2022-2023学年河北省石家庄北华中学高二下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省石家庄北华中学高二下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用逐一验证法，根据基本函数的导数的运算直接可得结果.

【详解】，故A错

，故B错

，故C错

，故D正确

故选：D

【点睛】本题考查基础函数的导函数，熟记基础函数的导函数，属基础题.

2．已知随机变量服从二项分布，若，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解．

【详解】由题意，解得．

故选：A．

3．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．有极大值 B．有极小值

C．有极大值 D．有极小值

【答案】B

【解析】由函数的图象，可得时，；时，；时，，由此可得函数的单调性，则答案可求.

【详解】解：函数的图象如图所示，

∴时，；时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，

∴有极小值.

故选：B.

4．已知离散型随机变量X的分布为

则X的数学期望（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】B

【分析】利用分布列的性质求出m，再直接利用公式求出X的数学期望.

【详解】由分布列的性质可得：，解得：.

所以X的数学期望.

故选：B

5．已知随机变量，且，则（    ）

A．0.6 B．0.4 C．0.2 D．0.9

【答案】A

【分析】先根据，求，再根据正态密度曲线的对称性求的值.

【详解】因为，所以，

所以，

故选:A.

6．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据组合数表示的意义，结合条件，即可判断.

【详解】本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．

故选：B

7．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）

A．0.9 B．0.1 C．0.6 D．0.4

【答案】B

【分析】随机变量服从正态分布，得到曲线关于对称，根据曲线的对称性得到小于等于0的概率和大于等于2的概率是相等的得到结果．

【详解】解：随机变量服从正态分布，

曲线关于对称，

故选：B．

8．的展开式中项的系数为（　　）

A． B． C．80 D．200

【答案】B

【分析】先利用二项式定理求出的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.

【详解】的展开式的通项为，

因为，

在中，令，得，

在中，令，得，

所以展开式中项的系数为.

故选：B.

二、多选题

9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则（    ）

A．该校学生成绩的期望为

B．该校学生成绩的标准差为

C．该校学生成绩的标准差为

D．该校学生成绩及格率超过

【答案】ABD

【分析】利用正态分布的性质以及“原则”进行计算即可.

【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，

标准差为，，.

所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.

所以，ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD.

10．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，下列说法正确的有（　　）

A．从中任选一幅画布置房间，有14种不同的选法

B．从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有70种不同的选法

C．从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法

D．要从5幅不同的国画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有9种不同的挂法

【答案】ABC

【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，逐项计算，即可求解.

【详解】对于A中，从国画中选一副有5种不同的选法；从油画中选一副有2种不同的选法；从水彩画中选一副有7种不同的选法，

由分类计数原理，共有种不同的选法，所以A正确；

对于B中，从国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，

根据分步计数原理，共有种不同的选法，所以B正确；

对于C中，若其中一幅选自国画，一幅选自油画，则有种不同的选法；

若一幅选自国画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法；

若一幅选自油画，一幅选自水彩画，则有种不同的选法，

由分类计数原理，可得共有种不同的选法，所以C正确；

对于D中，从5幅国画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第一步，从5幅画中选1幅挂在左边墙上，有5种选法；

第二步，从剩下的4幅画中选1幅挂在右边墙上，有4种选法，

根据分步计数原理，不同挂法的种数是种不同的选法，所以D错误.

故选：ABC.

11．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用赋值法、二项式的通项公式逐一计算判断即可.

【详解】在中，

令，得，

即，所以选项A正确；

令，得，所以选项B不正确；

令，得，

即，而，两式相减，得

，所以选项C正确；

二项式的通项公式为，

，所以选项D正确，

故选：ACD

12．一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为，则（    ）

A．随机变量服从二项分布 B．随机变量服从超几何分布

C． D．

【答案】BCD

【分析】由题意知随机变量服从超几何分布，利用超几何分布的性质直接判断各选项即可

【详解】由题意，知随机变量服从参数为10，4，4的超几何分布，即，故A错误，B正确；

随机变量的取值范围为，

，，，

，，

故，故C，D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．在的展开式中，的系数是           .

【答案】

【解析】本题首先可以写出二项式的展开式的通项，然后找出含的项，即可得出结果.

【详解】二项式的展开式的通项，

含的项为，

则的系数是，

故答案为：.

14．正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre在1733年首先提出的，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布．早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据，对这些数据进行分析，发现这些数据变量X近似服从．若，则      ．

【答案】0.09

【分析】利用正态分布图像的对称性，即可求得结果.

【详解】因为X近似服从，所以X的正态分布曲线关于对称，故.

故答案为：0.09.

15．计算      ．

【答案】0

【分析】利用排列数的性质化简求值即可.

【详解】由，则，

所以0.

故答案为：0

16．甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有      种.

【答案】

【分析】由排列组合中的捆绑法和插空法计算.

【详解】利用捆绑法可得，丙和丁相邻的排法有种，

然后将乙、戊和丙、丁4人进行排列，排法有种，

因为甲不站在两端，且乙、戊和丙、丁排完会形成2个空位，

利用插空法排列甲，排法有种，

所以不同的排列方法有种.

故答案为：

四、解答题

17．已知函数．

(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解.

【详解】（1），则

即解得，经验证满足题意，

（2）

令解得或

1°当时，在上单调递增

2°当时，在，上单调递增，上单调递减

3°当时，在，（上单调递增，上单调递减

18．某篮球运动员投篮的命中率为0.7，现投了6次球．

(1)求恰有4次命中的概率；

(2)求至多有4次命中的概率；

(3)设命中的次数为，求．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用次独立重复试验概率计算公式，即可求出恰有4次投中的概率．

（2）利用次独立重复试验概率计算公式，即可求出至多有4次投中的概率．

（3）由题意可知，根据二项分布的期望公式即可求出结果．

【详解】（1）解：（1）某篮球运动员投篮的命中率为，则未命中的概率为，

现投了次球，恰有次投中的概率为： ．

（2）解：至多有4次投中的概率为：

．

（3）解：由题意可知，所以．

19．已知的展开式的所有项的二项式系数和为512.

(1)若，求；

(2)求展开式中系数最大的项.

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值.

（2）设第项系数最大，则，求得的值，可得展开式中系数最大的项.

【详解】（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴.

∵，

∴令，可得，

∴再令，可得，

即，

∴.

（2）设第项系数最大，则，求得，∴，

故展开式中系数最大的项为.

20．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；

（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．

【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为

．

（2）依题可知，的可能取值为，所以，

,

，

，

.

即的分布列为

期望.

21．一个盒子中有10个小球，其中3个红球，7个白球．从这10个球中任取3个．

（1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数的分布列；

（2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数的分布列．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．

【分析】（1）若采用无放回抽取，求取出的3个球中红球的个数服从超几何分布，计算即可；

（2）若采用有放回抽取，求取出的3个球中红球的个数服从二项分布，计算即可．

【详解】解：（1）由题意知，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，

且服从参数为，，的超几何分布，

因此，，

所以，，

，；

所以的分布列为：

（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，且，

所以，

，

，

，

所以的分布列为：

22．已知函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出的导数，求出即为切线斜率，再求出，即可利用点斜式求出切线方程；

（2）利用导数讨论的变化情况，求出极大值和极小值，即可根据题意建立不等式，求出的取值范围.

【详解】（1）由题意，，故，

又当时，，

故所求的切线方程为，即.

（2）由题意，，

令，得或，

故当时，，当时，，当时，

故当时，函数有极大值，

当时，函数有极小值.

若函数有3个零点，实数满足，解得，

即实数的取值范围为.

【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.