北京师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题

这是一份北京师范大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学（文）试题，共7页。试卷主要包含了已知直线l1，已知点A，抛物线C，已知点A等内容，欢迎下载使用。

2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）
1.已知命题：，，则¬p是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.关于直线a，b以及平面M，N下列命题中正确的是（ ）
A.若a∥M，b∥M，则a∥b B.若a∥M，b⊥a，则b⊥M
C.若，且a⊥b，则a⊥M D.若a⊥M，a∥N，则M⊥N
3.如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ）
A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题
C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者是假命题
4.已知直线l1:ax+(a+1)y+1=0，l2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l1⊥l2”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设函数f(x)=xsinx的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（ ）
A.sinx+xcsx B.xsinx+xcsx
C.xcsx-xsinx D.sinx-xcsx
6.已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知点A(6,0)，抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（ ）
A. B. C.5 D.6
8.已知点A(-1,1).若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线.给定下列四条曲线：
①y=-x+3(0≤x≤3)； ②；
③； ④；
其中，Γ型曲线的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）
9.函数f(x)=ex-x-1的零点个数是________.
10.若点P(2,2)为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P到抛物线的准线的距离为________.
11.若函数f(x)=alnx-x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
12.已知点F，B分别为双曲线(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率是________.
13.如图，在三棱锥A-BCD中，，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为________.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-ax+a，其中a∈R.
①f(-1)=________；
②若f(x)的值域是R，则a的取值范围是________.
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟）
15.（本小题13分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
16.（本小题13分）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是，O为坐标原点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l与抛物线相交于B，C两点，求证：∠BOC=90°.
17.（本小题14分）在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）.将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：CD∥平面AEF；
（Ⅱ）求：三棱锥C-EBD的体积.
18.（本小题13分）已知函数，a∈R.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若a>0，且对x∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
19.（本小题14分）已知椭圆(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F，且，求直线l的方程；
（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由；
20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x2-x)lnx.
（Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：
（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.
参考答案
―、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）
二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）
9.1； 10，； 11.a≥2
12. ； 13. ； 14（l）-1（2）(-∞,0]∪[4,+∞)；
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.解（1）增区间：(-∞,-2)和(-2,2)，减区间：(2,+∞).
极大值：； 极小值：
（2）最大值：， 最小值：
16.（Ⅰ）y2=2x；（Ⅱ）∠BOC=90°
17.（Ⅰ）略；（Ⅱ）
18.（1）直线y=-x+1的斜率k=-1，函数y=f(x)的导数为，
f′(1)=-a+1=-1，即a=2.
∴，.
∵f(x)的定义域为(0,+∞).由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得0∴函数f(x)的单调増区间是(2,+∞)，单调减区间是(0,2).
（2）∵a>0，f(x)>0对x∈(0,2e]恒成立，即对x∈(0,2e]恒成立.
即a>x(1-lnx)对x∈(0,2e]恒成立，
g(x)=x(1-lnx)=x-xlnx，x∈(0,2e]. g'(x)=l-lnx-1=-lnx，
当00，g(x)为增函数，
当l所以当x=l时，函数g(x)在x∈(0,2e]上取到最大值.
∴g(x)≤g(l)=1-ln1=1，∴a的取值范围是(1,+∞).
19.（Ⅰ）由A(2,0)得a=2.又因为，所以c=1，
所以b2=a2-c2=3，所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）直线l的方程是.
（Ⅲ）由题意，设l1的方程为y=kx+2(k>0)，
由，得(3+4k2)x2+16kx+4=0.
设C(x1,y1)，H(x2,y2)，则.
可知GH的中点，由垂直可得
解得.即.由判别式知，所以.
故存在满足题意的点且m的取值范围是.
20.（Ⅰ）证明：
证法1：f(x)=(x2-x)lnx的定义域为(0,+∞)
由f(x)=(x2-x)lnx得
，∴f′(1)=0
当x>1时，(2x-1)lnx>0，x-1>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(1,+∞)上单调递增；
当时，(2x-1)lnx<0，x-1<0，∴f′(x)<0，故f(x)在上单调递减：
所以1是函数f(x)的极值点.
证法2：（根据极值的定义直接证明）
f(x)=(x2-x)lnx的定义域为(0,+∞)
∵，∴
当x>1时，x(x-l)>0，lnx>0，∴f(x)>0，即f(x)>f(1)；
当00，即f(x)>f(1)；
根据极值的定义，1是f(x)的极值点.
（Ⅱ）由题意可知，g(x)=(2x-1)lnx+x-1
证法1：，x∈(0,+∞)，
令，x∈(0,+∞)，∴，故h(x)在(0,+∞)上单调递增.
又h(1)=2>0，，又h(x)在(0,+∞)上连续，
∴使得h(x0)=0，即g′(x0)=0，
∴.（*）
g′(x)，g(x)随x的变化情况如下：
∴g(x)min=g(x0)=(2x0-1)lnx0+x0-1
由（*）式得，代入上式得
令，，
，故t(x)在上单调递减.
∴t(x)>t(1)，又t(1)=-1，∴t(x)>-1.即g(x0)>- 1 ∴g(x)>-1.
证法2：g(x)=(2x-1)lnx+x-1=2xlnx-lnx+x-1，x∈(0,+∞)，
令h(x)=2xlnx，t(x)=-lnx+x-1，x∈(0,+∞)，
h'(x)=2(lnx+1)，令h'(x)=0得·h'(x)，h(x)随x的变化情况如下：
∴，即，当且仅当时取到等号.
，令t'(x)=0得x=1. t'(x)，t(x)随x的变化情况如下：
∴t(x)min=t(1)=0，吉x-1-lnx≥0，当且仅当x=l时取到等号.
∴.即g(x)>-1.1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
D
A
A
B
B
B
x
(0,x0)
x0
(x0,+∞)
g′(x)
-
0
+
g(x)
↘
极小值
↗
x
h'(x)
-
0
+
h(x)
↘
极小值
↗
x
(0,1)
1
(1,+∞)
t'(x)
-
0
+
t(x)
↘
极小值
↗