2022-2023学年吉林省长春市第十七中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年吉林省长春市第十七中学高二上学期期末数学试题

一、单选题

1．设函数，则（    ）

A．-6 B．-3 C．3 D．6

【答案】C

【解析】根据瞬时变化率的求解方法求解即可.

【详解】解：根据导数的定义：

，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题.

2．已知，则m等于（    ）

A．1 B．3 C．1或3 D．1或4

【答案】C

【分析】根据组合数的性质即可求解.

【详解】由可知:或者,解得:或

故选：C

3．设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

【答案】D

【分析】该事件用分步乘法计数原理计数，结合每个同学有2种选择，即可得出结果

【详解】由题，每个同学有2种选择，故不同报名方式为，

故选：D

5．若的展开式中第4项是常数项，则n的值为（    ）

A．14 B．16 C．18 D．20

【答案】C

【分析】写出二项式展开式的通项，令时的指数位置等于即可求解.

【详解】展开式的通项为，

令可得为常数项，可得，可得，

故选：C.

6．在处的切线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】求导，利用导函数求出斜率，然后利用点斜式写出直线方程整理即可.

【详解】由已知，

则，

所以切线方程为，

整理得

故选：B.

7．3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（    ）种

A．120 B．24 C．48 D．96

【答案】C

【分析】利用捆绑法可得答案.

【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得种排法，

两名女生排序有种排法，

所以共有种排法.

故选：C.

8．已知数列满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答.

【详解】因，则，

所以，

所以.

故选：D

9．关于排列组合数，下列结论错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】运用排列组合数公式展开化简，结合选项辨析即可.

【详解】，，故A正确；

，故B正确；

，而，故C错误，D正确；

故选：C.

二、多选题

10．(多选)数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则（    ）

A．a1＝1 B．d＝－

C．a2＋a12＝10 D．S10＝40

【答案】ACD

【分析】根据所给条件，代入等差数列的通项公式和求和公式，直接计算即可得解.

【详解】设数列{an}的公差为d，

则由已知得S7＝，

即21＝，解得a1＝1.

又a7＝a1＋6d，所以d＝.

所以S10＝10a1＋d＝10＋＝40.

由{an}为等差数列，知a2＋a12＝2a7＝10.

故选：ACD

11．下列说法正确的是（    ）

A．可表示为

B．若把英文“hero”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种

C．10个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手45次

D．将名医护人员安排到呼吸、感染、检验三个科室，要求每个科室至少有人，共有150种不同安排方法

【答案】BCD

【分析】对A，由排列数的定义判断；对B，可能出现的错误种树为，对C，10人两两握手共次，对D，先分组成3、1、1或2、2、1，再将组排列到科室去.

【详解】对A，，A错；

对B，四个字母全排列共有种，可能出现的错误共有种，B对；

对C，10人两两握手，共次，C对；

对D，将5人按3、1、1分组，共有种分法，再分到科室有种分法；

将5人按2、2、1分组，共有种分法，再分到科室有种分法.

故每个科室至少有人共有种安排方法，D对.

故选：BCD

12．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ）

A．函数有极大值 B．函数有极大值

C．函数有极小值 D．函数有极小值

【答案】BD

【分析】根据函数的图像判断导数在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可求解.

【详解】由图可知，当时，， ，则，

当时，，，则，

当时，，，则，

当时，，，则，

综上当时，当时，当时，

所以函数有极大值，有极小值，

故选：BD

三、填空题

13．计算：___________.

【答案】0

【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案.

【详解】解：原式.

故答案为：0.

14．已知数列的前n项和为，且，则当________，有最大值．

【答案】.

【分析】利用等差数列的求和公式，求得，结合和二次函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，数列，可得，

因为，所以当时，数列的前n项和为最大.

故答案为：.

15．设，则___．

【答案】.

【解析】在原式中令和即可解得答案.

【详解】在中，

令得：，

令得：，

所以.

故答案为：.

【点睛】求解与二项式定理有关的系数和问题时，要注意系数的正负规律，通过赋值法来求解，一般地假设令便可得到项的系数和，分别令和，然后通过两式相加减便可得到的奇数次方项的系数和与偶次方项的系数和.

16．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.

【答案】

【分析】由已知，先在曲线上设出点，然后写出以点为切点的曲线的切线方程，根据题意，找到距离直线最近的点，即，从而求解出切点以及切线方程，最后计算两条平行线之间的距离即可.

【详解】由已知，设点曲线上一点，则有，

因为，所以，所以，

所以曲线在处的切线斜率为，

则曲线在处的切线方程为，即．

要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），

此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，

此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，

最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数.若曲线在点处的切线与轴平行，且，求的值.

【答案】

【分析】求导，然后通过列方程组求解.

【详解】由已知，

，

解得.

18．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分)

已知，___________.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中所有的有理项.

【答案】(1)和

(2)，，

【分析】（1）无论选①还是选②，根据题设条件可求，从而可求二项式系数最大的项.

（2）利用二项展开式的通项公式可求展开式中所有的有理项.

【详解】（1）二项展开式的通项公式为：

.

若选①，则由题得，

∴，即，

解得或(舍去)，∴.

若选②，则由题得，∴，

展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为，

，.

（2）由（1）可得二项展开式的通项公式为：

.

当即时得展开式中的有理项，

所以展开式中所有的有理项为:

，，.

19．已知数列的前项和满足，数列是公差为1的等差数列，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用可得数列的通项公式，通过数列为等差数列及对数的运算可得数列的通项公式；

（2）利用分组求和法可得数列的前项和.

【详解】（1）当时，，

当时，，符合上式，

故；

又，

；

（2）由（1）知

.

20．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的值域．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．

【详解】解：（1）由题意得，，令，得，

令，得或，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）易知，

因为

,

所以．

（或由，可得）,

又当时，，

所以函数在区间上的值域为．

【点睛】确定函数单调区间的步骤：

第一步，确定函数的定义域；

第二步，求；

第三步，解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．