2022-2023学年山西省运城市康杰中学高二下学期第二次月考数学试题含答案

2022-2023学年山西省运城市康杰中学高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．A

【答案】D

【分析】由题可化简集合A，由集合关系可判断选项正误.

【详解】由题可得，则，故ABC错误，D正确.

故选：D

2．下列命题中是真命题的为（    ）

A．，使 B．，

C．， D．，使

【答案】B

【分析】对于A，通过解不等式判断，对于B，由一个数的平方非负判断，对于C，举例判断，对于D，解方程判断.

【详解】对于A，由，得，所以不存在自然数使成立，所以A错误，

对于B，因为时，，所以，所以B正确，

对于C，当时，，所以C错误，

对于D，由，得，所以D错误，

故选：B

3．若，则“”的一个充分不必要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.

【详解】由，推不出，排除AB；

由可得，解得或，所以是的既不充分也不必要条件，排除C；

，反之不成立，D正确；

故选：D．

4．以下四个命题，其中正确的个数有（    ）

①经验回归直线必过样本中心点；

②在经验回归方程中，当变量x每增加一个单位时，变量平均增加0.3个单位；

③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀；

④在一个列联表中，由计算得，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中）．

A．1个 B．4个 C．3个 D．2个

【答案】D

【分析】由线性回归方程性质可判断AB选项正误；由独立性检验定义可判断CD选项正误.

【详解】A选项，线性回归方程必过，故①正确；

B选项，当变量x每增加一个单位时，变量平均减少0.3个单位，故②错误；

C选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为，并不指某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；

D选项，由独立性检验知识可知当，时，可认为99.9%的把握确认这两个变量间有关系，故④正确.

故选：D

5．《易系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】本题首先可以根据题意确定个数中的阳数和阴数，然后求出任取个数中有个阳数以及任取个数中有个阳数的概率，最后两者相加，即可得出结果.

【详解】由题意可知，个数中，、、、、是阳数，、、、、是阴数，

若任取个数中有个阳数，则，

若任取个数中有个阳数，则，

故这个数中至少有个阳数的概率，

故选：C.

【点睛】本题考查超几何分布的概率计算，从有限的个物品（包括个指定物品）中抽取个物品，若抽取的个物品中有个指定物品，则概率，考查计算能力，是中档题.

6．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求随机变量的分布列，再运用公式求

【详解】由题意，可能取值为2，3

包含事件为取出的两个球为1，2

所以

包含事件为取出的两个球为1，3或2，3

所以

，

.

故选：A.

7．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下，甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用独立事件及互斥事件的概率求法求解该问题被解答的概率，再利用条件概率计算公式求解即可.

【详解】设事件A表示“甲能回答该问题”，事件B表示“乙能回答该问题”，事件C表示“这个问题被解答”，

则，，故，

所以在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率为：.

故选：D

8．已知函数，下列关于的性质，推断正确的有（    ）

①函数的定义域为；

②函数是奇函数；

③函数与的值域相同；

④在上有最大值；

⑤在上单调递增.

A．4 B．2 C．3 D．5

【答案】A

【分析】①由函数解析式可判断定义域；②判断与关系即可；

③令即可判断选项；④由基本不等式可判断选项；⑤，结合

函数单调性及复合函数单调性可判断选项.

【详解】对于①，恒成立，故函数的定义域为，故①对；

对于②，为奇函数，故②对；

对于③，令与的值域相同，故③对；

对于④，当取得，故④错；

对于⑤，令由复合函数单调性知：在上递增，故⑤对.故有四个正确.

故选：A

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.

【详解】A. 取特殊值，，，显然不满足结论；

B. 由可知，，由不等式性质可得，结论正确；

C. 由同向不等式的性质知，，可推出，结论正确；

D. 取，满足条件，显然不成立，结论错误.

故选：BC.

10．若定义在上的函数满足：，且，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据所给抽象函数的性质，利用赋值法求解即可判断各选项.

【详解】由已知可得函数的定义域为，满足①，且，

对于选项A，可令，代入①式，得，得，所以A选项是正确的；

对于选项B，可令，代入①式，得，得，所以B选项是正确的；

令，代入①式，得，而得，

可令代入①式，得，整理得，

所以C选项是错误的，D选项是正确的.

故选：ABD.

11．对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（    ）

A．

B．函数的最大值为1

C．函数的最小值为0

D．方程有无数个根

【答案】ACD

【分析】对A选项直接计算进行判断，B、C、D选项根据函数定义，研究函数的性质，逐项分析即可．

【详解】因为，

所以，

，A正确；

由定义可得，所以，

所以无最大值，但有最小值且最小值为0，B错，C正确；

方程可化为，

所以，D正确，

故选：ACD.

12．已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ）

A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为

B．第二次抽到3号球的概率为

C．如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大

D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有180种

【答案】ABC

【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解.

【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有

对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为故A选项正确；

对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，即第二次抽到3号球的事件为，，

故B选项正确；

对于C，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为而两两互斥，和为，

记第二次抽到3号球的事件为，,

第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号码相同，

即如果第二次抽到的是3号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C选项正确；

对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法，由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D选项错误；

故选：ABC.

三、填空题

13．已知随机变量，若，则      ．

【答案】/

【分析】根据正态分布的对称性求解即可.

【详解】由已知可得，，

根据正态分布的对称性可得，，

所以.

故答案为：.

14．已知函数在区间上的最小值为1，则实数的值为           .

【答案】

【分析】由题可得图象的对称轴为，则分，两种情况讨论即可得答案.

【详解】函数图象的对称轴为，

当，即时，，解得；

当，即时，，解得（舍去）或（舍去），综上：.

故答案为：

15．在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有5个医疗小组和6个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务（每个小组都要执行救援任务），每个救援点至少需要1个医疗小组和3个抢险小组，则不同的分配方式一共有        种．（用数字作答）

【答案】600

【分析】由题意分两步进行：第一步分配医疗小组，先按1：4或2：3分为两组再分配到两个受灾点，第二步分配抢险小组，只能按3：3分组再分配到两个受灾点，然后根据分步乘法原理求解.

【详解】第一步分配医疗小组，先按1：4或2：3分为两组再分配到两个受灾点，共有；

第二步分配抢险小组，只能按3：3分组再分配到两个受灾点，共有，

因此，共有种.

故答案为：600

16．设函数存在最小值，则的取值范围是        .

【答案】

【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》

【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；

②当时，，

当时，，故函数存在最小值；

③当时，，故函数在上单调递减，

当时，；当时，.

若，则不存在最小值，故，解得.

此时满足题设；

④当时，，故函数在上单调递减，

当时，；当时，.

因为，所以，

因此不存在最小值.

综上，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.

四、解答题

17．若正实数， 满足．

(1)求的最大值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由基本不等式推论可得答案；（2）注意到，后由基本不等式可得答案.

【详解】（1）因，，则，当且仅当时取等号，则的最大值为；

（2），

当且仅当，即，时取等号，则的最小值为.

18．在二项式的展开式中，______给出下列条件：

①若展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为7：2；

②所有偶数项的二项式系数的和为256；

③若展开式前三项的二项式系数的和等于46．

试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：

（1）求展开式的常数项；

（2）求展开式中系数绝对值最大的项．

【答案】（1）；（2）.

【分析】根据所选的项，结合所给条件分别有①，②，③，求n值，均为.

（1）将代入二项式确定展开式通项，令的指数为0时求，进而求出常数项；

（2）将代入并写出展开式通项，利用不等式法求出系数绝对值最大项对应的值，即可确定系数绝对值最大的项．

【详解】由二项式知：展开式通项为，

①第5项与第3项的二项式系分别为、，故，

∴，整理得，又，解得.

②所有偶数项的二项式系数的和为，可得.

③前三项的二项式系数为，解得.

（1）由上知：展开式通项为，

当，有时，常数项为.

（2）由上知：的展开项通项为，

∴故展开式中系数绝对值为，由题设，解得，

∴，即第7项系数绝对值最大，.

19．已知函数的定义域为，且满足．

(1)求的解析式；

(2)求的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知等式中的替换为，从而构造方程组求得；

（2）令，将函数转化为关于的二次函数，由二次函数值域求法可求得结果.

【详解】（1）由题意得：，

由得：.

（2）令，则，，

，

当时，；当时，；

的值域为.

20．某公司有员工140人，为调查员工对薪酬待遇的满意度，现随机抽取了15人，通过问卷调查，有3人对薪酬不满意.

(1)试估计公司中对薪酬不满意的人数；

(2)从15名调查对象中抽取2人，用表示其中对薪酬不满意的人数，试求的数学期望；

(3)实际上，由于问题比较敏感，被调查者为了保护自己的隐私往往会做出相反的回答，导致调查数据失真.为此对调查方法进行优化，现向15名调查对象提供两个问题：

问题A：你对公司薪酬是否不满意？

问题B：现场抛一枚硬币，是否正面朝上？

在一个密闭房间里有一个箱子，箱子中放入大小相同的10个小球，其中黑色小球7个，白色小球3个，每位调查对象进入房间后，从箱子中摸出一个小球后放回，若是黑球，则回答问题A，若是白球，则抛硬币完成问题B.若有6人回答“是”，试用全概率公式估计公司中对薪酬不满意的人数.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）以样本中对薪酬不满意的人数频率为公司中对薪酬不满意的人数频率求解即可；

（2）根据满足二项分布，结合二项分布的数学期望求解即可；

（3）设公司中对薪酬不满意的频率为，再根据全概率公式列式求解可得，进而估计公司中对薪酬不满意的人数即可.

【详解】（1）估计公司中对薪酬不满意的人数为人.

（2）由（1）可得易得满足二项分布，公司中对薪酬不满意的概率为，故.

（3）由题意，回答问题的概率，回答问题的概率.

设公司中对薪酬不满意的频率为，满意的频率为，则问题回答是的概率为，否的概率为；问题回答是的概率为，否的概率为；

故，解得.

故估计公司中对薪酬不满意的人数约为人.

21．已知定义在上的函数是奇函数.

（1）求的值：

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由题意利用函数的奇偶性的性质，求出､的值.

（2）根据题意转化为恒成立，进而转化为恒成立，再根据函数在区间上是减函数，求出的值，可得的范围.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，

可得，解得，所以，

又由，可得，解得，

所以函数的解析式为.

（2）不等式恒成立，即恒成立，

因为，可得，所以，

令，则，

且.

所以恒成立，

令，则函数在区间上是减函数，

因为，所以.

即实数的取值范围.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.

22．随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万元）关于月份的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，与（，，，d均为常数）哪一个更适宜作为利润关于月份的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于的回归方程；

(3)该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．

参考数据：

其中，设，．

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

【答案】(1)选用作为利润关于月份的回归方程更合适

(2)

(3)

【分析】（1）由散点的分布在一条曲线附近，即可选择非线性的.

（2）由对数运算，结合最小二乘法即可求解，

（3）由概率的乘法公式，结合全概率公式即可求解.

【详解】（1）散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在轴上的差距是增大的趋势．故选用作为利润关于月份的回归方程更合适．

（2）由，取对数可得，设，所以，

，，，，

所以，

，所以，

，即．

（3）设事件为“实验车报废”，事件为“只有一车碰撞实验车”，事件为“恰有两车碰撞实验车”，事件为“三车碰撞实验车”，

则

由已知得，

利用全概率公式得

解得

所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．