2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二上学期期末数学（文）试题含答案

2022-2023学年陕西省宝鸡市教育联盟高二上学期期末数学（文）试题

一、单选题

1．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】解方程，然后根据充分性和必要性的定义求解即可.

【详解】或，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

2．椭圆的长轴长为（    ）

A． B． C．4 D．2

【答案】A

【分析】根据椭圆的几何性质即可求出长轴.

【详解】由椭圆，得，，，

故选：A．

3．已知等比数列中，，则公比（    ）

A． B．2 C．4 D．

【答案】B

【分析】由等比数列通项公式有，结合已知即可求.

【详解】由，可得．

故选：B．

4．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先把抛物线方程化为标准方程，求出即可求解

【详解】由，有，可得，

抛物线的焦点坐标为．

故选：C

5．下列命题是真命题的是（    ）

A．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等

B．若平行四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形

C．存在一个实数，使得

D．所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0

【答案】B

【分析】根据题意，对各选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】若两个三角形的面积相等，由三角形的面积公式可得这两个三角形底与高的乘积相等，所以两个三角形不一定全等，故A错误；

由矩形的定义可知，若平行四边形的对角线相等，则则这个四边形是矩形，故B正确；

因为对于任意实数，，故C错误；

所有可以被5整除的整数，末尾数字都是0或者5，故D错误；

故选：B

6．函数的导数为．则的值为（    ）

A．3 B．4 C．2 D．

【答案】A

【分析】根据列方程，求得，进而求得.

【详解】，

所以，解得，

所以.

故选：A

7．若，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C．8 D．4

【答案】D

【分析】根据对数运算化简求出，利用均值不等式求解.

【详解】，

，即，，

，当且仅当，即时等号成立，

故选：D

8．在中，内角的对边分别为.若，，且则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用余弦定理表示出，利用条件变换求解即可.

【详解】因为，，且

由余弦定理知，

，

解得，

故选：

9．若函数单调递增，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的单调性，可知其导数在R上恒成立 ，分离参数，即可求得答案.

【详解】由题意可知单调递增，

则在R上恒成立，可得恒成立，

当时，取最小值-1，

故，

故选：D

10．在中，三角形三条边上的高之比为，则为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

【答案】A

【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，即可判断出结果.

【详解】因为三角形三条边上的高之比为，

所以三角形三条边之比为，即，

不妨设，

则最大角的余弦值为，

因此角为钝角，三角形为钝角三角形.

故选：A.

11．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】.

12．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆C相交P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由勾股定理构造椭圆参数的齐次方程求离心率.

【详解】设，椭圆的焦距为，则，

由，有，解得，

所以，故得：．

故选：B.

二、填空题

13．设变量x，y满足约束条件,则的最小值为      ．

【答案】-1

【分析】作出约束条件表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.

【详解】作出约束条件表示的平面区域，如图中阴影（含边界），，，，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画直线，平移直线到，当直线过点A时，直线的纵截距最小，z最小，，

所以的最小值为-1.

故答案为：-1

14．等比数列的各项均为正数，且，则           ．

【答案】15

【分析】根据等比数列的性质结合对数的运算性质计算即可.

【详解】解：由已知得数列是各项均为正数的等比数列，

则，

所以．

故答案为：15.

15．抛物线：与直线交于，两点，且的中点为，则的斜率为            .

【答案】

【分析】设，两点坐标分别为，，由，可得，进而结合中点坐标公式即两点间的斜率公式求解即可.

【详解】已知的中点为，设，两点坐标分别为，，

则，可得，

即，

即

又，

所以.

故答案为：.

16．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是           .

【答案】

【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可

【详解】令，则，所以在上单调递增，由，得，即，又在上单调递增，所以，解得.所以不等式的解集是.

故答案为：

三、解答题

17．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.

（1）求sinA的值；

（2）设AC＝，求△ABC的面积．

【答案】（1）；（2）

【详解】分析：（1）由已知和三角形的内角和定理得到与的关系式及的范围，然后利用二倍角的余弦函数公式化简得到一个关于的方程，即可求得结果；（2） 先根据可求出的值，再由正弦定理求出，最后根据三角形面积公式可得结果.

详解：（1）由和π，得B＝－2A, 0<A<.

故，即2＝，.

（2）由(1)得 .

又由正弦定理，得，

所以.

点睛：本题考查了同角三角函数间的基本关系、二倍角的余弦函数公式、诱导公式及三角形的面积公式和正弦定理，是一道综合题，做题时应注意角度的变换.

18．已知等差数列的公差，且是与的等比中项.

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和的最大值及对应的的值.

【答案】（1）；（2）当或时，取得最大值，且最大值为.

【分析】（1）根据等比中项的性质，再结合条件，可求出，代入等差数列公式即可求出.

（2）根据条件求出，利用二次函数的单调性进行求解．

【详解】（1）因为是与的等比中项，所以，即

整理得：

因为，，所以

故

（2）（方法一）因为，，所以

所以

当或时，取得最大值.

故当或时，取得最大值110.

（方法二）由，得

则当或时，取得最大值，

且最大值为

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式及二次函数的单调性，考查了推理和计算能力，属中档题．

19．已知等差数列的前n项和为.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若，求数列{}的前n项和Tn.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；

（2）由裂项相消求和可得结果.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，由题意知，

解得：

∴.

故的通项公式为.

（2）∵

即：的前n项和.

20．设动点与点之间的距离和点到直线的距离的比值为，记点的轨迹为曲线.

(1)求曲线的方程；

(2)若为坐标原点，直线交曲线于两点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，结合距离公式列出方程，整理即可得到曲线的方程；

（2）联立方程组，设，利用弦长公式和点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：由动点与点之间的距离和到直线：的距离的比值为，

可得，整理得，

即曲线的方程为.

（2）解：联立方程组，整理得，

设，，可得，，

所以，

又由点到直线的距离，

所以的面积.

21．设函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若方程恰有两个根，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）即为切线的斜率,先求得,进而求得切线方程；

（2）设函数,则方程恰有两个根等价于方程恰有两个根,分别讨论与的情况,利用导函数求得的单调性,进而求解.

【详解】解:（1）因为,所以,

因为,

所以曲线在处的切线方程为,

即.

（2）设函数,则方程恰有两个根等价于方程恰有两个根,

当时,则,所以没有根；

当时,,

当时,；当）时,.

故的极小值为,极大值为,

若,则只有一个根；

若,则恰有两个根

若,则有三个根；

所以.

【点睛】本题考查利用导数求某点处的切线方程,考查由方程根的个数求参数,考查分类讨论思想.

22．已知中心在原点的双曲线的右焦点为,右顶点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为坐标原点)，求实数取值范围.

【答案】（1）－y2＝1

（2）(－1，－)∪(，1)

【详解】(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)．

由已知得a＝，c＝2，再由c2＝a2＋b2得b2＝1，

所以双曲线C的方程为－y2＝1．

(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，整理得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，

由题意得

，

故k2≠且k2<1　①．

设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，

由·>2得xAxB＋yAyB>2，

xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)·＋k·＋2＝，

于是>2，即>0，解得<k2<3　②．

由①②得<k2<1，

所以k的取值范围为(－1，－)∪(，1)．