2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

2022-2023学年内蒙古阿拉善盟第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义运算即得答案.

【详解】∵集合，，

∴.

故选：B.

2．已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＜x，则命题p的否定为（　　）

A．∀x＞0，ln（x+1）≤x B．∃x0＞0，ln（x0+1）≥x0

C．∃x0＞0，ln（x0+1）≤x0 D．∀x＞0，ln（x+1）≥x

【答案】B

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．

【详解】命题是全称命题，

则命题的否定为：存在，，

故选：B

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．

3．已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】求出复数的代数形式，则可得共轭复数在复平面内对应的点，进而可得点的位置.

【详解】，

的共轭复数在复平面内对应的点为，在第四象限.

故选：D.

4．双曲线的渐近线方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线渐近线的求法，求得双曲线的渐近线.

【详解】令，解得，即双曲线的渐近线为.

故选：A.

【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的求法，属于基础题.

5．下列求导运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则，对四个选项一一验证即可.

【详解】对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确.

故选：D

6．极坐标的直角坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据直角坐标与极坐标转化的规则计算.

【详解】设点A的直角坐标为 ，极坐标为 ，则有 ，

，并且点 在第三象限，解得 ；

故选：C.

7．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据定积分的运算法则进行求解即可.

【详解】.

故选：D.

8．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解即可.

【详解】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则,,,,

∴,,

∴,

故选：.

9．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由在某点处的导数值的几何意义和割线的斜率即可求解.

【详解】由函数的图象可知为上的增函数，故，又因为分别表示在点处的切线斜率，表示点连线的斜率，有图可知

故选：B

10．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】借助导数研究函数的单调性，又由特殊点，可解此题.

【详解】由题意可得，

令，得，

可得在和上，，在上，，

所以函数在和上为单调递增函数，

在上为单调递减函数，

又因为，所以C正确.

故选：C

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．一定有极大值

B．当时，有极小值

C．当时，可能无零点

D．若在区间上单调递增，则

【答案】D

【分析】利用导数含参讨论函数的单调性，判定极值与最值即可.

【详解】由题意可得：，

若，则恒成立，即在定义域上单调递增，无极值，故A错误；

若，令，

易得：在上单调递增，在上单调递减，即有极大值，故B错误；

若，由上知在定义域上单调递增，当时，，当时，，故使得，故C错误；

若在区间上单调递增，则由上可知

①时，恒成立，满足题意；

②时，则，即，

综上可得，故D正确.

故选：D

12．已知函数.若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】切点为，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为：，可得，设，求，利用导数求的单调性和极值，切线的条数即为直线与图象交点的个数，结合图象即可得出答案.

【详解】设切点为，由可得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以在点处的切线为：，

因为切线过点，所以，

即，即这个方程有三个不等根即可，

切线的条数即为直线与图象交点的个数，

设，

则

由可得，由可得：或，

所以在和上单调递减，在上单调递增，

当趋近于正无穷，趋近于0，当趋近于负无穷，趋近于正无穷，

的图象如下图，且，

要使与的图象有三个交点，则.

则的取值范围是:.

故选：A.

二、填空题

13．函数在点处的切线方程为      ．

【答案】

【分析】求出原函数的导函数，得到函数在时的导数，然后利用直线方程的点斜式得答案．

【详解】由，得，则，

曲线在点处的切线方程为，

即.

故答案为：．

14．已知复数为纯虚数，则        .

【答案】

【分析】根据纯虚数的定义即可求解.

【详解】因为复数为纯虚数，

所以且，解得.

故答案为：

15．      ．

【答案】

【分析】根据定积分的几何意义即可求解.

【详解】由可得，

根据定积分的几何意义表示面积的，

所以，

故答案为：.

16．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为           .

【答案】

【分析】设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值.

【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，

由，得，所以切点为，

则点到直线的距离就是的最小值，即.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在上的最大值和最小值.

【答案】(1)递增区间为，；递减区间为

(2)最大值为59，最小值为-49

【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；

（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.

【详解】（1）的定义域为R，且，

令得，令得，

所以函数在上的最大值为59，最小值为 -49.

18．已知椭圆中，，离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆交于、两点，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件得到，再结合，即可求解；

（2）设，，联立直线与椭圆方程消得到关于的方程，利用韦达定理和弦长公式，即可求解.

【详解】（1）由题知，，即，

又，解得，

所以椭圆方程为.

（2）设，，

联立直线与椭圆方程得，

整理得，

则，，.

所民认

.

19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，M为PC中点．

(1)求证：平面MBD；

(2)若，求直线BM与平面AMD所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理，结合中位线的性质即可得证；

（2）根据题意，建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，求得和平面AMD的法向量，由向量夹角的计算公式，可得答案.

【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OM，

由四边形ABCD为矩形，

可知O为AC中点，M为PC中点，

所以，

又平面，平面，

所以平面MBD.

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则，

设直线与平面所成角为，则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

20．已知函数 在处取得极值2．

(1)求的值；

(2)若方程有三个相异实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）对函数求导，根据题意建立关于，的方程组，解出即可；

（2）由（1）求出函数的单调性及极值情况，由此可得答案．

【详解】（1），

依题意，，解得，

经检验，，符合题意，

，的值分别为，；

（2）由（1）可得，，方程有三个相异实根，

即的图象与直线有三个不同的交点，

，

令，解得或，令，解得，

在单调递增，在单调递减，

且，

，即实数的取值范围为．

21．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱上的动点，且

(1)求证：；

(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）设，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算得到证明.

（2）确定，分别是棱，的中点时，体积取得最大值，建立空间直角坐标系，确定平面的法向量为，底面的法向量为，根据向量的夹角公式计算得到答案.

【详解】（1）设，以为原点建立空间直角坐标系，

，，，，，，，，，，

则，，

因为，故．

（2）设，以为原点建立空间直角坐标系，

因为，

所以当取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．

因为，

所以当时，即，分别是棱，的中点时，体积取得最大值，

此时，坐标分别为，，

，，

设平面的法向量为，则，

令，则，得．

底面的一个法向量为．

设二面角的平面角为，由题意知为锐角．

因为，所以，于是．

即二面角的正弦值为．

22．已知．

(1)求证：当时，；

(2)若对于，恒成立．

①求的最大值；

②当取最大值肘，若函数，求证：对于，，恒有（为自然对数的底）．

【答案】(1)证明见解析

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）令，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可得结论；

（2）①分离变量得到，令，利用导数可求得单调性，得到，由此可求得的最大值；

②将所证不等式转化为证明在上单调递增，利用导数可求得的单调性，并确定在上恒成立，由此可得结论.

【详解】（1）当时，，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即.

（2）①由题意知：对于，恒成立，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

，，即的最大值为；

②由①得：，

要证对于，，恒有，

只需证：当时，，

即证：

令，

则只需证：在上单调递增；

，

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，

，，

，，即，

在上恒成立，在上单调递增，

对于，，恒有.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式、恒成立问题的求解；本题第二问证明不等式的关键是能够将问题转化为证明函数的单调性的问题，从而利用导数求得函数单调性，使得问题得解.