2022-2023学年内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善右旗第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年内蒙古自治区阿拉善盟阿拉善右旗第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案.

【详解】由名言，可得大意为如果不“积跬步”，便不能“至千里”，其逆否命题为若要“至千里”，则必要“积跬步”，另一方面，只要“积跬步”就一定能“至千里”吗，不一定成立，

所以“积跬步”是“至千里”的必要不充分条件.

故选：B

2．下列函数中与是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.

【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；

对于B，与是同一函数，故B正确；

对于C，与的对应关系不同，故C不正确；

对于D，与的定义域不同，故D不正确.

故选：B

3．若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

4．若、，且，则的最小值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本不等式计算求解.

【详解】因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.

故选：A.

5．已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.

【详解】，在上单调递减，又为偶函数，

，，，解得：或，

的解集为.

故选：D.

6．函数的单调递减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】，由结合函数的递减区间可得结果.

【详解】，

由得，又，

所以函数的单调递减区间为.

故选：．

7．已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可知，再利用中间量，根据与之间的关系求出的取值范围，即可判断a、b、、之间的关系.

【详解】由题可得：，.由，，设，则.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.

故选：A.

8．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．8

【答案】C

【分析】由一元二次不等式的解与方程根的关系求出系数，确定，然后结合基本不等式得最小值．

【详解】的解集为，则的两根为，，

∴，∴，，则，即，

，当且仅当时取“=”，

故选：C.

二、多选题

9．某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（    ）

A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元

【答案】BCD

【分析】根据题意设出商品A的单价为元，用含有的式子表示商品A销售总收入，列出不等式求解即可.

【详解】设商品A的单价为元，则销量为万件，此时商品A销售总收入为万元，

根据题意有，解得，故BCD符合题意.

故选:BCD

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则 D．函数的最小值是2

【答案】BC

【分析】选项AC：考不等式的性质，要说明不等式不成立可举反例；选项D：令，，根据对勾函数单调性可解.

【详解】解：由，时，得，选项A错误；

由，得，又，所以，选项B正确；

若，则，，，选项C正确；

，令，则，

因为在上单调递增，则，即，选项D错误.

故选：BC.

11．已知，且，则下列结论正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最小值为 D．的最大值为

【答案】BC

【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得的最大值可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；

【详解】，且，，

对于A，利用基本不等式得，化简得，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故A错误；

对于B，，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；

对于C，，

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故C正确；

对于D，

利用二次函数的性质知，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，

，，故D错误；

故选：BC

12．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A．

B．

C．)

D．

【答案】BD

【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式确定正确选项.

【详解】A选项，由于，所以，A选项错误.

B选项，正确，B选项正确.

C选项，，C选项错误.

D选项，，D选项正确.

故选：BD

三、填空题

13．已知,，则,的大小关系是 _____．

【答案】

【分析】利用作差法直接比较大小.

【详解】解：因为,

所以

所以.

故答案为：.

14．已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.

【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，

故集合为集合的真子集，故只需.

故答案为：.

15．若函数的定义域和值域均为，则的值为____.

【答案】

【分析】根据二次函数的性质，结合定义域和值域均为，列出相应方程组，求出，的值即可.

【详解】解：由函数，可得对称轴为，

故函数在上是增函数.

函数的定义域和值域均为，

，即.

解得，或.，.

.

故答案为：.

16．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

【答案】①②③

【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果

【详解】表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.

四、解答题

17．已知是定义在R上的奇函数，当时时，

（1）求解析式

（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）

【答案】（1）；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：，，单调递减区间为：，.

【分析】（1）根据奇函数的性质，当时，，当时，，即可得解；

（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.

【详解】（1）当时，，

当时，，，

所以，

（2）的图像为：

单调递增区间为：，，

单调递减区间为：，.

18．（1）计算

（2）化简：.

（3）已知，求的值.

【答案】(1)；(2)；(3)

【分析】(1)根据指数幂的运算性质即可求解；

(2)根据分数指数幂的运算性质即可求解；

(3)根据题意，先计算，然后将其平方得到，代入即可求解.

【详解】(1)

(2)

(3)因为，两边同时平方可得：，

再将两边同时平方可得：，

所以.

19．已知集合，或.

(1)求，B；

(2)若集合，且为假命题.求m的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）由集合的交并补运算可得解；

（2）转化条件为，对C是否为空集讨论即可得解.

【详解】（1），或，

或；

（2）∵为假命题，

∴为真命题，即，

又，，

当时，，即，；

当时，由可得，

，或，

解得，

综上，m的取值范围为或.

20．已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1），分三种情况即， ，解不等式即可.

（2）对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，只需 的最大值小于等于0，分情况讨论继而得解.

【详解】（1），令，得；

当，即时，不等式的解集为：，

当，即时，不等式的解集为：，

当，即时，不等式的解集为：，

（2）对任意，恒成立，即对任意恒成立，令，

当时，只需，解得

当时，要使对任意恒成立，只需，显然成立，所以成立，

当时，对称轴为，因为，所以在单调递减，所以，所以，

综上：.

21．已知函数

(1)证明：为偶函数；

(2)判断的单调性并用定义证明；

(3)解不等式

【答案】(1)证明见解析

(2)为上的增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；

（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；

（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】（1）证明：的定义域为，

又，故为偶函数；

（2）解：，所以为上的增函数，

证明： 任取，，且，

∵，∴，又，

∴，即，

∴为上的增函数；

（3）解：不等式，

等价于

即，

∵为上的增函数，

∴，解得，故不等式的解集为.

22．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的取值范围；

（3）若实数，（，）满足，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）2．

【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；

（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；

（3）由基本不等式求得最小值．

【详解】解析：（1）．，

，

（）

即或

在上单调递增，为偶函数

即

（2）

，，，

∴

（3）由题可知，

，

当且仅当，即，时等号成立．

所以的最小值是2．