2022-2023学年江西省赣州市南康区第三中学高二下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省赣州市南康区第三中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设函数，则（    ）

A． B． C． D．0

【答案】D

【分析】为常数，则其导数为0.

【详解】因为为常数，所以.

故选：D.

2．已知等比数列的公比为正数，且，，则（    ）

A．4 B．2 C．1 D．

【答案】D

【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出

【详解】设等比数列的公比为（），

由题意得，且，即，

，

因为，所以，，

故选：D

3．某研究机构为了了解初中生语文成绩的平均分y（单位：分）与每周课外阅读时间x（单位：分钟）是否存在线性关系，搜集了100组数据（，），并据此求得y关于x的线性回归方程为.若一位初中生的每周课外阅读时间为2个小时，则可估计她的语文成绩的平均分为（    ）

A．70.6 B．100 C．106 D．110

【答案】C

【分析】由题知，，进而得，再代入计算即可得答案.

【详解】解：因为，，

所以，，

所以，则.

当时，.

故选：C

4．函数的图像大致是（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】D

【分析】根据题意，得到函数的函数值的正负，可排除A、C项；求得，得出函数的单调区间，可排除B项，即可求解.

【详解】由函数，令，即，解得或，

所以当或时，；当时，，可排除A、C项；

又由，令，可得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

则可排除B项，选项D符合题意.

故选：D.

5．提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即太阳系第颗行星与太阳的平均距离（以天文单位A．U.为单位）构成数列，且数列从第二项开始各项乘以10后再减4构成一个等比数列.已知，，则太阳系第5颗行星与太阳的平均距离为（    ）

A．1.6 B．2 C．2.8 D．200

【答案】C

【分析】由题意得到数列为等比数列，结合已知条件写出的第2项和第6项，继而求出的通项，根据数列与的关系求得即可.

【详解】设数列从第二项开始各项乘以10再减4得到的等比数列为，公比为q，

因为，，所以，，所以，所以.

因为，所以，故.

故选：.

6．设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围.

【详解】∵，∴，

∴，∴，∴，

∴，∴或.

故选：B.

7．已知正项数列中，，则数列的前120项和为（    ）

A．4950 B．10 C．9 D．

【答案】B

【分析】先利用题给条件求得，进而求得，再利用裂项相消法即可求得数列的前120项和.

【详解】由，可得数列是首项为1公差为1的等差数列，

则，又，则，

则

则数列的前120项和为

故选：B

8．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式，构造函数并明确其单调性，进而可得导数的不等式，利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求其最值，可得答案.

【详解】当时，不等式恒成立，则，

即函数在上单调递增，则，

整理可得，令，则.

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

，.

故选：D.

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】根据导数运算法则依次讨论求解即可；

【详解】解：对于A选项，，故正确；

对于B选项，，故正确；

对于C选项，，故错误；

对于D选项，，故错误；

故选：AB

10．已知函数，下列结论中正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．有三个零点

C．曲线与直线只有一个公共点

D．函数为奇函数

【答案】ABC

【分析】对于A，利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；

对于B，利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；

对于C，根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得答案；

对于D，整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.

【详解】由函数，则求导可得，

令，解得或，可得下表：

则是的极小值点，故A正确；

，，

由，，

显然函数在分别存在一个零点，即函数存在三个零点，故B正确；

联立，消去可得，化简可得，

则该方程组存在唯一实根，故C正确；

令，

，故D错误.

故选：ABC.

11．已知函数，若f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则a的值可以是（    ）

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

【答案】AB

【分析】由题可得：，利用基本不等式可得：，由条件知，即可得出答案.

【详解】∵函数，定义域为（0，＋∞），∴，

∴，当且仅当时，取等号，

要使f（x）的图象存在两条相互垂直的切线，则，

所以的值必有一正一负，

当时，，易知符合题意，

当时，，易知符合题意，

当时，，不符题意，

当时，，不符题意，

所以a的值可以是－4或－3.

故选：AB.

12．已知数列的前项和为，且，则（    ）

A． B．数列为等差数列

C．数列为等差数列 D．为奇数时，

【答案】AC

【分析】对于AB，利用递推式直接求出即可判断；对于C，利用递推式得到，从而得以判断；对于D，同理可得，再结合选项C中的结论，利用等差数列的前项和公式即可得解.

【详解】对于A，因为，

所以，则，故A正确；

对于B，因为，，所以不是等差数列，故B错误；

对于C，因为，所以，

两式相减，得，所以为等差数列，故C正确；

对于D，因为，所以，

两式相减，得，所以数列的奇数项为等差数列，公差为，

又由选项C知，的偶数项也为等差数列，公差为，，

当为奇数时，

，故D错误.

故选：AC.

三、填空题

13．函数的单调递减区间为      ．

【答案】/

【分析】利用导数求得的单调递减区间.

【详解】函数的定义域为，∵，

令得，

∴函数的单调递减区间是．

故答案为：

14．已知函数满足以下三个条件：①的导函数为奇函数；②；③在区间上单调递增，则的一个解析式为         .

【答案】（答案不唯一）

【分析】由题，可以从常见的奇函数（如正比例函数）作为入手，即可设出，再进一步通过满足其它条件，确定参数的范围，即可写出其中一个符合的解析式

【详解】因为的导函数为奇函数，所以可设，因为，所以，又在区间上单调递增，所以，

因此或等均可.

故答案为： （答案不唯一）

15．若为虚数单位，则计算           ．

【答案】

【分析】设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．

【详解】设，

，

上面两式相减可得，

，

则．

故答案为：．

16．当时，函数有两个极值点，则实数m的取值范围           .

【答案】

【分析】函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实数根，等价于与有两个不同的交点，构造函数，即可求出结果.

【详解】有两个极值点，

所以有两个不同的实数根，

即有两个不同的实数根，

等价于与有两个不同的交点，

设，

当单调递减，

当单调递增，

所以

当；

所以与要有两个不同的交点，只需

故答案为：

【点睛】方法点睛：含参方程有根的问题转化为函数图像的交点问题，数形结合，是常用的方法.本题考查了运算求解能力和数形结合思想，属于一般题目.

四、解答题

17．已知等差数列的前三项依次为a、4，3a，前n项和为，且．

(1)求a及k的值；

(2)设数列{}的通项公式为，求数列{}前n项和．

【答案】(1)，.

(2)

【分析】（1）设该等差数列为{an}，根据等差数列的前三项依次为由a＋3a＝8，求得a，再利用等差数列前n项和的公式，由Sk＝110求解；

（2）由（1）得到，进一步利用分组求和思想及等差数列、等比数列求和公式求解即可.

【详解】（1）设该等差数列为，首项为，公差为，

则,由已知有，得，所以，

所以公差，所以，

由，得，解得或(舍去)，故，.

（2）由（1）知，，所以，

所以

.

18．已知．

(1)求曲线在处切线的方程；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)

(2)，．

【分析】（1）依据导函数几何意义去求曲线在处切线的方程；

（2）利用导数去求函数在区间上的最值．

【详解】（1），则切线斜率为

又，即切点坐标为

故所求切线方程为，即

（2）当时，，所以．

故函数在区间上单调递减．

所以，．

19．某企业计划新购买100台设备，并将购买的设备分配给100名年龄不同（视为技术水平不同）的技工加工一批模具，因技术水平不同而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同.若用变量x表示不同技工的年龄，变量y为相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的工作效益满足最小二乘法，且y关于x的线性回归方程为.

(1)试根据r的值判断使用该批设备的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱（则认为y与x线性相关性很强；则认为y与x线性相关性不强）；

(2)若这批设备有两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本不增加；若A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B工序出现故障，则生产成本增加3万元；若两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.求这批设备增加的生产成本的期望.

参考数据: ；

参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，.

【答案】(1)使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强

(2)万元

【分析】（1）结合相关系数的公式, 即可求解；

（2）设增加的生产成本为（万元），则所有可能取值为，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解.

【详解】（1）由题得，，

所以，

所以，

因为，所以与线性相关性很强，

所以使用该批设备的技工人员所产生的的效益与技工年龄的相关性强；

（2）设增加的生产成本为（万元)，则的可能取值为，，，，

，

，

，

，

所以（万元)，

所以这批设备增加的生产成本的期望为万元.

20．已知数列的前项和为，且，，等比数列中，，且，，成等差数列．

(1)求数列和的通项公式；

(2)记为区间中的整数个数，求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】(1)根据关系,结合应用等差等比数列基本量运算即可得出通项公式;

(2)计算后再应用等差数列前项和公式,等比数列前项和公式分组求和即可.

【详解】（1）因为，所以当时，；

当时，，

时也成立，所以．

设等比数列公比q，因为，，成等差数列，且，

所以，

则，所以，所以．

（2）因为为在区间中的整数个数，所以，

则

所以．

21．已知函数 （ 为自然对数的底数）．

(1)讨论 的单调性；

(2)若 ，当 时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析；

(2).

【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数值正负即可作答.

（2）将给定的不等式等价变形，构造函数并借助导数结合函数单调性求解作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，求导得：，

若，则，即在上是增函数；

若，由 得，由 得，即函数在上递减，在上递增，

所以当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是.

（2）当时，，，

令，依题意，当时，恒成立，即函数在上单调递增，

因此，，即恒成立，令，

求导得：，当时，，当时，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则 ，即 ，

所以实数的取值范围为.

22．已知函数，为函数的导函数.

(1)求的图象在处的切线方程；

(2)求函数的零点个数；

(3)若函数在区间上有最小值，其中a为正整数，求a的最小值.

【答案】(1)

(2)2个

(3)

【分析】（1）对函数求导，利用导数的几何意义即可求解；

(2)利用导数求出函数的单调性，根据单调性和零点存在性定理即可求解；

(3)结合（2）的结论，要使函数在区间上有最小值，则必须有，解之即可求解.

【详解】（1）因为函数，所以，

又因为，

所以，所以的图象在处的切线方程为：，

即.

（2）由题意可知：，令，

即，令，则，

因为在上单调性递减，且，

所以当时，，函数在上单调递增；

当时，，函数在上单调递减；

又，，，，

由零点存在性定理可知：函数在和上各有一个零点，

也即函数在和上各有一个零点，

故函数有两个零点.

（3）由（2）可知：使得，使得，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，当时，且极小值，

要使在区间上有最小值，则，

由a为正整数，故，解得：，

故实数的最小值为.