2022-2023学年河北省邯郸市魏县第五中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省邯郸市魏县第五中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．若，则在处的导数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接求函数的导函数，代入求值即可.

【详解】解：，，.

故选：A.

2．在展开式中，的系数为（    ）

A．10 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据二项式展开式的特征即可求解.

【详解】展开式中含的项为，所以的系数为，

故选：C

3．若的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题意知：，所以，故，令得所有项系数之和为.

4．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先算出，然后套用公式，即可得到本题答案.

【详解】由题，得表示“第一次和第二次都取到奇数”的概率，结果等于，又有，

所以.

故选：A

【点睛】本题主要考查条件概率的计算，属基础题.

5．某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（    ）（参考数据：）

A．16 B．10 C．8 D．2

【答案】C

【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.

【详解】因为数学成绩，所以，因此由

所以有，

估计该班数学得分大于120分的学生人数为，

故选：C

6．已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

①；

②函数在处取得极小值，在处取得极大值；

③函数在处取得极大值，在处取得极小值；

④函数的最小值为.

A．③ B．①② C．③④ D．④

【答案】A

【分析】由的图像可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，再利用极值和最值的定义逐个判断即可

【详解】由的图像可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．

对于①，由题意可得，所以①不正确．

对于②，由题意得函数在处取得极大值，在处取得极小值，故②不正确．

对于③，由②的分析可得正确．

对于④，由题意可得不是最小值，故④不正确．

综上可得③正确．

故选：A．

【点睛】此题考查由导函数的图像判函数的极值和最值，属于基础题.

7．已知随机变量，且则（    ）

A． B．8 C．22 D．24

【答案】D

【分析】由二项分布的期望公式，结合期望的性质求出的值，再由方差的性质和二项分布的方差公式可得答案

【详解】，

所以，所以，

故.

故选：D

8．已知点在直线上，点在曲线上，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.

【详解】设与直线平行的直线的方程为，

∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，

设切点，

，

，，，

点，直线的方程为，

两点间距离的最小值为平行线和间的距离，

两点间距离的最小值为.

故选：

【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程、点到直线的距离公式、考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

二、多选题

9．设随机变量，随机变量，则（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】AC

【分析】根据正态分布的性质以及参数函数即可结合选项逐一求解.

【详解】由随机变量，随机变量知， ，故A正确，B错误，

由于随机变量服从正态分布，对称轴为,所以，故C正确，

由于随机变量，均服从正态分布，且对称轴均为轴,但是，

在正态密度曲线中，的峰值较高，正态曲线越瘦高，随机变量分布比较集中，

所以，故D错误，

故选：AC

10．在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （    ）

参考数据：若，．

A．年级平均成绩为82.5分

B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等

C．成绩不超过77分的人数少于150

D．超过98分的人数为1

【答案】ABD

【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D.

【详解】由，可知，所以平均分为，故A对.

由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知，

成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对.

,因为，所以C错误.

,因为，

所以超过98分的人数为1，故D正确.

故选:ABD

11．截止5月6日，全球不明原因儿童肝炎超300例.在对前期169例病例的研究发现，74例腺病毒检测阳性.其中20例新冠病毒检测阳性，19例腺病毒和新冠病毒均呈阳性，现从前期病例中随机抽取2例，记事件为“恰有1例新冠病毒阳性”，事件为“恰有1例腺病毒和新冠病毒均呈阳性”，下列说法错误的有：（    ）

A．事件的对立事件为“至多有1例新冠病毒阳性”

B．

C．事件与事件为互斥事件

D．事件与事件为独立事件

【答案】ACD

【分析】根据对立事件的概念可判断A，利用条件概率公式可判断B，利用互斥事件的概念可判断C，利用独立事件的概念可判断D.

【详解】由题可知事件的对立事件为“没有新冠病毒阳性或恰有2例新冠病毒阳性”，故A错误；

由条件概率公式可得，故B正确；

由题可知事件与事件可以同时发生，故C错误；

由题可知事件与事件相互影响，故D错误.

故选：ACD.

12．已知的展开式的常数项为16，则（    ）

A． B． C．展开式中各项的系数之和为216 D．展开式中的系数为12

【答案】AD

【分析】根据的展开式的常数项为16，求得，再由，利用通项公式及赋值法求解.

【详解】依题意，，

∴.

∴，

∴展开式中的系数为，

展开式中各项系数之和为，

故选：AD.

三、填空题

13．若，则      ．

【答案】

【分析】根据基本初等函数的求导公式及导数的四则运算法则即可计算出结果．

【详解】．

故答案为：．

14．某地举办党史知识竞赛，已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁4支参赛队伍，其中1支队伍分配有7个名额，余下3支队伍都有参赛名额，则这4支队伍的名额分配方案有      种．

【答案】84

【分析】取1支队伍获得7个名额，余下8个名额利用隔板法分给另外3支队伍，列式计算作答.

【详解】依题意，求分配方案数这件事需两步，先取1支队伍获得7个名额，有种方法，

把余下的8个名额分给另外3支队伍，每支队伍至少1个名额，由隔板法有种方法，

由分步乘法计数原理得这4支队伍的名额分配方案种数是.

故答案为：84

15．曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程为          ．

【答案】

【分析】设切线的切点坐标为，对函数求导，利用，求出，代入曲线方程求出，得到切线的点斜式方程，化简即可.

【详解】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为.

故答案为：.

16．已知曲线与有公共切线，则实数的取值范围为          .

【答案】

【分析】设公切线与曲线的切点为，，利用导数的几何意义分别求和上的切线方程，由所得切线方程的相关系数相等列方程求参数关系，进而构造函数并利用导数研究单调性求参数范围.

【详解】设公切线与曲线和的切点分别为，，其中，

对于有，则上的切线方程为，即，

对于有，则上的切线方程为，即，

所以，有，即，

令，，

令，得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以，故，即.

∴正实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)

（1）求在1次游戏中,

①摸出3个白球的概率;

②获奖的概率;

（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.

【答案】（I）（i）；（ii）（II）X的分布列见解析，数学期望

【详解】解：(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.

②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又

P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.

(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝2＝，

P(X＝1)＝C21·＝，

P(X＝2)＝2＝，

所以X的分布列是

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

18．某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值；

(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)；平均分为分

(2)分布列答案见解析，期望为1

【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可.

【详解】（1）由频率分布直方图知，

，

由，解得，

（分）.

（2）评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，,

的所有可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

，

所以X的分布列为：

.

19．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.

【答案】（1）（2）（3）

【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则

（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率

（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，

由于与互斥，故

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为

（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故

，

．

所以ξ的分布列是

随机变量ξ的数学期望

【解析】1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．

20．已知函数，曲线在点处切线方程为．

（1）求的值；

（2）讨论的单调性，并求的极大值．

【答案】（1）；（2）见解析.

【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线在点处切线方程为，建立方程，即可求得，的值；（2）利用导数的正负，可得的单调性，从而可求的极大值．

试题解析：（1）．

由已知得，．

故，．

从而，．

（2）由（1）知，，

．

令得，或．

从而当时，；

当时，．

故在，上单调递增，在上单调递减．

当时，函数取得极大值，极大值为．

【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值．

21．2022年4月16日9时56分，在太空遨游半年的神舟十三号飞船在东风着陆场成功着陆，这标志着中国空间站关键技术验证阶段的最后一次飞行任务取得圆满成功．为了让师生关注中国航天事业发展，某校组织航天知识竞赛活动，比赛共25道必答题，答对一题得4分，答错一题倒扣2分，学生甲参加了这次活动，假设每道题甲能答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响．

(1)求甲前3题得分之和大于0的概率；

(2)设甲的总得分为，求．

【答案】(1)

(2)70

【分析】（1）依题意他答对2题或3题，按照相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；

（2）设甲答对的题的个数为，则，根据二项分布的期望公式求出，即可得到；

【详解】（1）解：甲前3题得分之和大于0，则他答对2题或3题，

概率为．

（2）解：设甲答对的题的个数为，由题意知，

所以，

所以．

22．已知，函数

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求在闭区间上的最小值．

【答案】（1）. （2）

【分析】（1）由题求处的切线方程，可由求切线方程的步骤，先求出导数，再求出该点处的导数值即斜率，代入点斜式可得；

（2）先求导，再求极值，最后与区间端点值比较可得．

【详解】（1）当时，，，所以.

又因为f（2）＝4，  所以切线方程为，即.

（2）记为在闭区间上的最小值．

．

令，得到. 因为，所以

比较和的大小,可得.