2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由抛物线方程可直接求得准线方程.
【详解】由抛物线方程可得准线方程为：.
故选：B.
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式，求得集合B，根据集合的交集运算即可求得答案.
【详解】由，解得或，所以或，
所以，
故选：D.
3．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆的位置关系求得圆的半径，即可求得结果.
【详解】因为点到直线的距离是，
所以圆的半径为，所以圆的方程为.
故选：C.
4．2022年10月9日7时43分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丁型运载火箭，成功将先进天基太阳天文台“夸父一号”发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．该卫星是我国综合性太阳探测卫星，将聚焦太阳磁场、太阳耀斑和日冕物质抛射的观测，开启我国综合性太阳探测时代，实现我国天基太阳探测卫星跨越式突破．“夸父一号”随着地球绕太阳公转，其公转轨道可以看作是一个椭圆，若我们将太阳看做一个点，则太阳是这个椭圆的一个焦点，“夸父一号”离太阳的最远距离为15210万千米，最近距离为14710万千米，则“夸父一号”的公转轨道的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，以及已知可得出，解方程组即可得出的值，进而得出答案.
【详解】设公转轨道的长半轴长为（万千米），半焦距为（万千米）.
由题意知，解得，
所以离心率．
故选：D．
5．若与相外切，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】根据两圆外切，得到圆心距等于半径之和，求出
【详解】的标准方程是，圆心的坐标为，半径，
的标准方程是，圆心的坐标为，半径，
因为与相外切，
所以，
即，
解得：.
故选：C.
6．已知命题：“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的真假性以及一元二次不等式恒成立的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】因为“，”为真命题，
所以，解得．
故选：A
7．已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件判断.
【详解】由，所以，
即，解得或，
所以充分性不成立，
当时，，
所以，故必要性成立，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
8．在区间上随机地抽取一个实数，若满足的概率为，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】根据几何概型的知识确定正确答案.
【详解】，，依题意可知，所以，
在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，
区间的长度为，所以.
故选：D
9．已知双曲线的离心率为且过点，直线与C的右支有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】联立直线与双曲线方程，根据双曲线与双曲线右支有两个不同的交点，利用韦达定理列出不等式进行求解.
【详解】离心率为的双曲线是等轴双曲线，
所以可设双曲线的方程是，
将点的坐标代入得，
所以的方程是，
将代入上式并消去整理得
，
则解得或.
故选:A.
10．若角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可求得，利用同角的三角函数关系结合二倍角公式化简，代入求值，可得答案.
【详解】根据角的终边经过点，得，
又,
故选:C.
另解：根据三角函数的定义，得，，
所以，
所以，
故选：C.
11．给出下列四个命题：①“若，则a＞b”的逆命题；②“，使得”的否定；③已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，“函数为偶函数”的充要条件是“”；④在中，“”是“”的充分不必要条件．其中为真命题的是（ ）
A．②④B．①④C．③④D．②③
【答案】C
【分析】①先得到“若，则”的逆命题，再举出反例，得到①错误；②举出例子得到“，使得”为真命题，从而得到该命题的否定是假命题；③求出，得到为偶函数时，反过来也成立，③正确；④根据求出，得到④正确.
【详解】“若，则”的逆命题是“若，则”，
当时，，故①错误；
当时，满足，故“，使得”为真命题，
则“，使得”的否定为假命题，故②错误；
，若为偶函数，则，即时，
反过来，当时，，为偶函数，
故“函数为偶函数”的充要条件是“”，③正确；
在中，，则，
所以，但，比如，
故在中， “”是“”的充分不必要条件，④正确.
故选：C
12．过椭圆的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入椭圆C的方程并结合已知可得，由点差法结合已知可得，由此求出，则C上的点M到焦点F的距离的最大值为即可求解
【详解】将代入椭圆C的方程得，
所以①，
设，，则，，
两式相减得，
又，，，
所以②，
解①②得，，
所以，
所以C上的点M到焦点F的距离的最大值为.
故选：D.
二、填空题
13．若方程表示双曲线，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据方程表示双曲线列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】若方程表示双曲线，
则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
14．在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小内角的余弦值为______．
【答案】##
【分析】分析可知角为的最小内角，利用余弦定理求出的值，即为所求.
【详解】因为，则角为的最小内角，
设，，，其中，
由余弦定理可得．
故答案为：.
15．运行如图所示的程序框图，则输出结果为___________.
【答案】##
【分析】理解程序框图，由裂项相消法求和，
【详解】由题意执行循环结构，当时退出循环，
得
，
故答案为：
16．已知为坐标原点，抛物线的方程为，F为的焦点，，过点的直线与抛物线交于P、Q两点（异于点），且，分别交轴于M、N两点，则______．
【答案】4
【分析】设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，求得的坐标，进而求得.
【详解】因为抛物线的方程为，所以其焦点为，
所以可设直线的方程为，，，
联立抛物线方程可得，
所以，，
则直线，
令，可得点的坐标为，同理可得点的坐标为，
所以．
故答案为：
三、解答题
17．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，直线l与x轴的交点为M，求．
【答案】(1)，
(2)4
【分析】（1）消去参数t得直线l的普通方程，再根据化简曲线C的极坐标方程即可；
（2）联立直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程，结合直线方程的几何意义与韦达定理求解即可
【详解】（1）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t得直线l的普通方程．
由得，
将代入得，即，
所以曲线C的直角坐标方程为．
（2）直线l：与x轴的交点坐标为，倾斜角为，
所以直线l的参数方程可化为（t为参数），
代入整理得．
设点A，B对应的参数分别为，，则，，
所以．
18．已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直.
(1)求直线的方程；
(2)若圆过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被圆所截得的弦长为，求圆的标准方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）将两直线联立方程求出交点，再根据垂直的条件求出直线的斜率，代入点斜式可得直线方程；（2）设出圆的圆心和半径，圆过点和弦长公式可联立方程解方程可得.
【详解】（1）由已知，得解得两直线交点为，
设直线的斜率为，因为直线与垂直，所以，解得，
所以直线的方程为，即.
（2）设圆的标准方程为，
则由题意，得
解得或（舍去），
所以，所以圆的标准方程为：.
19．已知，p：“函数的定义域为”，q：“，使得成立”．
(1)若q为真命题，求实数m的取值范围；
(2)若“”为真命题，“”为假命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分离参数，转化为求函数的最大值问题，从而求出的取值范围；
（2）当命题为真时根据进行分类讨论，注意借助与的大小关系，求出的取值范围，然后通过含逻辑联结词的复合命题的真假判断出的真假，由此求解出的取值范围.
【详解】（1）当为真命题时，在上有解，
所以，当时取，有最大值3，所以，
所以实数m的取值范围为；
（2）当为真命题时，
当时，，定义域为，满足题意；
当时，要使的定义域为R，
则，解得，
综上可知：的取值范围是.
因为为真命题且为假命题，所以一真一假，
当真假时，，解得，
当假真时，，此时，
综上，的取值范围是.
20．某公司组织了丰富的团建活动，为了解员工对活动的满意程度，随机选取了100位员工进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图（这100人的评分值都分布在之间）．
(1)求实数m的值以及这100人的评分值的中位数；
(2)现从被调查的问卷满意度评分值在的员工中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
【答案】(1)，75
(2)
【分析】（1）分别根据频率之和为1及中位数的估计方法可求解；
（2）先抽取人数，再计算概率即可.
【详解】（1）由，解得．
中位数设为x，则，解得．
（2）易得满意度评分值在内有20人，抽得样本为2人，记为，，
满意度评分值在有30人，抽得样本为3人，记为，，，
记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，
基本事件有，，，，，，，，，共10个，
A包含的基本事件个数为4个，
所以．
21．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，且的面积为，其中为坐标原点.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，若直线，关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标.
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【分析】（1）由，得点的横坐标为，代入方程得点的纵坐标为，再的面积为解方程即可，
（2）设直线方程，与抛物线方程联立方程组，设，两点坐标，利用直线，关于轴对称，结合斜率公式和韦达定理化简计算即可.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
因为，所以点的横坐标为，代入抛物线方程，得，
又的面积为，所以，又，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
由得，，即，
所以，.
因为直线，关于轴对称，所以，
即，化简，得，
所以，所以，
所以直线的方程为，恒过定点.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆相切，切点在第二象限，过点作直线的垂线，交椭圆于，两点（点在第二象限），直线交轴于点，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出直线的方程，由原点到直线的距离是，列方程解出，进而求出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令，解出和切点的坐标；由已知，直线的方程为，与椭圆方程联立，可得的坐标；由于与的面积相等，且，可得，结合列方程，求出，得到直线的方程．
【详解】（1）因为点，且直线的倾斜角为，
所以直线的方程为，所以，即
又原点到直线的距离是，
所以，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，则直线的方程为．
联立，消去，化简得．
因为直线与椭圆相切，所以，即，
化简得，且切点为．
联立，消去，得，解得，
所以，．
因为为的中点，所以与的面积相等，
又，所以，
所以，即．
所以，即．
又，所以，解得．
因为，，所以，，
故直线的方程为．