2022-2023学年河北省邢台市柏乡县等5地高二下学期第三次月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省邢台市柏乡县等5地高二下学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是1.23、0.80、0.12、1.36．则拟合效果最好的模型是（    ）

A．模型① B．模型② C．模型③ D．模型④

【答案】C

【分析】根据残差平方和与拟合效果的关系判定即可.

【详解】残差平方和越小则拟合效果越好,而模型③的值最小，所以C正确.

故选：C

2．两个线性相关变量x、y满足如下关系：

则与的线性回归直线一定过其样本点的中心，其坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据样本中心定义，结合平均数的计算公式，可得答案.

【详解】由题意，其样本中心为，

则，，

所以样本中心为.

故选：A.

3．从3名男教师，2名女教师中任意抽取两名进行核酸检测，则抽取的两人中至少有一名为女教师的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数的计算以及古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】从3名男教师，2名女教师中任意抽取两名，所有的抽取方法共有种，

抽取的两人中没有女教师的种数有种，所以至少有一名女教师的概率为 ,

故选：C

4．函数在上的最小值为（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，再判定区间内最小值即可.

【详解】因为，所以，

当时，，即在时单调递增，

当时，，即在时单调递减，

则在时取得极小值，也是最小值，故.

故选：B

5．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二项式系数的性质得到，再写出展开式的通项，即可求出常数项.

【详解】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以，

则展开式的通项为（且），

令，解得，

所以，即展开式中常数项为.

故选：D

6．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是（    ）

A．80 B．120 C．210 D．300

【答案】C

【分析】根据题意，分为两类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上；第二类，有人站在同一台阶上，剩余人独自站在一个台阶上，算出每类的站法数，然后再利用分类计数原理求解.

【详解】因为甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，且每级台阶最多站人，

所以分为两类：第一类，甲、乙、丙各自站在一个台阶上，共有：种站法；

第二类，有人站在同一台阶上，剩余人独自站在一个台阶上，共有：种站法；

所以每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.

故选：C.

7．随机变量服从正态分布，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案.

【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线，

则，，

，且，，

所以，

当且仅当，即时，取等号.

故选：D.

8．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性可判断各选项的正误.

【详解】构造函数，其中，则，

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

对于A选项，，则，即，所以，，A错误；

对于B选项，，则，即，所以，B正确；

对于C选项，，则，即，

所以，，所以，，C错误；

对于D选项，，则，即，所以，，D错误.

故选：B.

二、多选题

9．5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．日前，我国加速了5G技术的融合与创新，前景美好，某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：

若与线性相关，由上表数据求得线性回归方程为 ，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约30台

C．与正相关

D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部

【答案】ACD

【分析】计算样本中心点代入线性回归方程可得A项，由可一一判定B、C、D三项.

【详解】由表格得代入可得，故A正确；

由线性回归方程可知：5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台左右，故B错误；

因为，故与正相关，即C正确；

将代入线性回归方程可得，故D正确.

故选：ACD

10．关于的展开式，下列说法正确的有（    ）

A．各项系数之和为1 B．二项式系数之和为256

C．常数项为第四项 D．的系数为

【答案】ABD

【分析】赋值法，令，即可判断A选项；结合二项式系数的性质即可判断B选项；结合二项式的展开式的通项公式即可判断C、D选项.

【详解】令，可得各项系数之和为，故正确;

二项式系数之和为，故正确;

展开式的通项公式为，令，得，即常数项为第五项，故错误;

令，得，则的系数为，故正确;

故选：ABD.

11．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲，乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（    ）

A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B．若每个比赛区至少安排1人，则有480种不同的方案

C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有48种不同的站法

D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】ACD

【分析】先选两人到短道速滑赛区，其余人全排列，求解可判断A；根据分组分配法即可判断B；先将甲、乙捆绑在一起，再与除了甲、乙以外的3个人排列判断C；根据特殊位置优先安排可判断D．

【详解】由题意，先选两人到短道速滑赛区有种排法，其余各安排1人有种排法，

则有种不同的方案，故A正确；

若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故B不正确；

题意，先将甲、乙捆绑在一起有排法，再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法，

则有种不同的站法，故C正确；

先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种，

则有种，故D正确．

故选：ABD.

12．设离散型随机变量的分布列如下表：

若离散型随机变量，且，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】AB选，根据概率之和为1及求出；CD选项，根据，计算出，进而根据公式计算出，.

【详解】AB选项，有题意得，且，

解得，A错误，B正确；

C选项，因为，所以，C正确；

D选项，，

因为，所以，D错误.

故选：BC

三、填空题

13．函数的减区间为        ．

【答案】

【分析】利用导函数为负，可求单调递减区间.

【详解】由已知得，，

令，即，解得，

则的单调递减区间为，

故答案为:.

14．设随机变量，则函数存在零点的概率是        ．

【答案】

【分析】由二项分布的概率公式，及二次函数判定零点的方法计算即可.

【详解】若函数存在零点，则，即，

又，则.

故答案为：

15．由3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第二位，则这样的六位数共有        个．

【答案】

【分析】由3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有144种，再排除4在第二位的情况，问题得解.

【详解】由3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，先排偶数形成4个空，

将3个奇数插入即可，有个，

若4在第二位，则前1位是奇数，还剩2个偶数和2个奇数，

再排偶数形成3个空，将2个奇数插入即可，共有个，

∴所求六位数共有个，

故答案为：108．

16．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是            .

【答案】

【分析】根据为函数有两个不同的极值点，由 有两个不同的根求解.

【详解】解：因为 ，

所以，

因为函数有两个不同的极值点，

所以 有两个不同的根，

即方程有两个不同的根，

所以 ，解得 ，

所以实数a的取值范围是

故答案为：

四、解答题

17．某班准备举办迎新晚会，有4个歌舞类节目和2个语言类节目，要求排出一个节目单.

(1)若2个语言类节目不能相邻，有多少种排法？

(2)若前4个节目中要有语言类节目，有多少种排法？（计算结果都用数字表示）

【答案】(1)种

(2)种

【分析】（1）利用插空法求得正确答案.

（2）利用对立事件的知识求得正确答案.

【详解】（1）2个语言类节目不能相邻的排法有种.

（2）前4个节目中要有语言类节目的排法有种.

18．高二某班级举办知识竞赛，从A，B两种题库中抽取3道题目（从A题库中抽取2道，从B题库中抽取1道）回答．小明同学对抽取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为，对抽取的题库中的题目回答正确的概率为．设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为．

(1)求时的概率；

(2)求的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式，可得答案；

（2）根据离散型分布列的解题步骤，结合概率计算公式，写出分布列，结合均值计算公式，可得答案.

【详解】（1）.

（2）的可能取值为.

所以；；

，.

的分布列为：

所以数学期望为：

19．某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表：

(1)若y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；

(2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计第30天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）

附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．

参考数据：．

【答案】(1)

(2)1026尾

【分析】（1）由最小二乘法公式计算即可；

（2）将30代入线性回归方程计算估计即可.

【详解】（1）由表格可得，

代入公式则．

．

则y关于x的线性回归方程为．

（2）当时，

估计第30天时育种池内有鱼苗1026尾.

20．“节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．

(1)求在未来连续4个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另2个月的月用水量低于4吨的概率；

(2)用X表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随机变量X的分布列及数学期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，.

【分析】（1）由频率分布直方图判定月用水量不低于12吨与低于4吨的概率，再计算即可；

（2）由二项分布计算分布列并由期望公式计算即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知月用水量低于4吨与不低于12吨的概率分别为：

，，

故在未来连续4个月里连续2个月的月用水量都不低于12吨且另2个月的月用水量低于4吨的概率；

（2）可能取的值为0，1，2，3，且，

则有：

，

，

，

.

故的分布列为

故的数学期望为

21．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，再随机抽取3人赠送礼品，记这3人中“微信控”的人数为，试求的分布列和数学期望.

参考公式: ，其中.

参考数据：

【答案】（1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关（2）

【详解】试题分析：（1）根据列表中的数据计算观测值，对照数表得出结论；（2）根据题意知的可能取值，计算对应的概率值，即可求出的分布列与数学期望值.

试题解析：（1）由列联表可得

所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．   

（2）根据题意所抽取的位女性中，“微信控”有人，“非微信控”有人，

可取的值为，，

，，

所以的分布列是

的数学期望是   

22．已知函数．

(1)当曲线在时的切线与直线平行，求曲线在处的切线的斜率；

(2)求函数的极值，当极值为正数时，求实数的取值范围．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，

（2）对函数求导后，分和两种情况讨论求函数的极值即可

【详解】（1）由，得，

因为曲线在时的切线与直线平行，

所以，得.

所以

当时，，

曲线在处的切线的斜率为2

（2）.

（i）当时，，所以在递减，无极值.

（ii）当时，由得.

随的变化、的变化情况如下：

故有极大值，无极小值；

所以的极大值为，

因为极值为正数，所以

因为，所以.                            

所以当的极大值为正数时，实数的取值范围为