求；

(2)若，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系，可以推导出为等比数列，再求通项公式即可；

（2）使用错位相减法求解即可.

【详解】（1）∵，则，∴当时，，

以上两式相减，得，即（）.

又当时，，即，∴，∴，

∴（），∵，∴（），

∴数列是首项，公比的等比数列，

∴.

（2）由（1）知，，

①，

①,得②，

①②，得

，

∴.

19．为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在的概率；

(2)为了调查，两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性，以便提高产品的生产效率，质检人员选取了部分被抽查的产品进行了统计，所得数据如下表所示，试根据小概率值的独立性检验，判断机器类型与生产的产品质量是否具有相关性.

（）

【答案】(1)；

(2)没有的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性.

【分析】（1）根据频率分布直方图求出，利用古典概型计算公式求解即可；

​​​​​​​（2）利用独立性检验求解即可.

【详解】（1）由题图可知，，

解得，

依题意，质量指标值在的有4件，记为，质量指标值在的有3件，记为，

则随机抽取2件，所有的情况为

,共21种抽取方法，

其中满足条件的为，共15种抽取方法，

故所求概率．

（2）完善表格如下：

在本次试验中，的观测值，

故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．

20．市场研究机构Counterpoint发布了最新全球电动汽车市场报告，2022年总计销量超1020万辆，比亚迪、特斯拉和大众集团位列排行榜前三.某电动汽车公司调研统计了之前5年（2018年到2022年）自己品牌电动汽车年销售量y（单位：万辆），并制作了如下表格.

(1)请根据表格中统计的数据作出散点图：

(2)记年份代码为x，2018年到2022年分别对应x=1，2，3，4，5，请根据散点图判断，模型①y=a+bx；②；③，哪一个更适合作为年销售量y关于年份代码x的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；

(3)根据（2）的判断结果，求出年销售量y关于年份代码x的回归方程，并预测今年（2023年）该公司电动汽车的年销售量.

参考数据：

参考公式：最小二乘估计公式：，.

【答案】(1)散点图见解析

(2)②更适合

(3)，96.5万辆

【分析】（1）据表格中统计的数据描点；

（2）根据散点图得出哪一个函数的模型更适合；

（3）根据最小二乘法求出回归直线方程，再代入年份代码进行估计.

【详解】（1）如图，

（2）根据散点图可知②更适合；

（3）令，则，，，，

对于回归方程，可得：，

，

∴回归方程为，即，

令x=6，得，

预测2023年该公司电动汽车的年销售量为96.5万辆.

21．某市为了更好地了解全体中小学生感染某种病毒后的情况，以便及时补充医疗资源，从全市中小学生中随机抽取了100名该病毒抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染某种病毒后的疼痛指数为X，并以此为样本得到了如下图所示的表格：

(1)统计学中常用表示在事件A发生的条件下事件B发生的似然比．现从样本中随机抽取1名学生，记事件A为“该名学生为有症状感染者（轻症感染者和重症感染者统称为有状感染者）”，事件B为“该名学生为重症感染者”，求事件A发生的条件下事件B发生的似然比；

(2)若该市所有该病毒抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数X近似服从正态分布，且．若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机地抽取3名，设这3名学生中轻症感染者人数为Y，求Y的概率分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可；

（2）应用，由二项分布分别写出求分布列及计算数学期望.

【详解】（1）由题意得：，

，

，

.

（2），

，则，

可能的取值为，

的分布列为：

数学期望.

22．已知函数，其中.

(1)求函数的最小值；

(2)若有两个极值点，求实数的取值范围，并证明：

【答案】(1)

(2)，证明见解析

【分析】（1）先求函数的导函数，求函数单调性最后求出最值即得；

（2）先根据极值点求极值点的和差，再构造函数再求导函数根据单调性证明不等式即可.

【详解】（1）对求导可得，

令，得，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增.

所以函数的最小值为；

（2），

求导可得，

因为函数有两个极值点，

所以导函数有两个正的零点，且在零点左右附近导数值异号，

所以二次函数必有两个正的零点，

故，解得，即实数的取值范围是.

又，代入中可得

，

设，则，

所以，即.

又由（1）中可知（在取等号），

所以当时，，再结合，

可得，

所以.

综上，成立.