山西省朔州市怀仁市第一中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题

怀仁一中高三年级2023~2024学年上学期第一次月考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：高考范围。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．下列向量关系式中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．设等差数列的前n项和为，且，，则（    ）

A． B．10 C．11 D．

4．若，则函数有（    ）

A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值

5．二项式的展开式中的常数项为（    ）

A．1792 B．－1792 C．1120 D．－1120

6．某人家的抽屉里有4双不同花色的袜子，从中随机任取3只，则这3只袜子中恰有2只花色相同的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数，若在内的两个根为，，则（    ）

A． B． C． D．

8．函数的定义域为M，若存在正实数m，对任意的，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则k的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列函数中，在上单调递增，且其图象存在对称轴的有（    ）

A．  B．

C．  D．

10．已知函数，则下列选项正确的是（    ）

A．函数在处取得极小值0

B．

C．若函数在上恒成立，则

D．函数有三个零点

11．在长方体中，已知，，则下列结论正确的有（    ）

A．  B．异面直线与所成的角为90°

C．二面角的余弦值为 D．四面体的体积为

12．已知，是抛物线上异于坐标原点O的两个动点，且以AB为直径的圆过点O，过点O作于点M，则（    ）

A．直线AB的斜率为 B．直线AB过定点

C．点M的轨迹方程为 D．的重心G的轨迹为抛物线

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知全集，集合，，则______．

14．为了建设社会主义新农村，近年来某城关镇积极招商引资，加快经济建设，使居民收人得到了较大的提高．已知该城关镇2016年至2020年（用，2，3，4，5表示年份）的居民人均收人y（万元）的数据如下表：

由此得到y关于x的经验回归方程为，则可以预测2021年该城关镇居民人均收人为______万元．

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，，且的周长为10，则双曲线C的焦距为______．

16．在三棱锥中，已知侧棱底面ABC，，且，在此三棱锥内放一个球，当球的体积最大时，球的半径为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求C；

（2）若，，如图，D为线段AB上一点，且．求CD的长．

18．（本小題满分12分）

已知正项等比数列的前n项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前n项和为，求的最大值．

19．（本小题满分12分）

如图，在四校锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，，点M在棱PC上，且，．

（1）证明：平面PAB；

（2）求DM与平面BEF所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

为庆祝六一国际儿童节，某单位组织本单位职工的小孩举行游艺活动．其中有个“套圈游戏”，游戏规则为：每个小孩有三次套圈机会，其中前两次每套中一次得1分，第三次套中得2分，没有套中得0分．

套完三次后，根据总分确定获奖等第：总分为0分获三等奖，总分为1分或2分获二等奖，总分为3分或4分获一等奖．

假设欢欢和乐乐两个小朋友每次套圈套中的概率分别为和，且每次套圈互不影响，

（1）求欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖的概率；

（2）试从平均得分的角度，分析欢欢和乐乐两位小朋友各自得哪个奖项的可能性较大？

21．（本小题满分12分）

已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

22．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N．证明：直线MN与x轴垂直．

怀仁一中高三年级2023~2024学年上学期第一次月考·数学

参考答案、提示及评分细则

1．B  因为，所以z的虚部为．故选：B．

2．D  由向量的概念及线性运算，可知D正确．故选：D．

3．C  由，得，所以，又，，所以．故选：C．

4．B  因为，所以，当且仅当时取等．故选：B．

5．C  因为，令，得，所以二项式展开式中的常数项为．故选：C

6．A  从4双不同花色的袜子中，随机任取3只，共有（种）不同的选取方法，其中恰有2只花色相同有（种）不同的选取方法，所以概率为．故选：A．

7．D  由，得，

所以的图象关于对称，故，即，

所以，因为，

所以，又，

所以，故．故选：D．

8．C  因为，

而，所以，

故，即，所以k的最小值为，故选：C．

9．AC  的图象关于对称，且在上单调递增，所以A满足条件；

只有对称中心，没有对称轴，所以B不满足条件；

的图象关于对称，且在上单调递增，所以C满足条件；

的图象关于对称，但在上单调涕减，所以D不满足条件．故选：AC．

10．ABD 

A．，，单调递减；，，单调递增，A正确；

B．在上单调递减，，B正确；

C．在上的最大值为，则，C错误；

D．由的简图可知的图象与有三个交点，D正确．

11．ACD  由已知，可以证明平面，所以A正确；

因为，所以与不垂直，故与不垂直，所以B不正确；

设AC与BD交于O，则为二面角的平面角，在中，，，所以，所以，故C正确；

四面体的体积为，所以D正确．

故选：ACD．

12．ABD  因为，，两式相减，得，

所以，所以A正确；

因为以AB为直径的圆过原点O，所以，即，

所以，又，所以，

故，，

因为直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，

由，消去y，得，

所以，故，即，所以直线AB的方程为，

所以直线AB过定点，所以B正确；

因为于，直线过定点，所以点的轨迹是以为直径圆（除去原点），其方程为，所以C不正确;

设的重心为，则，，

由方程（*）可知，，，

所以，消去k得，

因为，所以的重心G的轨迹为抛物线，所以D正确．故选：ABD．

13．  因为，，所以．故答案为：．

14．35.6  因为，，所以，解得，

所以当时，，故可以预测2021年该城关镇居民人均收入为35.6万元．

故答案为：35.6．

15．  设，，，可得，有，解得，在和中，由余弦定理有，解得，可得双曲线的焦距为．

16．  当球的体积最大时，球为三棱锥的内切球，设内切球的半径为r，三棱锥的表面积为S，则，由已知，可以证明平面PAB．

所以，

又，所以，解得．

故答案为：．

17．解：（1）根据正弦定理得，整理得，因为，所以，又，可得．

（2）在中，由余弦定理得：，

将（1）中所求代入整理得：，解得或（舍），即，

在中，可知，有，所以．

18．解：（1）设数列的公比为，由，有  ①

又由，有，得  ②

①÷②有，解得或（舍去）

由，可求得，有

故数列的通项公式为

（2）

若，可得，可得当且时；当且时，故最大，

又由，可得，故的最大值为64．

19．（1）证明：如图所示：取PA靠近P的三等分点G，连接FG，BG，因为F，G分别是PD，PA三等分点，

则且，又易知E为BC的三等分点，

故且，故BEFG是平行四边形，故，

∵平面PAB，平面PAB，∴平面PAB；

（2）解：如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设，，∴，得，

又∵，即，解得，

，又，，

设平面BEF一个法向量为，则，即，

令，则，设DM与平面PEF所成角为，∴．

20．解：（1）因为“欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖”的对立事件为“欢欢和乐乐两个小朋友都获得三等奖”，

设欢欢和乐乐两个小朋友最后得分分别为X和Y，则，

所以欢欢小朋友获得三等奖的概率为；

，所以乐乐小朋友获得三等奖的概率为；

故欢欢和乐乐两个小朋友都获得一等奖或二等奖的概率为；

（2）因为，1，2，3，4，且，，，，，

所以欢欢小朋友最后得分X的分布列为

所以，

所以欢欢小朋友最后得分X的平均值为；

因为，1，2，3，4，且，，，，，

所以乐乐小朋友最后得分Y的分布列为

所以，

所以欢欢小朋友最后得分Y的平均值为，

所以欢欢小朋友得一等奖的可能性较大，乐乐小朋友得二等奖的可能性较大．

21．解：（1）由，

①当时，，可得此时函数单调递增，

②当时，令可得或，则此时函数的减区间为，增区间为，，

③当时，令可得或，则此时函数的减区间为，增区间为，；

（2）①当时，由，满足題意；

②当时，由，；若时，，可得，再由（1）中函数的单调性可知，满足题意；

③当时，令，二次函数的对称轴为，由，，根据二次函数的单调性可知，若，有，可得当时，．

若关于x的不等式恒成立，由（1）中函数的单调性可知只需，可得，

由上知，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为．

22．解：（1）设椭圆C的焦距为，由题意有：

解得，，，故椭圆C的标准方程为．

（2）证明：由（1）知，点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，设点P的坐标为（其中，），有，可得，

直线BD的方程为，整理为，

直线AD的方程为，整理为，

直线AP的方程为

联立方程，解得：，故点M的横坐标为

直线BP的方程为

联立方程，解得：，故点N的横坐标为

又由

故点M和点N的横坐标相等，可得直线MN与x轴垂直．