2022-2023学年吉林省长春市朝阳区第十七中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春市朝阳区第十七中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解不等式，然后根据充分必要条件的概念即可判断结果.

【详解】时，不等式的解为或；时，不等式的解为或；

因为或或，

所以是的充分不必要条件，

故选：A.

2．若“”为真命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用参数分离法得到，，再求出在上的最值即可．

【详解】为真命题，

∴，，

∵在区间上单调递增，

，即，

∴实数的取值范围为．

故选B

3．已知，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，求出，再由求出.

【详解】设，因为

所以，

又，所以，

所以.

故选：C.

4．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性进行求解判断即可.

【详解】因为，，，

所以有，

故选：B

5．函数与的大致图像是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为在定义域上单调递减，

又，所以在定义域上单调递减，

故符合条件的只有A；

故选：A

6．已知函数，则（    ）

A．是偶函数，且在是单调递增 B．是奇函数，且在是单调递增

C．是偶函数，且在是单调递减 D．是奇函数，且在是单调递减

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义及指数函数的单调性判断可得；

【详解】解：定义域为，且，

所以为奇函数，

又与在定义域上单调递增，所以在上单调递增；

故选：B

7．设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（    ）个零点

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】根据题意可得的对称性，再画出的图象，再数形结合判断的图象交点个数即可

【详解】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点

故选：C

8．已知，若，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．不存在

【答案】B

【分析】先根据分段函数的解析式求出，，，即可得到，再分和两种情况求解即可.

【详解】由题意，，，即.

当，即时，，解得，满足题意；

当，即时，，解得，满足题意.

所以或.

故选：B.

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】A选项可以举出反例，BCD可以利用不等式的基本性质推导出.

【详解】，，满足条件，故A错误；，故B正确；由得，故C正确；由有，故D正确．

故选：BCD

10．给出下列命题，其中错误命题是（    ）

A．若样本数据（数据各不相同）的平均数为3，则样本数据，，…，的平均数为2

B．随机变量的方差为，则

C．随机变量服从正态分布，，则

D．随机变量，若，，则

【答案】ABD

【分析】选项A利用性质求解，选项B利用求解，选项C利用正态曲线的对称性求解，选项D利用二项分布的期望方差公式求解.

【详解】对于选项A，根据得：，故选项A错误；

对于选项B，根据得：，故选项B错误；

对于选项C，因为，所以，又因为，则，由正态分布的对称性可得：，故选项C正确；

对于选项D，随机变量，根据二项分布的期望和方差公式：，解得，故选项D错误.

故选：ABD

11．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集的自2016年至2020年共5年的借阅数据如下表：

根据上表，可得关于的回归直线方程为，下列结论正确的有（    ）

A．

B．4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7

C．与的相关系数

D．2023年的借阅量一定为6.6万册

【答案】ABC

【分析】对A，根据回归直线过样本中心点可得；对B，根据百分位数的定义可得75%分位数；对C，根据回归直线的斜率可得的正负；对D，根据回归直线的意义可判断.

【详解】对于A，因为，，所以，得，A正确；

对于B，因为，所以4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的75%分位数为5.7，B正确；

对于C，由，可知C正确；

对于D，由A可知回归直线方程为，所以2023年的借阅量约为6.6万册，D错误．

故选：ABC．

12．定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．时，

C．

D．函数有对称轴

【答案】ACD

【分析】根据函数的性质推导可判断A；结合周期性由时的解析式即可得时的解析式，从而可判断B；根据函数周期性与对称性即可判断C、D.

【详解】因为，所以，

则，所以，故A正确；

又当时，，

则当时，，，故B不正确；

由，可得函数的周期为6，

可得，

又函数是上的奇函数，则，

所以，即，

所以，故C正确；

由A选项知，，又，

则，所以函数有对称轴，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．若函数在区间上为减函数，则实数的取值范围为        ．

【答案】

【分析】分类讨论，时根据二次函数的性质求解．

【详解】时，满足题意；

时，，解得，

综上，

故答案为：．

14．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为        ．

【答案】

【分析】求出定点的坐标，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】当时，，所以，定点的坐标为，

由已知可得，因为，则且，

所以，.

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.

故答案为：.

15．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则           .

【答案】

【分析】根据条件，可得两个函数的图象均关于直线对称，利用对称性可求.

【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，

因为的图象也关于直线对称，所以两个函数的图象的交点也关于直线对称，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，由函数关系明确函数的对称性是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.

16．有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，.随机取一个零件，记“零件为次品”，“零件为第台车床加工”，则下列结论：

①

②

③

④

其中正确的序号为       .

【答案】①②③

【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个结论即可.

【详解】因为，故①正确；

因为，故②正确；

因为，，

所以，故③正确；

由③可得，

又因为，故④错误．

故答案为：①②③.

四、解答题

17．计算或化简：

(1)；

(2)．

【答案】(1)2

(2)0

【分析】（1）由指数幂的运算性质求解

（2）由对数的运算性质求解

【详解】（1）原式

（2）原式

18．已知集合，.

(1)若，求图中阴影部分；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可.

（2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围.

【详解】（1）时，有，由韦恩图知，，又，

∴或，

∴.

（2）当时，，解得，此时成立；

当时，由，有，解得；

综上，实数的取值范围是.

19．已知函数是指数函数．

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由指数函数定义可直接构造方程组求得，进而得到所求解析式；

（2）将不等式化为，根据对数函数单调性和定义域要求可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）为指数函数，

，解得：，

.

（2）由（1）知：，

，解得：，

的取值范围为.

20．已知二次函数，关于x的不等式的解集为．

(1)求函数在上的最大大值；

(2)若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到是的两个根，结合根与系数的关系，列出方程组求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解；

（2）设，得到，根据题意转化为对任意的恒成立，结合基本不等式，得到，即可求解.

【详解】（1）解：二次函数，关于x的不等式的解集为，

可得是的两个根，

所以，解得，所以，

因为，根据二次函数的性质，

可得函数在上单调递减，在上单调递增，

又由，

所以函数在上的最大值为.

（2）解：设，因为，可得，

不等式对任意的恒成立，，

即不等式对任意的恒成立，

即不等式对任意的恒成立，

所以对任意的恒成立，

又由，当且仅当时，取等号，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围为.

21．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80 及以上的花苗为优质花苗．

(1)求图中的值，并求综合评分的中位数．

(2)填写下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关．

附：下面的临界值表仅供参考．

（参考公式：，其中）

【答案】(1)；综合评分的中位数为82.5

(2)填表见解析；有99%得到把握任务优质花苗与培育方法有关

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，即可求出，再根据中位数计算方法求出中位数；

（2）完善列联表，计算出卡方，即可判断；

【详解】（1）解：由直方图的性质可知： ，

解得，  

因为，所以中位数位于之间，

设中位数为，则有，解得，

故综合评分的中位数为；

（2）解：根据第一问，优质花苗的频率为0.6，样本中优质花苗的数量为60，

得如下列联表：

所以，   

所以有得到把握任务优质花苗与培育方法有关；

22．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成绩（单位：米）近似服从正态分布，且.

(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在内的概率.

(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为.

①求甲代表学校出战省运会的概率.

②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲获胜，你给我100块，如果甲获胜，你给我50块，如果甲获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说明你的理由.

【答案】(1)0.15；

(2)①，②如果我是丁，我不会和他打赌，理由见解析.

【分析】（1）根据正态分布的性质结合条件即得；

（2）①根据独立重复事件概率公式及互斥事件概率公式即得；②根据条件可得丁获得奖金的期望值，进而即得.

【详解】（1）因为，，

∴；

（2）①由题可得甲获胜的概率为，

甲获胜的概率为，

甲获胜的概率为，

所以，甲代表学校出战省运会的概率为；

（2）由题可得丁获得奖金的期望值为：

，

所以如果我是丁，我不会和他打赌.