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陕西省西安市雁塔区高新一中2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷
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这是一份陕西省西安市雁塔区高新一中2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
陕西省西安市雁塔区高新一中2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）的平方根为（ ）
A．± B． C．﹣ D．±
3．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（3a）2＝6a2 B．2a•3a＝6a2 C．x3÷x2＝x D．﹣x+2x＝x
5．（3分）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
6．（3分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．（3分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
8．（3分）如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C．汽车返回时的速度为80千米/时
D．汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度不变
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
10．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若AD＝6，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．80
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）下列各数中：12，，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有 个．
12．（3分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，则∠A＝ °．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝5cm，BC＝7cm，点P是线段BC上一个动点，由B向C以2cm/s移动，运动至点C停止，则△APC的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为 ．
14．（3分）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就，如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，一个小球在如图所示的地面上自由滚动（小球大小不记），则小球停留在空白区域的概率是 ．
15．（3分）如图，圆柱形玻璃容器高13cm，底面周长为24cm．在容器外壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP＝5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）计算：
（1）（2023﹣π）0﹣（）2+（﹣）﹣1；
（2）（2mn2）3•n2÷（16m3n3）．
19．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣2x（x﹣3y）+（x﹣y）2，其中，y＝﹣3．
20．（6分）如图，已知线段a，∠α．请利用尺规作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠α，．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC＝EF．
22．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601
（1）上表中的a＝ ，b＝ ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
23．（9分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
（2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路CH比原路CA少多少千米．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长．
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE，且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，若BC＝2，则FD的长为 ；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：AG＝3CG；
（3）如图3，E点在CB的延长线上，连接BF与直线AC交于G点．若，请直接写出AG和CG的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）的平方根为（ ）
A．± B． C．﹣ D．±
【分析】利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：的平方根为，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的意义解答是解题的关键．
3．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
【分析】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
【解答】解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∠CED＝∠α＝43°，
∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣43°＝47°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．关键是延长BC，构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解．
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（3a）2＝6a2 B．2a•3a＝6a2 C．x3÷x2＝x D．﹣x+2x＝x
【分析】利用积的乘方运算可判断A，利用单项式乘单项式可判断B，由同底数幂的除法可判断C，由合并同类项可判断D，从而可得答案．
【解答】解：（3a）2＝9a2，故A符合题意；
2a•3a＝6a2，运算正确，故B不符合题意；
x3÷x2＝x，运算正确，故C不符合题意；
﹣x+2x＝x，运算正确，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂的除法运算，合并同类项，掌握以上基础知识是解本题的关键．
5．（3分）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A不符合题意；
B、诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故B不符合题意；
C、成语“守株待兔”是随机事件，故C符合题意；
D、成语“水中捞月”是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（3分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，由于∠ACB＝∠DCE，根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”方法是解题的关键．
7．（3分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和及勾股定理可进行求解．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，即a2＝c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则有a2+b2＝25x2＝c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，所以3k+4k+5k＝180°，解得k＝15°，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，所以不能判定△ABC是直角三角形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．（3分）如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C．汽车返回时的速度为80千米/时
D．汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度不变
【分析】横轴代表时间，纵轴代表行驶的路程，据此判断相应的路程和时间即可．
【解答】解：A、由图象可以看出，最远处到达距离出发地120千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为240千米，错误，不符合题意；
B、平均速度为总路程÷总时间，总路程为240千米，总时间为4.5小时，所以平均速度为240÷4.5≈53千米/时，故错误，不符合题意；
C、汽车返回所用的时间是1.5小时，则平均速度为：＝80（千米/时），正确，符合题意；
D、汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；用到的知识点为：平均速度＝总路程÷总时间．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【分析】根据EF垂直平分AC，得出AF＝CF＝5，在Rt△AEF中，由勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，EF垂直平分AC，
∴AE＝CE＝AC＝3，
∵BF＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
∴AF＝CF＝5，
在Rt△AEF中，
EF＝，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若AD＝6，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．80
【分析】过点P作PE⊥BC于点E，根据平行线的性质证AD⊥CD，再根据角平分线的性质得出PE＝PD＝AP＝3，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于点E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝6，
∴PE＝PD＝AP＝3，
∵BC＝10，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）下列各数中：12，，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有 3 个．
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【解答】解：在12，，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）中，
，，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）是无理数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
12．（3分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，则∠A＝ 40 °．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，
∴∠C是顶角，
∴∠A＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟悉相关的性质和定理．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝5cm，BC＝7cm，点P是线段BC上一个动点，由B向C以2cm/s移动，运动至点C停止，则△APC的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为 S＝﹣5x+（0≤x≤） ．
【分析】根据S＝S△ABC﹣S△ABP建立两个变量间的关系，整理后表明自变量范围即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，且AD＝5cm，BC＝7cm，
∴S△ABC＝BC•AD＝；S△ABP＝BP•AD＝×2x×5＝5x；
∴S＝S△ABC﹣S△ABP＝﹣5x，
∴函数关系式为：S＝﹣5x+（0≤x≤）．
故答案为：S＝﹣5x+（0≤x≤）．
【点评】本题考查了函数关系式的建立，建立函数关系式时，要注意自变量的实际取值范围．
14．（3分）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就，如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，一个小球在如图所示的地面上自由滚动（小球大小不记），则小球停留在空白区域的概率是 ．
【分析】根据勾股定理可求出大正方形的面积，进而可得中间空白部分的面积，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可得：大正方形的边长即为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边，
所以大正方形的面积＝12+22＝5，
中间空白部分的面积＝，
∴小球停留在空白区域的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理和几何概率，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．
15．（3分）如图，圆柱形玻璃容器高13cm，底面周长为24cm．在容器外壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 15 cm．
【分析】根据题意得到圆柱体的侧面展开图，确定A，B的位置，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：圆柱体侧面展开图如下：
由题意知：AE＝1cm，BD＝3cm，CD＝13cm，
过点A作AF⊥CD，
∴AE＝CF＝1cm，
∴BF＝9cm，
∵底面周长为24cm，
∴AF＝CE＝12cm，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，根据勾股定理，得：AF2+BF2＝AB2，
∴122+92＝AB2，
∴AB＝15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键，同时还考查了创造性思维．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 2或3 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则 BP＝2t，CP＝8﹣2t，
∵∠B＝∠C，
∴当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣2t，
解得 t＝1，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点 Q 的运动速度为 2÷1＝2 （厘米/秒），
（2）当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，2t＝8﹣2t，
解得t＝2，
∴点Q的运动速度为6÷2＝3 （厘米/秒），
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP＝5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 13 ．
【分析】作点P关于AB的对称点P′，连接CP′，交AD于点N′，交AB于点M′，连接PM′，BN′，连接AP′，根据等边三角形的性质得出AC＝AB，∠BAC＝60°，根据三线合一得出AD⊥BC，，证明AD垂直平分BC，得出BN′＝CN′，根据轴对称的性质得出AP′＝AP＝5，PM′＝P′M′，∠P′AB＝∠DAB＝30°，证明△ACP′为直角三角形，得出，根据PM′+M′N′+BN′＝P′M′+M′N′+CN′＝P′C，由两点之间线段最短，得出当点M在M′处，点N在N′处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P′C的长度，即最小值为13．
【解答】解：作点P关于AB的对称点P′，连接CP′，交AD于点N′，交AB于点M′，连接PM′，BN′，连接AP′，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，，
∴AD垂直平分BC，
∴BN′＝CN′，
∵点P关于AB的对称点为P′，
∴AP′＝AP＝5，PM′＝P′M′，∠P′AB＝∠DAB＝30°，
∴∠P′AC＝60°+30°＝90°，
∴△ACP′为直角三角形，
∴，
∴PM′+M′N′+BN′＝P′M′+M′N′+CN′＝P′C，
∵两点之间线段最短，
∴当点M在M′处，点N在N′处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P′C的长度，即最小值为13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）计算：
（1）（2023﹣π）0﹣（）2+（﹣）﹣1；
（2）（2mn2）3•n2÷（16m3n3）．
【分析】（1）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、平方根的性质分别计算，再算加减法即可；
（2）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则和单项式除法法则计算即可；
【解答】解：（1）
＝1﹣3﹣2
＝﹣4．
（2）（2mn2）3⋅n2÷（16m3n3）
＝8m3n6⋅n2÷（16m3n3）
＝8m3n8÷（16m3n3）
＝．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣2x（x﹣3y）+（x﹣y）2，其中，y＝﹣3．
【分析】先将题中所给整式进行化简，再将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣2x2+6xy+x2﹣2xy+y2
＝4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
4xy＝4××（﹣3）＝﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算与化简求值，正确运用乘法公式是解题的关键．
20．（6分）如图，已知线段a，∠α．请利用尺规作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠α，．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作射线BM，在BM上截取线段BC，使BC＝a，再作∠B＝∠α，然后作，最后连接AC，即可得到符合要求的图形．
【解答】解：先作射线BM，在BM上截取线段BC，使BC＝a，再作∠B＝∠α，在BN上截取线段BQ，使BQ＝a，然后作BQ的垂直平分线，交BN于A点，则，最后连接AC，即可得到符合要求的图形．
如图所示，
【点评】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握．
21．（8分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC＝EF．
【分析】根据平行线的性质可得∠A＝∠D，进而证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601
（1）上表中的a＝ 0.58 ，b＝ 118 ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 0.6 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【解答】解：（1）a＝58÷100＝0.58，b＝200×0.59＝118，
故答案为：0.58，118；
（2）由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3）15÷0.6﹣15＝10（个），
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（9分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
（2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路CH比原路CA少多少千米．
【分析】（1）由勾股定理逆定理证得△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，即可得到CH为村庄C到河边最近的道路；
（2）利用勾股定理求出CA的长度，即可得到CH比原路CA少的长度．
【解答】解：（1）CH为村庄C到河边最近的道路，
理由如下：∵CH＝3，HB＝2，，
∴CH2+HB2＝CB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为村庄C到河边最近的道路；
（2）在Rt△ACH中，∵千米，CH＝3千米，
∴（千米）
∵（千米），
∴新路CH比原路CA少0.25千米．
【点评】此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确掌握勾股定理，正确理解题意掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥PD，理由如下：
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠A，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝90°
∴DE⊥PD；
（2）连接PE，如图所示：
∵AC＝10，BC＝12，PA＝3，
∴CP＝AC﹣PA＝7，PD＝PA＝3，
设DE＝BE＝x，则CE＝12﹣x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝72+（12﹣x）2，
在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝32+x2，
∴72+（12﹣x）2＝32+x2
解得，
∴．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE，且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，若BC＝2，则FD的长为 2 ；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：AG＝3CG；
（3）如图3，E点在CB的延长线上，连接BF与直线AC交于G点．若，请直接写出AG和CG的数量关系．
【分析】（1）通过“AAS”证明△ADF≌△ECA即可得到FD＝AC＝BC＝2；
（2）如图，过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据（1）中结论可得FD＝AC＝BC，即可证明△FGD≌△BGC，可得DG＝CG，即可解题；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG＝GD，AD＝CE，即可求得的值，即可解题．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵FD⊥AC，
∴∠FDA＝∠ACE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝∠DAF，
在△ADF和△ECA中，
，
∴△ADF≌△ECA（AAS），
∴FD＝AC＝BC＝2，
故答案为：2；
（2）证明：如图，连接BC，
∵△ADF≌△ECA，
∴FD＝AC＝BC，AD＝EC，
∵E点为BC中点，
∴EC＝EB，
∴AD＝DC，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴GD＝CG，
∴AD＝CD＝2CG，
∴AG＝AD+GD＝3CG．
（3）解：过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3所示，\
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG＝GD，AD＝CE，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，本题中求证△ADF≌△ECA、△GDF≌△GCB是解题的关键．
陕西省西安市雁塔区高新一中2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）的平方根为（ ）
A．± B． C．﹣ D．±
3．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（3a）2＝6a2 B．2a•3a＝6a2 C．x3÷x2＝x D．﹣x+2x＝x
5．（3分）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
6．（3分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．（3分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
8．（3分）如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C．汽车返回时的速度为80千米/时
D．汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度不变
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
10．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若AD＝6，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．80
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）下列各数中：12，，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有 个．
12．（3分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，则∠A＝ °．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝5cm，BC＝7cm，点P是线段BC上一个动点，由B向C以2cm/s移动，运动至点C停止，则△APC的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为 ．
14．（3分）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就，如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，一个小球在如图所示的地面上自由滚动（小球大小不记），则小球停留在空白区域的概率是 ．
15．（3分）如图，圆柱形玻璃容器高13cm，底面周长为24cm．在容器外壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP＝5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 ．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）计算：
（1）（2023﹣π）0﹣（）2+（﹣）﹣1；
（2）（2mn2）3•n2÷（16m3n3）．
19．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣2x（x﹣3y）+（x﹣y）2，其中，y＝﹣3．
20．（6分）如图，已知线段a，∠α．请利用尺规作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠α，．（保留作图痕迹，不写作法）
21．（8分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC＝EF．
22．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601
（1）上表中的a＝ ，b＝ ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
23．（9分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
（2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路CH比原路CA少多少千米．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长．
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE，且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，若BC＝2，则FD的长为 ；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：AG＝3CG；
（3）如图3，E点在CB的延长线上，连接BF与直线AC交于G点．若，请直接写出AG和CG的数量关系．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．（3分）的平方根为（ ）
A．± B． C．﹣ D．±
【分析】利用平方根的意义解答即可．
【解答】解：的平方根为，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的意义解答是解题的关键．
3．（3分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是（ ）
A．43° B．47° C．30° D．60°
【分析】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
【解答】解：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∠CED＝∠α＝43°，
∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣43°＝47°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质．关键是延长BC，构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解．
4．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．（3a）2＝6a2 B．2a•3a＝6a2 C．x3÷x2＝x D．﹣x+2x＝x
【分析】利用积的乘方运算可判断A，利用单项式乘单项式可判断B，由同底数幂的除法可判断C，由合并同类项可判断D，从而可得答案．
【解答】解：（3a）2＝9a2，故A符合题意；
2a•3a＝6a2，运算正确，故B不符合题意；
x3÷x2＝x，运算正确，故C不符合题意；
﹣x+2x＝x，运算正确，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂的除法运算，合并同类项，掌握以上基础知识是解本题的关键．
5．（3分）从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ）
A．诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B．诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C．成语“守株待兔”是随机事件
D．成语“水中捞月”是随机事件
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A不符合题意；
B、诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故B不符合题意；
C、成语“守株待兔”是随机事件，故C符合题意；
D、成语“水中捞月”是不可能事件，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．（3分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，由△ABC和△DEC全等得到DE＝AB．那么判定其全等的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由题意知AC＝DC，BC＝EC，由于∠ACB＝∠DCE，根据“SAS”即可证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DCE≌△ABC（SAS）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“SAS”方法是解题的关键．
7．（3分）在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2
C．a：b：c＝3：4：5 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据三角形内角和及勾股定理可进行求解．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，能判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
B、∵（a+b）（a﹣b）＝c2，∴a2﹣b2＝c2，即a2＝c2+b2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，则有a2+b2＝25x2＝c2，根据勾股定理逆定理可判定△ABC是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5可设∠A＝3k，∠B＝4k，∠C＝5k，所以3k+4k+5k＝180°，解得k＝15°，则∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，所以不能判定△ABC是直角三角形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．（3分）如图，图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是（ ）
A．汽车共行驶了120千米
B．汽车在整个行驶过程中平均速度为40千米
C．汽车返回时的速度为80千米/时
D．汽车自出发后1.5小时至2小时之间速度不变
【分析】横轴代表时间，纵轴代表行驶的路程，据此判断相应的路程和时间即可．
【解答】解：A、由图象可以看出，最远处到达距离出发地120千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为240千米，错误，不符合题意；
B、平均速度为总路程÷总时间，总路程为240千米，总时间为4.5小时，所以平均速度为240÷4.5≈53千米/时，故错误，不符合题意；
C、汽车返回所用的时间是1.5小时，则平均速度为：＝80（千米/时），正确，符合题意；
D、汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不变，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；用到的知识点为：平均速度＝总路程÷总时间．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，点E在AC上，EF垂直平分AC，交AB于F，BF＝1，则EF的长为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【分析】根据EF垂直平分AC，得出AF＝CF＝5，在Rt△AEF中，由勾股定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝6，EF垂直平分AC，
∴AE＝CE＝AC＝3，
∵BF＝1，
∴AF＝AB﹣BF＝6﹣1＝5，
∴AF＝CF＝5，
在Rt△AEF中，
EF＝，
故选：A．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直，若AD＝6，BC＝10，则△BCP的面积为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．80
【分析】过点P作PE⊥BC于点E，根据平行线的性质证AD⊥CD，再根据角平分线的性质得出PE＝PD＝AP＝3，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：过点P作PE⊥BC于点E，
∵AB∥CD，
∴∠BAP+∠CDP＝180°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∴∠CDP＝90°，即AD⊥CD，
∵PE⊥BC，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PA＝PE，PE＝PD，
∴PA＝PD，
∵AD＝6，
∴PE＝PD＝AP＝3，
∵BC＝10，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11．（3分）下列各数中：12，，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有 3 个．
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【解答】解：在12，，，，﹣|﹣1|，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）中，
，，0.1010010001…（每两个1之间的0依次加1）是无理数，共3个，
故答案为：3．
【点评】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
12．（3分）△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，则∠A＝ 40 °．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C＝100°，
∴∠C是顶角，
∴∠A＝（180°﹣100°）÷2＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟悉相关的性质和定理．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD＝5cm，BC＝7cm，点P是线段BC上一个动点，由B向C以2cm/s移动，运动至点C停止，则△APC的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为 S＝﹣5x+（0≤x≤） ．
【分析】根据S＝S△ABC﹣S△ABP建立两个变量间的关系，整理后表明自变量范围即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，且AD＝5cm，BC＝7cm，
∴S△ABC＝BC•AD＝；S△ABP＝BP•AD＝×2x×5＝5x；
∴S＝S△ABC﹣S△ABP＝﹣5x，
∴函数关系式为：S＝﹣5x+（0≤x≤）．
故答案为：S＝﹣5x+（0≤x≤）．
【点评】本题考查了函数关系式的建立，建立函数关系式时，要注意自变量的实际取值范围．
14．（3分）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就，如图，由4个直角边分别是1和2的直角三角形拼成一个“弦图”地面，一个小球在如图所示的地面上自由滚动（小球大小不记），则小球停留在空白区域的概率是 ．
【分析】根据勾股定理可求出大正方形的面积，进而可得中间空白部分的面积，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可得：大正方形的边长即为直角边分别是1和2的直角三角形的斜边，
所以大正方形的面积＝12+22＝5，
中间空白部分的面积＝，
∴小球停留在空白区域的概率是；
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理和几何概率，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．
15．（3分）如图，圆柱形玻璃容器高13cm，底面周长为24cm．在容器外壁距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底3cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 15 cm．
【分析】根据题意得到圆柱体的侧面展开图，确定A，B的位置，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：圆柱体侧面展开图如下：
由题意知：AE＝1cm，BD＝3cm，CD＝13cm，
过点A作AF⊥CD，
∴AE＝CF＝1cm，
∴BF＝9cm，
∵底面周长为24cm，
∴AF＝CE＝12cm，
在Rt△ABF中，∠AFB＝90°，根据勾股定理，得：AF2+BF2＝AB2，
∴122+92＝AB2，
∴AB＝15cm，
故答案为：15．
【点评】本题考查了最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键，同时还考查了创造性思维．
16．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝13厘米，∠B＝∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为 2或3 厘米/秒时，能够使△BPE与△CQP全等．
【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．
【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则 BP＝2t，CP＝8﹣2t，
∵∠B＝∠C，
∴当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，
此时，6＝8﹣2t，
解得 t＝1，
∴BP＝CQ＝2，
此时，点 Q 的运动速度为 2÷1＝2 （厘米/秒），
（2）当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，
此时，2t＝8﹣2t，
解得t＝2，
∴点Q的运动速度为6÷2＝3 （厘米/秒），
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，AC＝12，AD是BC边上的中线，点P是AD上一点，且AP＝5．如果点M、N分别是AB和AD上的动点，那么PM+MN+NB的最小值为 13 ．
【分析】作点P关于AB的对称点P′，连接CP′，交AD于点N′，交AB于点M′，连接PM′，BN′，连接AP′，根据等边三角形的性质得出AC＝AB，∠BAC＝60°，根据三线合一得出AD⊥BC，，证明AD垂直平分BC，得出BN′＝CN′，根据轴对称的性质得出AP′＝AP＝5，PM′＝P′M′，∠P′AB＝∠DAB＝30°，证明△ACP′为直角三角形，得出，根据PM′+M′N′+BN′＝P′M′+M′N′+CN′＝P′C，由两点之间线段最短，得出当点M在M′处，点N在N′处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P′C的长度，即最小值为13．
【解答】解：作点P关于AB的对称点P′，连接CP′，交AD于点N′，交AB于点M′，连接PM′，BN′，连接AP′，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，，
∴AD垂直平分BC，
∴BN′＝CN′，
∵点P关于AB的对称点为P′，
∴AP′＝AP＝5，PM′＝P′M′，∠P′AB＝∠DAB＝30°，
∴∠P′AC＝60°+30°＝90°，
∴△ACP′为直角三角形，
∴，
∴PM′+M′N′+BN′＝P′M′+M′N′+CN′＝P′C，
∵两点之间线段最短，
∴当点M在M′处，点N在N′处时，PM+MN+NB最小，且最小值为P′C的长度，即最小值为13．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．
三、解答题（共8小题，计69分）
18．（10分）计算：
（1）（2023﹣π）0﹣（）2+（﹣）﹣1；
（2）（2mn2）3•n2÷（16m3n3）．
【分析】（1）先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、平方根的性质分别计算，再算加减法即可；
（2）先算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则和单项式除法法则计算即可；
【解答】解：（1）
＝1﹣3﹣2
＝﹣4．
（2）（2mn2）3⋅n2÷（16m3n3）
＝8m3n6⋅n2÷（16m3n3）
＝8m3n8÷（16m3n3）
＝．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣2x（x﹣3y）+（x﹣y）2，其中，y＝﹣3．
【分析】先将题中所给整式进行化简，再将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣y2﹣2x2+6xy+x2﹣2xy+y2
＝4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
4xy＝4××（﹣3）＝﹣4．
【点评】本题考查整式的混合运算与化简求值，正确运用乘法公式是解题的关键．
20．（6分）如图，已知线段a，∠α．请利用尺规作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠α，．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作射线BM，在BM上截取线段BC，使BC＝a，再作∠B＝∠α，然后作，最后连接AC，即可得到符合要求的图形．
【解答】解：先作射线BM，在BM上截取线段BC，使BC＝a，再作∠B＝∠α，在BN上截取线段BQ，使BQ＝a，然后作BQ的垂直平分线，交BN于A点，则，最后连接AC，即可得到符合要求的图形．
如图所示，
【点评】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握．
21．（8分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，AF＝DC，AB∥DE，AB＝DE，求证：BC＝EF．
【分析】根据平行线的性质可得∠A＝∠D，进而证明△ABC≌△DEF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．（8分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601
（1）上表中的a＝ 0.58 ，b＝ 118 ；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是 0.6 （精确到0.1）；
（3）如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【解答】解：（1）a＝58÷100＝0.58，b＝200×0.59＝118，
故答案为：0.58，118；
（2）由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3）15÷0.6﹣15＝10（个），
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23．（9分）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路AC因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路CH，已知千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是否为村庄C到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
（2）已知新的取水点H与原取水点A相距千米，求新路CH比原路CA少多少千米．
【分析】（1）由勾股定理逆定理证得△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，即可得到CH为村庄C到河边最近的道路；
（2）利用勾股定理求出CA的长度，即可得到CH比原路CA少的长度．
【解答】解：（1）CH为村庄C到河边最近的道路，
理由如下：∵CH＝3，HB＝2，，
∴CH2+HB2＝CB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为村庄C到河边最近的道路；
（2）在Rt△ACH中，∵千米，CH＝3千米，
∴（千米）
∵（千米），
∴新路CH比原路CA少0.25千米．
【点评】此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确掌握勾股定理，正确理解题意掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键．
24．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝10，BC＝12，PA＝3，求线段DE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝ED，于是得到结论；
（2）连接PE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）DE⊥PD，理由如下：
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠A，
∵EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝90°
∴DE⊥PD；
（2）连接PE，如图所示：
∵AC＝10，BC＝12，PA＝3，
∴CP＝AC﹣PA＝7，PD＝PA＝3，
设DE＝BE＝x，则CE＝12﹣x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理，得PE2＝72+（12﹣x）2，
在Rt△PDE中，根据勾股定理，得PE2＝32+x2，
∴72+（12﹣x）2＝32+x2
解得，
∴．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
25．（12分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE，且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，若BC＝2，则FD的长为 2 ；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若E点为BC中点，求证：AG＝3CG；
（3）如图3，E点在CB的延长线上，连接BF与直线AC交于G点．若，请直接写出AG和CG的数量关系．
【分析】（1）通过“AAS”证明△ADF≌△ECA即可得到FD＝AC＝BC＝2；
（2）如图，过F点作FD⊥AC交AC于D点，根据（1）中结论可得FD＝AC＝BC，即可证明△FGD≌△BGC，可得DG＝CG，即可解题；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，可得CG＝GD，AD＝CE，即可求得的值，即可解题．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵FD⊥AC，
∴∠FDA＝∠ACE＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∴∠CEA＝∠DAF，
在△ADF和△ECA中，
，
∴△ADF≌△ECA（AAS），
∴FD＝AC＝BC＝2，
故答案为：2；
（2）证明：如图，连接BC，
∵△ADF≌△ECA，
∴FD＝AC＝BC，AD＝EC，
∵E点为BC中点，
∴EC＝EB，
∴AD＝DC，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴GD＝CG，
∴AD＝CD＝2CG，
∴AG＝AD+GD＝3CG．
（3）解：过F作FD⊥AG的延长线交于点D，如图3所示，\
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG＝GD，AD＝CE，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，本题中求证△ADF≌△ECA、△GDF≌△GCB是解题的关键．
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