2022-2023学年黑龙江省大庆市东风中学高二上学期10月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省大庆市东风中学高二上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知是空间向量的一个基底，则可以与向量，，构成基底的向量是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由基底的定义求解即可.

【详解】因为，，，为不共面向量，所以能构成基底，故A正确；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故B错误；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；

因为，，，为共面向量，所以不能构成基底，故D错误.

故选：A.

2．某次娱乐节目中有三个方阵，其人数之比为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，方阵被抽出人数为人，则此样本容量为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据题中数据，先确定方阵所占比例，进而可求出样本容量.

【详解】因为三个方阵，其人数之比为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，

则方阵抽取的人数占样本容量的，

又方阵被抽出人数为人，

所以此样本容量为.

故选：D.

【点睛】本题主要考查分层抽样求样本容量，熟记分层抽样的特征即可，属于基础题型.

3．关于统计数据的分析，有以下几个结论：

①一组数不可能有两个众数；

②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；

③调查剧院中观众的观看感受时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；

④一组数据的方差一定是正数；

⑤如图所示是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速分布直方图，根据这个分布直方图，可以得到时速在的汽车大约是60辆.

则这五种说法中错误的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】①通过众数的定义分析判断；②通过平均数和方差的计算公式推导即可；③根据系统抽样和分层抽样的定义判断即可；④方差可能为0，而0不是正数；⑤用频数的计算公式计算即可.

【详解】结论①，众数是一组数据中出现次数最多的数据，可能存在多个数据出现次数同为最多的情况，故可能有两个众数，①不正确；

结论②，将一组数据中的每个数据都减去同一个数k后，

故方差没有变化，②正确；

结论③，该抽样方式相当于按每50人一组，每组抽取相应序号的样本，属于系统抽样，故不是分层抽样，③不正确；

结论④，若一组数据全为相同数据，则方差为0，不是正数，故④不正确；

结论⑤，时速在的汽车为辆，⑤正确；

所以错误的有①③④3个.

故选：B.

4．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.

上述事件中，是对立事件的是（    ）

A．① B．②④ C．③ D．①③

【答案】C

【分析】列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.

【详解】解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，

而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：

“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，

故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.

故选：C

5．甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为，则至少有一人命中目标的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率，再由对立事件即可求出至少有一人命中目标的概率.

【详解】甲、乙两人各射击一次，一人都未命中目标的概率为: ，

至少有一人命中目标的概率：.

故选：B.

6．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（    ）

A．7 B． C．8 D．

【答案】C

【解析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.

【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，

因为，

所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.

故选：C

【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.

7．如图，已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基向量，，表示向量，设，则、、的值分别是（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

【分析】利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．

【详解】、分别是对边、的中点，

，．

，

因此，．

故选：D

8．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分分数为整数，满分100分，从中随机抽取一个容量为240的样本，发现所给数据均在内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如下图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．第三组的频数为36人

B．根据频率分布直方图估计众数为75分

C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为分

D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为70分

【答案】D

【分析】根据题图分析数据，对选项逐一判断

【详解】对于A，因为各组的频率之和等于1， 所以分数在内的频率为：，

所以第三组的频数为（人），故A正确；

对于B，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确；

对于C，根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：

（分），故C正确；

对于D，因为，，

所以中位数位于上，所以中位数的估计值为：，故D错误；

故选D

二、多选题

9．设，，是空间一个基底，下列选项中正确的是（    ）

A．若，，则

B．则，，两两共面，但，，不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使

D．则，，一定能构成空间的一个基底

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义逐项判断即可作答.

【详解】对于A，直三棱柱中，底面为锐角三角形，显然有不共面，

，而不垂直，A不正确；

对于B，因空间任意两个向量共面，则，，两两共面，而，，是空间一个基底，即，，不可能共面，B正确；

对于C，因，，是空间一个基底，对空间任一向量，由空间向量基本定理知，

总存在有序实数组，使，C正确；

对于D，假设，，共面，而不共面，有与不共线，

则存在实数使得，

即，，，是空间一个基底，则，矛盾，

因此，假设是错的，则，，不共面，，，一定能构成空间的一个基底，D正确.

故选：BCD

10．下列关于概率的命题，正确的有（    ）

A．若事件满足，则为对立事件

B．若事件A，B满足，则A，B相互独立

C．若对于事件，则两两独立

D．若对于事件与相互独立，且，则

【答案】BD

【分析】A.举例说明；B.根据是判断A，B是否相互独立的条件判断； C. 由两两独立，则AB，AC，BC相互独立判断； D.根据独立事件和互斥事件的概率求法判断.

【详解】A.因为，是为对立事件的必要条件，不是充分条件，如单位圆的一条直径把圆分成两部分，即区域M和区域N（不包括边界），向这两个区域投一枚绣花针，如针尖落在区域M内记为事件A，针尖落在区域N内记为事件B，满足，但不是对立事件，因为针尖还有可能落在直径上，故错误；

B. 若，则A，B相互独立，故正确；

C. 若两两独立，则，，故错误；

D.若事件与相互独立，则，，故正确；

故选：BD

11．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．为钝角 D．在方向上的投影向量为

【答案】BD

【分析】利用向量垂直，平行的坐标关系判断A，B，根据向量夹角公式判断C，根据投影向量和投影数量的关系计算求解判断D.

【详解】因为，所以，不垂直，A错，

因为，所以，B对，

因为，所以，所以不是钝角，C错，

因为在方向上的投影向量，D对，

故选：BD.

12．在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”过去10日，甲､乙､丙､丁四地新增疑似病例数据信息如下：

甲地：中位数为2，极差为5；

乙地：总体平均数为2，众数为2；

丙地：总体平均数为1，总体方差大于0；

丁地：总体平均数为2，总体方差为3.

则甲､乙､丙､丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的有（    ）

A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地

【答案】AD

【分析】假设最多一天疑似病例超过7人，根据极差可判断；

根据平均数可算出10天疑似病例总人数，可判断．

【详解】解：假设甲地最多一天疑似病例超过7人，甲地中位数为2，说明有一天疑似病例小于2，极差会超过5，甲地每天疑似病例不会超过7，选A．

根据乙、丙两地疑似病例平均数可算出10天疑似病例总人数，可推断最多一天疑似病例可能超过7人，由此不能断定一定没有发生大规模群体感染，不选BC；

假设丁地最多一天疑似病例超过7人，丁地总体平均数为2，说明极差会超过3，丁地每天疑似病例不会超过7，选D．

故选：AD．

三、填空题

13．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.

【答案】.

【分析】由题意首先求得平均数，然后求解方差即可.

【详解】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是.

【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题.

14．有一道数学难题，在半小时内，甲、乙能解决的概率都是，丙能解决的概率是，若3人试图独立地在半小时内解决该难题，则该难题得到解决的概率为___．

【答案】

【分析】根据独立事件的乘法公式和概率的性质求解.

【详解】设“在半小时内，甲、乙、丙能解决该难题”分别为事件A，B，C，“在半小时内解该难题得到解决”为事件D，

则，，，表示事件“在半小时内没有解决该难题”，，

所以，

；

故答案为：.

15．空间四边形 ， ， ，则 的值为__________．

【答案】0

【详解】∵，

∴

∴．

答案：

16．甲､乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差300，又已知甲､乙的队员人数之比为1：4，那么甲､乙两队全部队员的方差为___________.

【答案】296

【分析】先由题意求出甲､乙两队全部队员体重的平均数，再求方差

【详解】解：甲､乙两队全部队员体重的平均数为

，

所以甲､乙两队全部队员的方差为

，

故答案为：296

四、解答题

17．已知向量，.

(1)当与平行时，求实数的值；

(2)当与垂直时，求实数的值.

【答案】(1)

(2)-20

【分析】（1）根据向量，，得到的坐标，再由与平行求解；

（2）根据向量，，得到的坐标，再由与垂直求解.

【详解】（1）解：因为向量，，

所以，

因为与平行，

所以，

解得；

（2）因为向量，，

所以，

因为与垂直，

所以，

解得.

18．如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．

(1)证明：、、、四点共面．

(2)若，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在上取一点，使得，连接、，根据平行六面体的性质、，即可得到，即可得证；

（2）结合图形，根据空间向量线性运算法则计算可得.

【详解】（1）证明：在上取一点，使得，连接、，

在平行六面体中，，，，

且，且，

所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，

所以，且，

又且，

所以且，

所以四边形为平行四边形，

所以，

所以，

、、、四点共面．

（2）解：因为

，

即，，，

．

19．个袋子中装有5个形状､大小完全相同的球，其中红球1个､白球3个､黑球1个，现在从袋子中抽取球，每次随机取出一个，抽取这些球的时候，无法看到球的颜色．

（1）现从袋子中无放回地取球两次，求取出的球一个红色一个白色的概率；

（2）现在有放回地取球两次，规定取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，取出一个黑球记分，求取出两球后得分之和为3分的概率．

【答案】（1）；（2）．

【分析】结合古典概型中的列举法即可.

【详解】依次记三个白色的球为白1，白2，白3．

（1）设无放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下：

(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)，(红，黑)，

(白1，红)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑)，

(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白3)，(白2，黑)，

(白3，红)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，黑)，

(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，故

设事件A：“现从袋子中无放回地取球两次，取出的球是一个红色一个白色"，包括(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)，(白1，红)，(白2，红)，(白3，红)，共6个，

所以

（2）设有放回地取两次球的事件总数为，所有基本事件如下：

(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)，(红，黑)，

(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，黑)，

(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，白3)，(白2，黑)，

(白3，红)，(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，白3)，(白3，黑)，

(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，白3)，(黑，黑)，故．

设事件B：“现从袋子中有放回地取球两次，得分之和为3分”

包括(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)，(白1，红)，(白2，红)，(白3，红)，共6个．

所以

20．某市工会组织举行“红心向党”职工歌咏比赛，分初赛、复赛和决赛三个环节，初赛全市职工踊跃参与，通过各单位的初选，最终有2000名选手进入复赛，经统计，其年龄的频率分布直方图如右图所示．

(1)求直方图中x的值，并估计复赛选手年龄的平均值（同一组中的数据用该区间的中点值作代表，结果保留一位小数）；

(2)根据频率分布直方图估计复赛选手年龄的第75百分位数；

(3)决赛由8名专业评审、10名媒体评审和12名大众评审分别打分，打分均采用10分制．已知某选手专业得分的平均数和方差分别为，，媒体得分的平均数和方差分别为，，大众得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，请估计该选手的最终得分和方差（结果保留三位小数）．

附：方差．

【答案】(1)，39.6（岁）

(2)47

(3)该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，即可求出，再根据平均数公式计算可得；

（2）根据百分位数计算规则计算可得；

（3）根据平均数、方差公式计算可得；

【详解】（1）解：由题意，

解得，

39.6（岁）；

（2）解：通过计算知第75百分位数落在[45，50)区间内，设为t，

则，

解得，即第75百分位数为47；

（3）解：由

设该名选手最终的平均分为，最终方差为，

则（分），

估计该选手最终得分为8.933分，其得分方差为0.216．

21．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：

(1)这名学生只在前2个交通岗遇到红灯的概率；

(2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；

(3)这名学生至少遇到1次红灯的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据前两次遇到红灯，后三次遇到绿灯，即可得解；

（2）根据前三次都是绿灯，第四次是红灯，即可得解；

（3）考虑其对立事件的概率，即可得解.

【详解】（1）由题该学生碰见绿灯的概率为，该学生前两次遇到红灯，后三次遇到绿灯.

设这名学生只在前两个交通岗遇到红灯为事件A，

则.

（2）由题该学生前三次均遇到绿灯，第四次红灯，第五次对概率无影响.

设这名学生在首次停车前经过了3个路口为事件B.

则.

（3）设这名学生至少遇到1次红灯为事件C.

其对立事件为该学生五次都遇到了绿灯.

则.

22．树人中学为了了解，两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从，两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照，，，，分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：

（1）从校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；

（2）如果把频率视为概率，从校区全体高一学生中随机选取一名，从校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；

（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较，两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．

【答案】（1）0.68；（2）；（3）答案见解析.

【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据算出答案即可；

（2）首先求出从校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率，然后可算出答案；

（3）可以从众数、中位数、平均数、方差分别比较，两个校区的物理成绩.

【详解】（1）从校区抽取的100名学生中随机选取一名，

这名学生的成绩不低于60分的频率为，

利用频率估计概率可得这名学生的成绩不低于60分的概率为0.68；

（2）由概率分布图可得校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为，

校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为，

则这三名学生物理成绩都低于80分的概率约为，

这三名学生中至少有一名学生成绩都不低于80分的概率为．

（3）①从众数看，，两个校区的众数都是70，所以，两个校区的众数相等．

②从中位数看，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数

校区的中位数是

校区的中位数是

因为，所以，校区物理成绩的中位数高于校区物理成绩的中位数．

③从平均数看，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数

校区成绩平均数为

，

校区成绩平均数为，

，

，所以，校区物理成绩的平均数高于校区物理成绩的平均数．

④从方差看，校区物理成绩比校区物理成绩更集中．

校区成绩方差为：

校区成绩方差为：

因为，所以校区物理成绩比校区物理成绩更集中．