2022-2023学年山西省朔州市怀仁市第一中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山西省朔州市怀仁市第一中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据初相定义直接可得.

【详解】由初相定义可知，当时的相位称为初相，

所以，函数的初相为.

故选：B

2．已知正六边形，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据相等向量和向量的加减运算即可求解.

【详解】由正六边形的特征可知：,

所以

故选：B

3．在中，已知，，，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【分析】结合正弦定理求得正确答案.

【详解】由于，所以是锐角，

由正弦定理得，，

解得，所以.

故选：B

4．函数，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由的图像，即可得出时的最小值．

【详解】由的图像可知，时，，

所以，

故选：D．

5．在矩形中，为线段的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】选做基底，根据向量的加法和减法的平行四边形法则和三角形法则运算，即可求得答案.

【详解】在矩形中，为的中点，

故选：D.

6．已知向量，，且，，，则（    ）

A．8 B．9 C． D．

【答案】C

【分析】依题意可得，再根据及平面向量数量积的运算律计算可得；

【详解】解：因为，所以，

所以

故选：C

7．已知四边形的对角线交于点O，E为的中点，若，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.

【详解】由已知得，，

故，又B，O，D共线，

故，所以.

故选：A.

8．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果.

【详解】原式

.

故选：D.

二、多选题

9．已知角是第二象限角，则角所在的象限可能为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】AC

【分析】用不等式表出第二象限角的范围，再求得的范围后判断．

【详解】角是第二象限角，则，

，

为奇数时，是第三象限角，为偶数时，是第一象限角，

故选：AC．

10．下列各式的值为正的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】先确定角所在的象限，再根据一全正，二正弦，三正切，四余弦进行判断正负即可.

【详解】对于A选项，，，可知A选项不正确；

对于B选项，，，可知B选项正确；

对于C选项，，，可知C选项正确；

对于D选项，，，可知D选项不正确.

故选：BC.

11．已知向量，下列结论正确的是（    ）

A．与能作为一组基底

B．与同向的单位向量的坐标为

C．与的夹角的正弦值为

D．若满足，则

【答案】ACD

【分析】对于A两个不共线的向量可以作为平面的一组基底；对于B与向量同向的单位向量为；对于C可以用夹角公式先求夹角的余弦，再用平方关系求正弦；对于D代模长公式计算即可.

【详解】对于A，因为，所以不存在实数使得，

所以与能作为一组基底，故A正确；

对于B，因为，

所以，

所以与同向的单位向量的坐标为，故B错误；

对于C，因为，

所以与的夹角的正弦值为，故C正确；

对于D，因为，

所以，解得，故D正确．

故选：ACD．

12．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把这段文字写成公式，即.现有满足.且的面积为，请运用上述公式判断下列命题中正确的是（    ）

A．的周长为4

B．的内切圆的面积为

C．的外接圆半径为

D．

【答案】BD

【分析】由正弦定理可得，设，，，根据面积公式求出，即可求出周长，即可判断A，记的内切圆半径为，根据等面积法求出，即可判断B，由余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理求出外接圆的直径，即可判断C，由余弦定理求出，再由数量积的定义计算，即可判断D.

【详解】因为，

由正弦定理可得，

设，，，

所以，

因为的面积为，

所以，解得或（舍去），

所以，，，

所以的周长为18，故A错误；

记的内切圆半径为，则，即，

∴，∴，故B正确；

由余弦定理得，所以，

得的外接圆的直径为，故C错误；

由余弦定理得，

所以.故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知向量，，若，则实数的值为________．

【答案】

【分析】依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，，且，

所以，解得；

故答案为：

14．函数的最小正周期为___________.

【答案】/

【分析】化简函数的解析式，利用函数周期性的定义以及图象可得出函数的最小正周期.

【详解】因为，

，

如下图所示：

结合图形可知，函数的最小正周期为.

故答案为：.

15．已知，则__________．

【答案】

【分析】将题干中的两个等式先平方再相加，利用两角差的余弦公式可求得结果.

【详解】由，

，

两式相加有，

可得．

故答案为：.

16．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，为某区的一条健康步道，其中为线段，三点共线，是以为直径的半圆，，.则该健康步道的长度为___________.

【答案】

【分析】连接，利用三角函数求出，由余弦定理和三角恒等变换求出，从而求出周长，得到答案.

【详解】连接，因为，所以，

在中，，所以，

由直角三角形三角函数的定义知，，

所以，

所以半圆的弧长为.

在Rt中，，

所以，

在中，设，

由余弦定理可得，，

即，

因为，所以，

所以，解得：，

所以健康步道的长度为.

故答案为：

四、解答题

17．已知角的终边经过点.

(1)求，，；

(2)求，，.

【答案】(1)，

(2)，，

【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解，，的值；

（2）由（1）中值结合二倍角公式与商数关系，即可求得，，的值.

【详解】（1）因为角的终边经过点，

所以，；

（2）由（1）可得，

，则.

18．已知向量．

(1)若，且，求；

(2)若与互相垂直，求实数t的值．

【答案】(1)或

(2)或

【分析】（1）设出，根据模长与平行关系得到方程组，求出；（2）先求出，根据垂直关系得到方程，求出实数t的值.

【详解】（1），

因为，设，则

解得：或

故或；

（2），

因为与互相垂直，所以，整理得：，

解得：或.

19．如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若的面积为，求AC；

(2)在（1）的条件下，若，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，，的面积为，先求得BC，再利用余弦定理求解；

（2）根据，，，利用正弦定理求得，再利用二倍角公式求解.

【详解】（1）解：在中，，，的面积为，

所以，

即，解得．

在中，由余弦定理得，

所以，

解得；

（2）因为，，，

在中，由正弦定理，

所以．

所以．

20．已知，

(1)求的值；

(2)求与的夹角.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由化简求出，再由可求得结果，

（2）先求出，，然后利用向量的夹角公式求解即可

【详解】（1）因为，，

所以，，得，

所以

（2）因为，

，

所以，

因为，

所以，

即与的夹角为

21．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.

(1)求角A的大小；

(2)若边上的高为2，，求的周长，

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据诱导公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可；

（2）根据三角形面积公式和余弦定理进行求解即可.

【详解】（1），

，

因为，

所以，

即，因为，所以；

（2）因为边上的高为2，

所以，

由余弦定理可知：，

或舍去，

所以三角形周长为：.

22．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象.

(1)求函数的表达式；

(2)当时，方程有解，求实数m的取值范围；

(3)当时，恒成立，求正数a的取值范围.

【答案】(1)；

(2)；

(3)﹒

【分析】(1)根据“左加右减”的图像左右平移特性可求g(x)解析式；

(2)根据，求出g(x)＝t的范围，参变分离方程，构造关于t的函数，新函数的值域即为m的取值范围；

(3)将不等式中角化为角，利用三角恒等变换公式化简为，其中，，根据正弦函数图像即可求θ和a的范围.

【详解】（1）由题意可知，；

（2）当时，，可得，

方程可化为，

令，有，

由函数的增区间为，减区间为，

可得，∵，，故，

故m的取值范围为；

（3）不等式，可化为，

可化为，

可化为，

可化为，

令，，由，可得，，

上面的不等式可化为，

当时，，，，

由，有，若恒成立，只需要可得，

又由，有，可得，解得，

由上知，实数a的取值范围为.