2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题含答案

2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义运算即得答案.

【详解】∵集合，，

∴.

故选：B.

2．已知复数满足，则共轭复数的模为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】C

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而求出其模.

【详解】因为，所以，

所以，则.

故选：C

3．可导函数在某一点的导数值为0是该函数在这一点取极值的（   ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据导数值为和极值的关系进行判断

【详解】若，则，因此单调递增无极值，故无法推出在该点取到极值，

充分性不成立；

可导函数在某点取到极值，根据极值的性质可知在该点处导数值是，必要性成立.

故选：A

4．函数的最小正周期是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】直接利用函数 的周期公式 求解.

【详解】函数的最小正周期是，

故选：B．

【点睛】本题主要考查正切函数的周期性，还考查了运算求解的能力，属于基础题．

5．已知的三个内角的对边分别为，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理即可求解.

【详解】在中，，所以得：，

由正弦定理可得：即，

所以，

故选：B.

6．已知向量，，且，则向量的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由可求得，根据向量夹角公式可求得结果.

【详解】，，

，又，.

故选：D.

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知条件，结合对数函数与指数函数的单调性，即可求解.

【详解】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，.

故选：A.

8．已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

【答案】C

【详解】试题分析：

由题意知，．故选C．

【解析】空间点、线、面的位置关系．

【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．

9．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项.

【详解】，函数单调递增，，函数单调递减，

由导函数的图象知：函数在内，与x轴有四个交点：从左向右看，

第一个点处导数左正右负，是极大值点，

第二个点处导数左负右正，是极小值点，

第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，

第四个点处导数左正右负，是极大值点，

所以函数在开区间内的极小值点有1个，

故选：A

10．甲、乙、丙做同一道题，仅有一人做对.甲说：“我做错了.”乙说：“甲做对了.”丙说：“我做错了.”如果三人中只有一人说的是真的，以下判断正确的是（    ）

A．甲做对了 B．乙做对了 C．丙做对了 D．以上说法均不对

【答案】C

【分析】根据合情推理，分别假设甲、乙、丙做对了，逐一判断即可.

【详解】假设甲做对了，则乙、丙做错，则乙、丙的说法正确，不符合题意；

假设乙做对了，则甲、丙做错，则甲、丙说法正确，不符合题意；

假设丙做对了，则甲、乙做错，则乙、丙说法错误，甲说法正确，符合题意.

丙做对，

故选：C.

11．下列命题：

①，；

②，，

③“若，则”的否命题

④“若则的解集为R”的逆否命题

其中真命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】举反例，判断①，根据零点存在性定理判断②，根据原命题写出否命题，

即可判断③，根据不等式恒成立，求的取值，再结合原命题和逆否命题的等价性，

即可判断④.

【详解】①当时，，当时，，故①假命题；

②设，，，

所以存在，使，即，故②真命题；

③“若，则”的否命题是“若，则”，为假命题，

例如，，就不满足，故③假命题；

④若的解集为R，

当时，恒成立，

当时，，得，

综上可知，

所以“若则的解集为R”，为真命题，

而原命题和逆否命题等价，故④真命题.

故选：B

12．已知函数的定义域为，且对恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，由题意，原问题等价于，令 ，则，进而可得在上为减函数，则在上恒成立，即从而即可求解.

【详解】解：设，因为对，当时都有恒成立，

等价于，即，

令，则，所以在上为减函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

所以函数在上单调递减，在单调递增，

又，，且，

所以，

所以，解得，

故选：A.

二、填空题

13．抛物线C：的焦点坐标为      .

【答案】

【解析】化抛物线的方程为，即得抛物线的焦点坐标.

【详解】依题意，抛物线C：，故，.

则焦点坐标为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.

14．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡久千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人.”意思是用分层抽样从这三个乡中抽出了500人服役，则南乡应该抽出          人．

【答案】120

【详解】分析：根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出南乡应抽人数.

详解：根据分层抽样原理，抽样比例为，

南乡应该抽出人.

故答案为120.

点睛：分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．

15．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是              ．

【答案】

【分析】根据导数与函数单调性的关系，转化为恒成立，转化为函数，求最值问题.

【详解】由题可知：，在区间恒成立，

得恒成立，即，

设，，在区间恒成立，

则函数的最小值为，

所以.

故答案为：

16．下列图形中的图案都是由一些小正方形构成的，设第个图案所包含的小正方形的个数为，则的表达式为        ．

【答案】

【解析】由，，，，，据此归纳即可.

【详解】解：，，，，，由此归纳，

，

故答案为：．

【点睛】关键点点睛：先观察前四项的规律，再归纳出的表达式，再转化为等差数列求和即可.

三、解答题

17．记为等差数列的前项和，已知，．

    （1）求的通项公式；

    （2）求，并求的最小值．

【答案】（1）；（2），最小值为–16．

【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；

（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得，根据二次函数的性质即可求出.

【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法

设等差数列的公差为，由得，，解得：，所以．

[方法二]：函数+待定系数法

设等差数列通项公式为，易得，由，即，即，解得：，所以．

（2）[方法1]：邻项变号法

由可得．当，即，解得，所以的最小值为，

所以的最小值为．

[方法2]：函数法

由题意知，即，

所以的最小值为，所以的最小值为．

【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项公式，是该题的通性通法，也是最优解；

方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程组求解；

（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求，再利用邻项变号法求最值；

方法二：利用等差数列前n项和公式求，再根据二次函数性质求最值．

18．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

19．设集合，集合．

(1)若，求和

(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）当，所以，再求和即可求出答案.

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，分类讨论和，即可得出答案.

【详解】（1），因为，所以，

所以，．

（2）因为是成立的必要不充分条件，所以⫋，

当时，，得

当时，．

解得 ，

所以实数的取值范围是

20．设复数

(1)若是纯虚数，求实数的值.

(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得实部为零，虚部不为零，从而可求出实数的值；

（2）由题意可得复数的实部小于零，虚部大于零，解不等式组可求得结果.

【详解】（1）因为复数为纯虚数，

所以，解得，

（2）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，

所以，得，解得，

即实数的取值范围为

21．已知函数

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）设，若有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出的导数，根据切线的斜率即为函数在处的导数值可求出斜率，求出切点坐标，即可写出切线方程；

（2）求出的导数，讨论的范围以确定函数的单调性，令即可求出的取值范围.

【详解】（1）由题意知，，

又，

∴在处的切线方程为.

（2）当时，，

当时，，

∴在上单调递增，不符合题意.

当时，令，得，

在上，，

在上，，

∴在上单调递减，在上单调递增，∴，

∵有两个零点，且当时，，当时，，

∴，即，

∵，∴，解得，

∴实数的取值范围为.

【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点，属于中档题.

22．已知函数.

(1)求的极值点；

(2)设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围

【答案】(1)极大值点为，无极小值点；

(2)

【分析】（1）首先求函数的导数，并判断函数的单调性，再根据函数单调性和极值点的关系，即可判断选项；

（2）根据题意转化为在上恒成立，令，求得，令，利用导数求得函数在上为增函数，得到，使得，进而得出函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】（1），，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以函数的极大值点为，无极小值点；

（2）因为对任意的，不等式恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上为增函数，

又因为，，

所以，使得，即，

当时，，可得，所以在上单调递减；

当时，，可得，所以在上单调递增，

所以，

由，可得，

令，则，

又由，所以在上单调递增，

所以，可得，所以，即，

所以，所以，

综上所述，满足条件的的取值范围是.

【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，

但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，

若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．