2022-2023学年北京市清华附中高二下学期期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年北京市清华附中高二下学期期末数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集，，所以，．
故选：A．
2．已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3．“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：当曲线过原点时，则有即，.
所以“”是“曲线过坐标原点”的充分不必要条件.故A正确.
【解析】1充分必要条件;2三角函数值.
4．设为动点到直线的距离，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】由距离公式及辅助角公式计算可得.
【详解】点到直线的距离,
因为,则,
所以当时.
故选：C
5．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】与曲线y=ex关于y轴对称的曲线为，
向左平移1个单位得，
即．
故选D．
6．无穷等比数列中，前项和为，若且，则公比的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分和两种情况讨论，结合等比数列求和公式求出参数的取值范围.
【详解】当时，此时，符合题意，
当，则，即，显然，则，
即，
又，所以，
综上可得.
故选：B
7．已知A，B，C是单位圆上不同的三点，，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】画出图形，设出，，，，表达出，结合的范围求出最小值.
【详解】如图所示：不妨令，设，，
由于，所以，
则
，
因为，所以当时，取得最小值，最小值为.
故选：C
8．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）

A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
【答案】D
【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.
【详解】对于A：因为，即球体的直径大于正方体的棱长，
所以不能够被整体放入正方体内，故A错误；
对于B：因为正方体的面对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故B错误；
对于C：因为正方体的体对角线长为，且，
所以不能够被整体放入正方体内，故C错误；
对于D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，
且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，
即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
所以能够被整体放入正方体内，故D正确；

故选：D.
9．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

10．噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级其中常数（）是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】A选项，根据公式得到，A错误；B选项，根据公式得到；C选项，根据公式得到；D选项，根据公式得到.
【详解】A选项，燃油汽车，解得，
混合动力汽车，解得，
电动汽车，解得，
因为，
所以，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，
故，D正确.
故选：D
二、填空题
11．的展开式中，项的系数为 .(用数字作答）
【答案】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项,令的指数为3求出展开式中的系数即可.
【详解】解:设求的项为
令,
.
故答案为.
【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
12．在△ABC中，若a＝2,b＋c＝7,，则b=
【答案】4
【详解】在△ABC中，利用余弦定理，
，化简得：8c－7b＋4＝0，与题目条件联立，可解得，
【考点定位】本题考查的是解三角形，考查余弦定理的应用．利用题目所给的条件列出方程组求解
13．在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该抛物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为
【答案】
【详解】由可求得焦点坐标，因为倾角60º，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此.
【考点定位】本题考查的是解析几何中抛物线的问题，根据交点弦问题求围成面积．此题把握住抛物线的基本概念，熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标和方程是成功的关键，当然还要知道三角形面积公式．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
15．已知集合M是具有以下性质的函数的全体：对于任意s，都有，且．给出下列四个结论：
①函数属于M；
②函数属于M；
③若，则在区间上单调递增；
④若，则对任意给定的正数s，一定存在某个正数t，使得当时，恒有．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】根据集合M具有的性质逐个分析判断.
【详解】对于①，，则
，所以不属于M，所以①错误，
对于②，，则当时，，
，
因为，所以，
所以，所以，
所以属于M，所以②正确，
对于③，因为，所以对于任意s，都有，且，
所以，
因为，所以在区间上单调递增，所以③正确，
对于④，对给定的正数s，若，则取，使得当时，由③单调性恒有．若，因为对于任意s，都有，且．所以同理可得，所以存在，则取，使得当时，由③单调性恒有．综上可得④正确，
故答案为：②③④
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查分析问题的能力和计算能力，属于较难题.
三、解答题
16．四棱锥中，平面，，，，．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质得到、，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）连接，因为平面，平面，
所以、，
又，，，
所以，所以，所以，
，平面，
所以平面.
（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，
则，
设平面的法向量为，则，令，
则，
设二面角为，由图可得二面角为锐二面角，
所以，所以二面角的余弦值为.

17．已知函数，，．
(1)若图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值；
(2)若在上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知．求、的值．
条件①：
条件②：是的一个零点；
条件③：
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再根据周期求出；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及零点可求出，从而求出的值，把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，从而求出，得到的值，同理求出的值．
【详解】（1）因为
，
又图象的相邻两条对称轴之间的距离为，，
即最小正周期，解得.
（2）由（1）可得，则，
若选条件①：，又，且在上单调递增，
所以在上单调递增，与在上单调递增矛盾，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：是的一个零点，又在上单调递增，且，
所以，则，解得，
所以，又，，解得，，
因为，所以，经检验符合题意，即、；
若选条件③：，又在上单调递增，且，
所以，
所以，则，解得，
所以，又，，解得，，
因为，所以，经检验符合题意，即、；
18．为方便，两地区的乘客早晚高峰通勤出行，某公交集团新开通一条快速直达专线．该线路运营一段时间后，为了解乘客对该线路的满意程度，从，两地区分别随机抽样调查了100名乘客，将乘客对该线路的满意程度评分分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图：
根据乘客满意程度评分，将乘客的满意程度分为三个等级：
(1)从地区随机抽取1名乘客，估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率；
(2)假设两地区乘著的评分相互独立，从地区与地区名随机抽取名乘客，记事件为“抽取的名乘客中，至少有名乘客的满意程度等级是满意或非常满意”，估计事件的概率；
(3)设为从地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从地区随机抽出的这100名乘客的满意程度评分的平均数，为从，两地区随机抽出的这200名乘客的满意程度评分的平均数，试比较与的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）先由频率和为1解出，再求是非常满意的概率即可；
（2）分别求出，地区满意或非常满意的概率，再由独立事件乘法公式求解即可；
（3）由频率分布直方图求得，进而求出，计算求解即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，，解得，
则估计该乘客的满意程度等级是非常满意的概率为；
（2）从地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为；
从地区随机抽取一名乘客，该乘客的满意程度等级是满意或非常满意的概率为；
则；
（3），理由如下：，
，
因为，两地区人数比为，则，
则，，则.
19．已知函数在点处的切线方程为．
(1)求、的值：
(2)求函数的单调区间；
(3)令，若函数的极小值小于，求的取值范围．
【答案】(1)、
(2)单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，从而求出参数的值；
（2）由（1）可得，利用导数求出函数的单调区间；
（3）首先可得，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，从而得到函数的极小值，再说明极小值恒小于，即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
又函数在点处的切线方程为，
所以，即，解得.
（2）由（1）可得定义域为，
所以，
所以当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）因为定义域为，
则，
当，即时恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
对于方程，当，即时恒成立，
所以恒成立，所以在定义域上单调递增，不符合题意；
当则时方程有两个不相等的正实数根、，
不妨设，则且
所以当或时，当时，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
此时在处取得极大值，在处取得极小值，
则，
令，，则，
所以在上单调递减，所以，
即，所以.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
20．已知椭圆，离心率，点为的左顶点，点为的右焦点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）与椭圆交于、两点，直线、分别交直线于，两点，线段中点为，的面积分别为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而求出，即可得解；
（2）当直线的斜率不存在直接求出，，当直线的斜率存在且不为，设直线为，，，联立直线与椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出、的坐标，计算，从而得到的坐标，求得，进而表示出，，计算的结果， 再求得的表达式，即可求得与之间的关系，即可得出结论.
【详解】（1）依题意，解得，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可得，，
若直线的斜率不存在，则直线为，此时、，
则为，令，可得，则，，
所以，，
所以，即，
若直线的斜率存在且不为，所以设直线为，，，
联立，得，显然，
则，，
直线的方程为，
令，得，所以，
同理，．
又
，所以，
所以，所以，即，
，
又，
所以．
又为线段中点，
故
，
所以，即，
综上可得.

【点睛】难点点睛：解答直线和圆锥曲线的位置关系类的题目时，解决问题的思路想法不是很困难，一般利用直线方程和圆锥曲线方程联立，可得根与系数的关系，结合题设进行化简求值等，但难点在于计算的复杂性，以及计算量较大，并且大多为字母参数的运算，因此要十分细心.
21．给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称为数列．记数列的项数的最小值为．
条件①：的每一项都属于集合；
条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．
注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列称为的一个子列．
(1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！
数列；
数列．
(2)求的值；
(3)求证．
【答案】(1)
(2)(3)
【详解】（1）此题解析征解
（2）此题解析征解
（3）此题解析征解
声源
与声源的距离/
声压级/
燃油汽车
10
60-90
混合动力汽车
10
50-60
电动汽车
10
40
满意程度评分
满意程度等级
不满意
满意
非常满意