2022-2023学年吉林省长春市第十七中学高二下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春市第十七中学高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【分析】结合诱导公式和三角恒等变换公式即可求解.

【详解】因为

所以

故选：C.

2．已知函数，则的值为（    ）

A． B． C．10 D．20

【答案】D

【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解.

【详解】因为，所以，

所以.

故选：D

3．已知，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过构角，再利用诱导公式即可求出结果.

【详解】因为，

又，所以，

故选：B.

4．曲线在点处的切线斜率为（    ）

A．0 B．1 C．-1 D．2

【答案】A

【分析】对函数求导，利用导数的几何意义求，即可得答案.

【详解】由，则，

所以点处的切线斜率为.

故选：A

5．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题利用导函数的性质，便可以解题.，函数为增函数，，函数为减函数，根据导函数图形找到对应区间就可以得出答案.

【详解】由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.

故选：A．

6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）．

A． B．e C． D．

【答案】C

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：C．

7．已知为锐角，，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．

【详解】因为，而为锐角，

解得：．

故选：D．

8．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则在上的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式化简函数，再利用给定变换及性质求出，利用正弦函数的性质求出最大值作答.

【详解】依题意，，于是，

由，知直线是函数图象的对称轴，则，

而，则，，

当时，，，当且仅当时，，

所以当时，取得最大值.

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为

B．若，则

C．已知为锐角，，角的终边上有一点，则

D．在范围内，与角终边相同的角是和

【答案】ABD

【分析】对于A，根据扇形相关知识计算即可；

对于B，根据角的范围判断正弦值和余弦值的符号，结合诱导公式和同角三角函数的平方关系化简即可；

对于C，通过同角三角函数关系和三角函数定义求得，，再通过两角和的正切公式代入计算即可；

对于D，根据终边相同的角的概念直接判断.

【详解】对于A，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，设其母线长为，则其底面圆的直径为，

则圆锥侧面展开图的半径（即圆锥母线长）为，弧长（即底面周长）为，

所以其侧面展开图的圆心角的弧度数为，故A正确；

对于B，若，则，则，

则

，故B正确；

对于C，若为锐角，，则，则，

角的终边上有一点，则，

则，故C错误；

对于D，在范围内，与角终边相同的角是和，故D正确.

故选：ABD

10．若函数既有极大值也有极小值，则（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，

因此方程有两个不等的正根，

于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.

故选：BCD

11．下列说法不正确的是（    ）

A．存在，使得

B．函数的最小正周期为，且图象关于轴对称

C．函数的一个对称中心为

D．若角的终边经过点，则角是第三象限角

【答案】ABC

【分析】利用正弦函数、余弦函数的性质逐项分析判断作答.

【详解】对于A，由，知，而，因此不存在，使得，A错误；

对于B，函数的最小正周期为，B错误；

对于C，当时，，因此点不是函数的对称中心，C错误；

对于D，因为，所以角是第三象限角，D正确.

故选：ABC

12．已知函数在R上满足，且当时，成立，若，则下列说法正确的有（    ）

A．为奇函数 B．为奇函数

C．在R上单调递减 D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性定义判断AB；构造函数，利用导数探讨单调性推理判断CD作答.

【详解】因为函数在R上满足，则函数是R上的偶函数，A错误；

令，则，则函数是R上的奇函数，B正确；

当时，，则函数在上单调递减，且，

由选项B知，函数在上单调递减，因此在R上单调递减，C正确；

显然，

由选项C知，，因此，D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点睛：涉及给定含有导函数的不等式，根据不等式的特点结合求导公式和求导法则构造函数，再利用导数探求给定问题是解题的关键.

三、填空题

13．已知函数，则函数的最大值为          .

【答案】

【分析】根据给定条件，求出函数，进而求出，再利用导数求出最大值作答.

【详解】函数定义域为，求导得，

当时，，解得，因此函数，，

当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，.

故答案为：

14．若角的终边落在直线上，角的终边与单位圆交于点，且，则        .

【答案】

【分析】由题可得，，然后利用三角函数的定义可得，，即得.

【详解】由角的终边与单位圆交于点，

得，又，

∴，因为角的终边落在直线上，

所以角只能是第三象限角．

记 P 为角的终边与单位圆的交点，设，

则，即，又，

解得，即，

因为点在单位圆上，所以，

解得，即，

所以.

故答案为：.

15．当时，          （填或）

【答案】

【分析】根据给定条件，构造函数并探讨该函数的单调性即可判断作答.

【详解】当时，令，求导得，

令，求导得，函数，即在上单调递增，

有，则函数在上单调递增，即有，

所以.

故答案为：

16．已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，          .

【答案】/

【分析】设，依题可得，，结合的解可得，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得．

【详解】设，由可得，

由可知，或，，

由图可知，，即，．

因为，所以，即，．

所以，

所以或，

又因为，所以，

．

故答案为：．

四、解答题

17．已知．

(1)化简；

(2)已知，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角函数的诱导公式结合同角的三角函数关系化简，即可得答案.

（2）利用二倍角正弦公式，结合齐次式法求值，可得答案.

【详解】（1）由题意得

.

（2）由，可得，

则.

18．已知函数.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)证明：.

【答案】(1)递减区间是，递增区间是，极小值为，无极大值；

(2)证明见解析.

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数求出单调区间、极值作答.

（2）由（1）的结论，求出函数的最小值作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，当时，，当时，，

所以函数的递减区间是，递增区间是，在处取得极小值，无极大值.

（2）由（1）知，，函数在处取得最小值，即，，

所以.

19．机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：

（1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次；

（2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：

能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关？并用一句话谈谈你对结论判断的体会.

附：，.

，其中.

【答案】（1），；（2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关，礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.

【分析】（1）由已知求得，进一步套公式求出和的值，就求出线性回归方程，再令即可故居；

（2）补全列联表，根据数据计算，并下结论.

【详解】解：（1）由表中数据知，，，

所以，

，

所以，

所以，

所以令，则人，

故预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次为人次.

（2）根据表中的列联表补全得下表：

故，

所以没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关

礼让行人是一种良好的驾驶习惯，无论驾龄多少，都需遵守规章，礼让行人.

【点睛】方法点睛：

（1）求线性回归方程的步骤：

①先求 x、y 的平均数；②套公式求出和的值：，；③写出回归直线的方程.

（2）独立性检验的题目直接根据题意完成完成2×2列联表,直接套公式求出,对照参数下结论.

20．已知曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求值.

（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)

【分析】（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；

（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数

的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；

解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围．

【详解】（Ⅰ），，

；

（Ⅱ）解法1：，

函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，

当时，在单调递减，

当时，在单调递增，

时，取得极小值，

又时，；时，，；

解法2：，

，

当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

时，取得极小值，

又时，，.

【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：

（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；

（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．

21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式和单调递增区间.

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.

(3)设，若恒成立，求实数c的最小值.

【答案】(1)，单调递增区间为，；

(2)

(3)

【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简条件式，结合三角函数的性质即可得出结果；

（2）利用三角函数图象变换结合三角函数的性质即可；

（3）化简得出，利用换元法结合三角函数的性质求其最大值即可判断c的最小值.

【详解】（1）化简原函数式

又为奇函数，且相邻两对称轴距离，

故，

即

令

所以，单调递增区间为；

（2）由（1）知，向右平移个单位长度得，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），

得到，

当时，，

所以，

则，

故的值域为；

（3）结合（1）得，

令，则

又，

故，

由二次函数的性质可知，

故恒成立等价于，

所以的最小值为.

22．随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：

(1)假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；

(2)由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；

(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分．已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分Y的分布列及数学期望．（参考数据：；若，则，，．）

【答案】(1)

(2)1587人

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据表格，求出样本中笔试成绩不低于80分的考生人数和其中成绩优秀的人数，根据古典概型概率计算即可；

（2）根据表中数据求出平均数，根据正太分布曲线的对称性和即可求，从而估计成绩不低于82.4的人数；

（3）根据题意可知Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，根据独立事件概率的计算方法即可求出分布列，根据数学期望公式即可求出数学期望.

【详解】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人．

故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.

（2）由表格中的数据可知，，

又，即，                        

∴，

由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为10000×0.15865≈1587人.

（3）考生甲的总得分Y的所有可能取值为0，3，4，6，7，10，

则，  ，   ，

，    ，   ，

故Y的分布列为：

∴．