2022-2023学年吉林省长春市实验中学高一下学期期末数学试题含答案

2022-2023学年吉林省长春市实验中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．复数的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.

【详解】,

故的共轭复数为 ，

故选：B

2．已知27名女生身高的数据排序如下：

148.0  149.0  154.0  154.0  155.0  155.0  155.5  157.0  157.0

158.0  158.0  159.0  161.0  161.0  162.0  162.5   162.5  163.0   

163.0  164.0  164.0  164.0  165.0  170.0  171.0  172.0  172.0

则第三四分位数是（    ）

A．155.0 B．155.5 C．161.0 D．164.0

【答案】D

【分析】根据百分位数的定义计算即可.

【详解】因为，

所以第三四分位数是第个数，即为.

故选：D.

3．一个三棱柱容器中盛有水，侧棱，若侧面如图2水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】当底面水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，不必求三角形的面积．

【详解】不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图

当侧面水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．

设的面积为，则，

．

当底面水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为，则有，

，．

故当底面水平放置时，水面高为6．

故选：C.

4．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由向量加法的性质可得为的中点，又由，分析可得为正三角形，则有，结合投影向量的计算公式计算可得答案．

【详解】根据题意，若，则为的中点，故边为圆的直径，

又由，则为正三角形，则有，

则向量在向量上的投影向量,

故选：A．

5．在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为，卫星高度角为，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】直接利用直角三角形的定义的应用求出结果．

【详解】解：如图所示，设，，

由于，

所以在中，．

在中，，

所以，解得，

所以

故选：B．

【点睛】本题考查解三角形的应用，本题是直角三角形，只要利用直角三角形中边角关系即可求解．

6．下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率．你认为游戏对甲乙两人公平的有几个（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式分别计算三个游戏中甲获胜的概率，根据甲乙对应的概率是否相等判断游戏的公平性.

【详解】游戏1中，甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为；

游戏2中，设红球为，白球为，

则依次取2个球共有种，

其中两个球同色有共种，

故甲获胜的视率为，则乙获胜的概率为；

游戏3中，设红球为，白球为，

则依次取2个球共有种，

其中两个球同色有共种，

甲获胜的概率为，则乙获胜的概率为，

所以游戏对甲乙两人公平的有游戏1和游戏3共个.

故选：C.

7．在平面直角坐标系中，，，O为坐标原点，则（    ）

A． B．

C．3 D．

【答案】C

【分析】先根据数量积及模求出，再根据三角形得面积公式即可得解.

【详解】由，，

得，，

则，，

则，

又，所以，

所以.

故选：C.

8．矩形的一边，沿对角线折起，使得二面角为直二面角，此时三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设矩形的另一边，根据直二面角与三棱锥，列方程可求得的值，再根据球的定义，确定三棱锥外接球球心的位置与半径的大小，即可得得球的表面积.

【详解】如图，过作于，取中点为，连接，

设矩形的另一边，则，

因为二面角为直二面角，所以平面平面，

又平面平面，，平面，

所以平面，则，

又，所以，

则，

整理得，解得或（舍），所以或（舍），即有．

因为为中点，所以，

则为三棱锥的外接球的球心，球的半径，

则球的表面积为.

故选：B.

二、多选题

9．在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列命题中是真命题的选项为（    ）

A． B．

C． D．与平面所成角为

【答案】ABC

【分析】取的中点，连接，证明，平面，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可判断ABC；易得即为与平面所成角得平面角，即可判断D.

【详解】取的中点，连接，

因为，所以，

因为为的中点，所以且，

又为棱的中点，则且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面，平面，所以，

又平面，

所以平面，

所以平面，

又平面，

所以，故AC正确；

因为，所以，故B正确；

由直三棱柱，得线段在平面投影在直线上，

故即为与平面所成角得平面角，

而的大小不能确定，故无法确定与平面所成角的大小，故D错误.

故选：ABC.

10．已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】先根据平面向量线性运算得坐标表示求出，再根据模的坐标公式即可判断A；根据平面向量共线的坐标公式即可判断B；根据夹角的坐标公式即可判断C；根据数量积的坐标公式即可判断D.

【详解】因为，，

所以，，

则，故A错误；

因为，所以，故B正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

11．某中学共有1000名学生，其中初中生600人，身高的平均数为160，方差为100，高中生400人，身高的平均数为170，方差为200，则下列说法正确的是（    ）

A．该中学所有学生身高的平均数为164 B．该中学所有学生身高的平均数为162

C．该中学所有学生身高的方差为162 D．该中学所有学生身高的方差为164

【答案】AD

【分析】根据平均数和方差的概念，结合计算公式求得结果即可.

【详解】由题意得，所求平均数为，故A正确，B错误；

，故D正确，C错误.

故选：AD.

12．已知菱形ABCD的边长为2，，将沿AC翻折为三棱锥P－ABC，点P为翻折过程中点D的位置，则下列结论正确的是（    ）

A．无论点P在何位置，总有

B．点P存在两个位置，使得成立

C．当时，M为PB上一点，则的最小值为

D．当时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为

【答案】ABD

【分析】取的中点，证明平面判断A；求出三棱锥体积的最大值即可判断B；把展开在同一平面内，借助两点间线段长最短判断C；由题意确定点的位置，再借助等体积法求解判断D作答.

【详解】对于A，依题意，都是正三角形，

取的中点，连接，

则，又平面，

于是平面，又平面，因此，故A正确；

对于B，由选项A知，平面，，

因为平面，所以，又因为平面，

平面，平面平面，

所以是二面角的平面角，

，

当且仅当时取等号，此时平面，

则三棱锥体积的最大值为，

所以点P存在两个位置，使得成立，故B正确；

对于C，当时，三棱锥为正四面体，

将展开在同一平面内，如图，

显然四边形为菱形，，

当三点共线时，取得最小值，故C错误；

对于D，当时，，所以，

又平面，

所以平面，

等腰的面积为，

设点到平面的距离为，

由，得，解得，

设直线与平面所成的角为，则，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】1.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.

三、填空题

13．甲乙两名学生进行射击比赛，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5．则两人都中靶的概率为      ．

【答案】/

【分析】根据相互独立事件的乘法公式即可得解.

【详解】由题意，两人都中靶的概率为.

故答案为：.

14．抛两枚均匀的骰子，结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为      ．

【答案】

【分析】对两枚骰子进行区分，再根据古典概型利用列举法即可得解.

【详解】对两枚骰子进行区分，则共有种，

其中“至少有一个向上数字是6点”有

共种，

则结果“至少有一个向上数字是6点”的概率为.

故答案为：.

15．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则      ．

【答案】

【分析】利用正弦定理化边为角，再利用三角形内角和定理结合两角和的正余弦公式化简求出，即可得解.

【详解】由已知，

由正弦定理得，

又，

∴，

整理得，又，则，

∴，即，

于是，∴，

又，∴，∴，，

所以.

故答案为：.

16．下列命题①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直；②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行；③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直；④过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；⑤过直线外一点，有且只有一个直线与这条直线平行，其中真命题的序号为      （将所有正确的序号都写上）．

【答案】①③⑤

【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐项判断即可.

【详解】过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，故①正确；

过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行，故②不正确；

过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，故③正确；

过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故④不正确；

过直线外一点，有且只有一个直线与这条直线平行，故⑤正确.

故答案为：①③⑤.

四、解答题

17．“2023长春马拉松”于2023年5月21日举办，为让更多的人了解马拉松运动项目，某中学举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)试根据频率分布直方图求出这100名学生中成绩低于60分的人数；

(2)试估计这100名学生的平均成绩；

(3)若成绩的前15%获得奖励，李华同学成绩为83分，试估计他是否能获得奖励？

【答案】(1)18人

(2)分

(3)成绩在,内至少有15人成绩不超过分时，则李华能获得奖励，否则李华不能获得奖励.

【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可得解；

（2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式求解即可；

（3）分析成绩的前15%的最低成绩在区间,内，根据李华的得分即可判断李华同学是否获得奖励．

【详解】（1）由频率分布直方图中的数据可知，成绩低于60分的人数为：人，

（2）平均成绩（分）；

（3）成绩小于80的频率为，共名，

成绩在,的频率为，共名，

因为，

所以这100名学生成绩的前15%的最低成绩在,内，

由于，李华同学成绩为83分，要想获得奖励，则李华的成绩从小到大得排86位，

若成绩在,内至少有15人成绩不超过分时，则李华能获得奖励，否则李华不能获得奖励.

18．在中，角的对边分别为，，，．

(1)求；

(2)设D为BC边上一点，且，求的面积；

(3)求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积和三角形得面积公式求出，进而可求得，再利用余弦定理即可得解；

（2）先利用余弦定理求出角，进而可求得，再根据三角形的面积公式即可得解；

（3）先利用余弦定理求出角，根据二倍角的正余弦公式求出，再根据两角和的正弦公式即可得解.

【详解】（1），则，

，

所以，又，所以，

则，所以，

由余弦定理得，

所以；

（2）由余弦定理得，

又，所以，

因为，所以，

所以；

（3）由余弦定理得，

又，所以，

由（2）得，

故.

19．甲乙丙三人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为．

(1)当时，求三人中恰好两个人成功破译的概率；

(2)设事件“密码被三人中恰好一人成功破译”，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式即可得解；

（2）根据相互独立事件的乘法公式结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）当时，

三人中恰好两个人成功破译的概率为；

（2），

当时，的最大值为．

20．正四棱台，，AB＝4，．

(1)求异面直线，BC所成的角的余弦值；

(2)求正四棱台的体积；

(3)求点到平面的距离．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据异面直线的定义确定异面直线的夹角，结合余弦定理求解即可得夹角余弦值；

（2）根据四棱台的几何性质分别求解侧面高度与四棱台高度，再根据体积公式即可得正四棱台的体积；

（3）利用三棱锥等体积转化法求解点到平面的距离即可.

【详解】（1）连接

因为正四棱台，所以，且，，

所以为异面直线，BC所成的角或其补角

在等腰梯形中，由余弦定理得

所以，解得

所以，即异面直线，BC所成的角的余弦值为；

（2）因为正四棱台的上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，

则上底面面积，下底面面积

侧棱长为，侧面是全等的等腰梯形，

所以侧面的高为，

所以此正四棱台的高为

所以此正四棱台的体积为；

（3）连接

正四棱台中，四边形与为全等的等腰梯形，

由（1）可得，所以

由于，所以

则

又

设点到平面的距离为，所以

则，即，所以点到平面的距离为.

21．如图，A，B是某海城位于南北方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B点南偏东的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距100海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为80海里/时.

(1)求B，C两点间的距离；

(2)该救援船前往营救渔船时应该沿南偏东多少度的方向航行？救援船到达C处需要多长时间？（参考数据：，角度精确到0.01）

【答案】(1)60海里

(2)方向是南偏东，需要的时间为小时.

【分析】（1）求得度数，根据正弦定理即可求得答案；

（2）确定的度数，由余弦定理即可求得的长，即可求得救援时间，利用余弦定理求出的值，即可求得应该沿南偏东多少度的方向航行.

【详解】（1）依题意得，，

所以，

在中，由正弦定理得,

,

故（海里），

所以求两点间的距离为60海里.

（2）依题意得，

在中，由余弦定理得，

所以（海里），

所以救搜船到达C处需要的时间为小时，

在中，由余弦定理得 ,

因为，

所以，

所以该救援船前往营救渔船时的方向是南偏东﹒

22．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．

(1)求证：平面；

(2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值；

(3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)存在，

【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；

（2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案；

（3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出.

【详解】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点，

所以，

因为，面面，面面，面，

所以面，

又面，所以，

又平面，

所以平面；

（2）取的中点，的中点，连接，

则且，，

故，

因为面面，面面，面，

所以面，

因为面，所以，

又平面，所以平面，

又平面，所以，

则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，

设，则，故，

所以，

即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为；

（3）当面时，平面平面，证明如下：

如图，连接交于点，连接，

因为底面是正方形，所以，

由（2）得面，

因为面，所以，

因为面时，，所以，

又平面，

所以平面，

又平面，所以平面平面，

因为，所以，

因为，所以，

所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.

【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：

（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：

①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；

（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.