2022-2023学年河北省邯郸市魏县第三中学高二下学期5月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省邯郸市魏县第三中学高二下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．已知某质点的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在末的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导可得，结合题意，当t=4代入，即可求得答案.

【详解】因为，

所以，

所以当t=4时，，

所以该质点在末的瞬时速度为.

故选：B

2．某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（    ）种.

A．18 B．36 C．60 D．72

【答案】B

【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.

【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：

①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；

②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；

③在4号位置，有5号一种选择，有种；

故共有种.

故选：B.

3．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高ζ(单位：cm)近似服从正态分布N(80，102)．已知X~N(μ，σ2)时，有P(|x－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9973．下列说法错误的是（    ）

A．该地水稻的平均株高约为80cm B．该地水稻株高的方差约为100

C．该地株高低于110cm的水稻约占99.87% D．该地株高超过90cm的水稻约占34.14%

【答案】D

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．

【详解】解：根据正态分布的定义，

故均值为，方差为，故AB正确；

该地株高低于110cm的水稻所占概率，即该地株高低于110cm的水稻约占99.87%，故C正确；

该地株高超过90cm的水稻所占概率，

即该地株高超过90cm的水稻约占，故D错误.

故选：D.

4．设，随机变量的分布列是

若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】直接根据分布列、期望、方差的定义列方程组，即可求出a、b、c.

【详解】由分布列可知：.

，

，即

所以联立方程组得：，解得：

故选：B

【点睛】在离散型随机变量的分布列中，概率和为1.

5．设，化简（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项式定理化简即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

故，

故选：B.

6．下列说法错误的是

A．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定

B．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，

【答案】B

【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

【详解】对于A，y除了受自变量x的影响之外还受其他因素的影响，故A正确；

对于B， 变量，满足关系，则变量x与负相关，又变量与正相关，则与负相关，故B错误；

对于C，由残差图的意义可知正确；

对于D，∵y＝cekx，

∴两边取对数，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，

令z＝lny，可得z＝lnc+kx，

∵z＝0.3x+4，

∴lnc＝4，k＝0.3，∴c＝e4．即D正确；

故选B.

【点睛】本题考查了两个变量的线性相关及回归方程的有关知识，考查了残差图的意义，涉及对数的运算性质，属于基础题型．

7．已知学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从学校任意抽取一位数学老师到学校，然后从学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在B学校抽取到市里上公开课的是男老师的情况下，从A学校抽到B学校的老师也是男老师的概率是（       ）（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率公式可得解.

【详解】设学校抽到学校的老师是男老师事件为M，学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N，

则，，

因而由条件概率公式可得,

故选：A.

【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.

8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据实数的结构形式，构造函数，利用导数判断单调性，最后进行比较大小即可．

【详解】设，

当时，单调递减，，，，因为，所以，即，

故选：A．

二、多选题

9．下列各式中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知，四个选项可根据排列和组合数的计算公式以及组合数的性质逐项化简、计算，即可做出判断.

【详解】对于选项A，，故选项A正确；

对于选项B，，故选项B错误；

对于选项C，n应满足，解得，所以，故选项C正确；

对于选项D，由组合数的性质知：，选项D正确，

故选：ACD．

10．（多选）下列命题正确的是（    ）

A．若，则函数在处无切线

B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点

C．曲线在处的切线方程为，则当时，

D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为

【答案】BD

【解析】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；

可以举例说明函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，故选项正确；

，故选项错误；

切线方程为，化简得，故选项正确．

【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；

函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；

因为曲线在处的切线方程为，所以

又，故选项错误；

因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确．

故选：BD．

【点睛】易错点睛：很多学生认为曲线的切线与曲线有且只有一个交点，其实曲线的切线可以与曲线有多个交点.

11．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：

按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是（    ）

A． B．变量x，y线性负相关且相关性较强

C．相应于点(9.5,10)的残差约为-0.4 D．当x=8时，y的估计值为14.4

【答案】ABD

【分析】对选项A由样本中心在回归方程上求参数；对选项B由相关系数的意义及回归方程的斜率符号判断；对选项C利用残差的定义求残差；对选项D将8代入回归方程求估计值.

【详解】由表格知：，

所以，可得，A正确；

由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B正确；

由，故残差为，C错误；

由，D正确；

故选：ABD

12．李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（    ）

A．P(X＞32)＞P(Y＞32)

B．P(X≤36)＝P(Y≤36)

C．李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D．李明计划7：40前到校，应选择骑自行车

【答案】BCD

【分析】首先利用正态分布，确定和，再结合正态分布的对称性，和的原则，即可求解.

【详解】A.由条件可知，，根据对称性可知，故A错误；

B., ，所以，故B正确；

C. =，所以，故C正确；

D. ，，所以，故D正确.

故选：BCD

三、填空题

13．在的展开式中，含的项的系数是        .

【答案】-15.

【分析】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数即可写出含的项，则可得到答案.

【详解】在的展开式中含的项即从5个因式中取4个，1个常数,

所以含的项为.

所以展开式中，含的项的系数是-15.

14．位于坐标原点的一个质点按下面规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，其概率分别为，质点移动5次后位于点的概率是     

【答案】

【分析】根据独立事件概率公式即得.

【详解】由题可知质点移动5次，其中向上移动2次，向右移动3次，

∴质点移动5次后位于点的概率是.

故答案为：.

15．核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同．现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是             ．

【答案】

【分析】利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件所取核桃产地为甲地为事件，事件所取核桃产地为乙地为事件，

所取核桃为空壳为事件，则，，

所以该核桃是空壳的概率是，

故答案为：.

16．已知在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是          ．

【答案】

【分析】求出导函数，由在上恒成立可得的范围．

【详解】，由题意在时恒成立，

即在时恒成立，，

由对勾函数性质知在单调递增，所以，

所以，即．

故答案为：．

【点睛】本题考查用函数在某个区间上单调性，解题方法是把问题转化为不等式恒成立，再转化为求函数的最值．解题基础求出导函数．

四、解答题

17．个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲不在两端；

（2）甲、乙、丙三个必须在一起；

（3）甲、乙必须在一起，且甲、乙都不能与丙相邻．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）先考虑甲，有个位置可以选择，其他位置全排列，利用分步乘法计数原理可得出结果；

（2）先将甲、乙、丙三人看成一个整体，与其他四人进行排列，由此可得出排法种数；

（3）先将甲、乙二人捆绑，然后利用插空法将甲、乙这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），利用分步乘法计数原理可得出排法种数.

【详解】（1）甲不排头，也不排尾，则甲有个位置供选择，有种情况；

将其余人全排列，安排到其他位置，有种排法.

共有种排法；

（2）采用捆绑法：先将甲、乙、丙三人看成一个整体，有种排法，将这个整体与其他四人全排列，有种排法；

（3）先捆绑法：先将甲、乙二人看成一个整体，有种排法，再将这个整体与丙插入其他四人所形成的空中（包括两端），共有种.

因此，共有种排法.

【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查了捆绑法、插空法以及特殊元素法等方法的应用，将问题正确分类与分步处理是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

18．已知，求：

(1)当时，求；

(2)在处的切线与直线平行，求a？

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）将代入即可求出；

（2）在处的切线与直线平行，满足在的导数值与已知直线的斜率相等，列出方程求出即可.

【详解】（1）当时，，；

（2）因为，

所以，

因为在处的切线与直线平行，

所以，解得.

此时，切线方程为：，即，

满足与直线平行

所以.

19．近几年，我国直播电商行业获得飞速发展，直播用户规模超过6亿人，某调查机构为了了解直播电商用户是否存在性别上的差异，从调查者中随机抽取200人，经统计这200人中女性占120人，120名女性中有80人是直播电商用户，这200人中的直播电商用户有是女性．

(1)依据的独立性检验能否认为直播电商用户存在性别上的差异？

(2)对这200人中的直播电商用户最喜欢的直播电商平台进行统计，得到如下表格：

现采用分层抽样的方式从这4组中抽取10人，并从这10人中随机选取3人，记这3人中最喜欢A平台或C平台的人数为，求的分布列与期望．

附：

参考公式：．

【答案】(1)能认为直播电商用户存在性别上的差异

(2)分布列见解析，

【分析】（1）由题干所给数据即可得列联表，即可计算出，由此即可得出结论；

（2）由（1）可知这200人中直播电商用户有人，由此可得，则可知抽取的这10人中最喜欢A平台或C平台的有人，即可知的取值可能为0，1，2，3，分别求出其概率，即可得分布列，则可求出其数学期望.

【详解】（1）零假设为：直播电商用户不存在性别上的差异，由题意可得如下列联表：

所以，

所以依据的独立性检验，不成立，即认为直播电商用户存在性别上的差异．

（2）由题意可得，

采用分层抽样的方式从4组中抽取10人，抽样比为，

最喜欢平台或平台的有人，

所以的取值可能为0，1，2，3，

，，

，，

所以X的分布列为

．

20．某部门共有10人，其中有6人已接种某处疫苗，4人未接种该种疫苗，从中随机地抽取4人作为样本，用表示样本中接种疫苗者的人数.

（1）若不放回地随机抽取，求或3时的概率；

（2）若有放回的随机抽取，求的分布列及数学期望；

（3）分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本接种疫苗人数的比例估计总体中接种疫苗人数的比例，求误差不超过0.2的概率；试比较两种抽取方法，哪种抽取方法估计的结果更可靠？

【答案】（1）；（2）分布列详见解析，期望；（3）采用不放回摸球估计的结果更可靠些.

【分析】（1）利用超几何概率公式求解；（2）由条件可知，根据公式求得概率后，即可求得结果；（3）由，得取2,3，再分别比较两种抽取下的概率，即可得到结论.

【详解】（1）或

；

（2）有放回的随机抽取，各次使用结果相互独立，，的取值有0，,1,2,3,4

，，

，，，

的分布列为：

期望；

（3）样本中接种疫苗的比例为，由题意可知，解得：，即取2,3，

有放回抽取时，所求概率，

无放回抽取时，所求概率,

，所以在误差不超过0.2的限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.

21．应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车某区域在2021年11月至2022年3月这5个月的销售量y（单位：百辆）的数据如下表：

(1)依据表中的统计数据，求月销售量y与月份代码x间的线性相关系数r（精确到0.01），并判断y与x是否具有较高的线性相关程度？（附：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高．）

(2)求月销售量y与月份代码x的线性回归方程．并预测2022年8月份该区域的销售量（单位：百辆）．

参考数据：．

参考公式：相关系数，，，其中为样本平均值．

【答案】(1)；y与x具有较高的线性相关程度

(2)，107.2百辆

【分析】（1）根据表中数据以及相关系数的公式代入求解即可.

（2）利用最小二乘法求线性回归方程，利用回归方程预测.

【详解】（1）由表中数据可得，

∴，又，

∴，

∴y与x具有较高的线性相关程度．

（2）由已知及（1）知，，

则，

故月销售量y与月份代码x的线性回归方程为，

令，可得（百辆），

故可预测2022年8月该区域的销售量为107.2百辆．

22．已知，

（1）求函数的单调区间；

（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）在递增，在递减，在递增；（2）.

【分析】（1）求出的导函数等于零的自变量的值，通过列表，结合导数的性质进行求解即可；

（2）对不等式进行常变量分离变形，构造新函数，利用新函数的导数的性质求解即可.

【详解】解：（1）的定义域是，又，

令，解得：或，

，，的变化如下：

故在递增，在递减，在递增；

（2）的定义域是，

当时，由可知：

，

令，（），

则

，

令，则或，

故在递减，在递增，

故在上的最小值是，

故，即的取值范围是.

【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立可以采用常变量分离法构造函数，利用导数的性质进行求解.