2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市雁塔区高新一中七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连”，我国民间流传有许多“节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的平方根为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是(    )

A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件
C. 成语“守株待兔”是随机事件
D. 成语“水中捞月”是随机事件

6.  如图，要测池塘两端，的距离，小明先在地上取一个可以直接到达和的点，连接并延长到，使；连接并延长到，使，由和全等得到那么判定其全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在中，，，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是(    )

A.  B.
C. ：：：： D. ：：：：

8.  如图，图象折线描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离千米和行驶时间小时之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的说法是(    )

A. 汽车共行驶了千米
B. 汽车在整个行驶过程中平均速度为千米
C. 汽车返回时的速度为千米时
D. 汽车自出发后小时至小时之间速度不变

9.  如图，在中，，点在上，垂直平分，交于，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，，和分别平分和，过点且与垂直，若，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  下列各数中：，，，，，每两个之间的依次加，其中无理数有______ 个

12.  是等腰三角形，，则 ______

13.  如图，在中，，且，，点是线段上一个动点，由向以移动，运动至点停止，则的面积随点的运动时间之间的关系式为______ ．

14.  我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就，如图，由个直角边分别是和的直角三角形拼成一个“弦图”地面，一个小球在如图所示的地面上自由滚动小球大小不记，则小球停留在空白区域的概率是______ ．

15.  如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为在容器外壁距下底的点处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______ ．

16.  如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为的中点如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动当点的运动速度为______ 厘米秒时，能够使与全等．

17.  如图，在等边中，，是边上的中线，点是上一点，且如果点、分别是和上的动点，那么的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：
；
 

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

20.  本小题分
如图，已知线段，请利用尺规作，使，，保留作图痕迹，不写作法

21.  本小题分
已知：如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：．

22.  本小题分
在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复如表是活动进行中的一组统计数据：

上表中的 ______ ， ______ ；
“摸到白球”的概率的估计值是______ 精确到；
如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．

23.  本小题分
如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点在同一条直线上，并新修一条道路，已知千米，千米，千米．
是否为村庄到河边最近的道路，请通过计算加以说明；
已知新的取水点与原取水点相距千米，求新路比原路少多少千米．

24.  本小题分
如图，在中，，点在上运动，点在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，，求线段的长．

25.  本小题分
如图，中，，，点为射线上一动点，连接，作，且．

如图，过点作交于点，若，则的长为______ ；
如图，连接交于点，若点为中点，求证：；
如图，点在的延长线上，连接与直线交于点若，请直接写出和的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

2.【答案】 

【解析】解：的平方根为，
故选：．
利用平方根的意义解答即可．
本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的意义解答是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质．
如图，延长交刻度尺的一边于点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到中，利用三角形的内角和是求解．
【解答】
解：如图，延长交刻度尺的一边于点，

，
，
，，
．

4.【答案】 

【解析】解：，故A符合题意；
，运算正确，故B不符合题意；
，运算正确，故C不符合题意；
，运算正确，故D不符合题意；
故选：．
利用积的乘方运算可判断，利用单项式乘单项式可判断，由同底数幂的除法可判断，由合并同类项可判断，从而可得答案．
本题考查的是积的乘方运算，单项式乘单项式，同底数幂的除法运算，合并同类项，掌握以上基础知识是解本题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：、诗句“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A不符合题意；
B、诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故B不符合题意；
C、成语“守株待兔”是随机事件，故C符合题意；
D、成语“水中捞月”是不可能事件，故D不符合题意；
故选：．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
在和中，
，
≌．
故选：．
由题意知，，由于，根据“”即可证明≌．
此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：、，，，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、，，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由：：：：可设，，，则有，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
D、由：：：：可设，，，所以，解得，则，，，所以不能判定是直角三角形，故符合题意；
故选：．
根据三角形内角和及勾股定理可进行求解．
本题主要考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：、由图象可以看出，最远处到达距离出发地千米处，但又返回原地，所以行驶的路程为千米，错误，不符合题意；
B、平均速度为总路程总时间，总路程为千米，总时间为小时，所以平均速度为千米时，故错误，不符合题意；
C、汽车返回所用的时间是小时，则平均速度为：千米时，正确，符合题意；
D、汽车自出发后小时至小时之间行驶的速度不变，故错误，不符合题意；
故选：．
横轴代表时间，纵轴代表行驶的路程，据此判断相应的路程和时间即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决；用到的知识点为：平均速度总路程总时间．

9.【答案】 

【解析】解：，垂直平分，
，
，
，
，
在中，
，
故选：．
根据垂直平分，得出，在中，由勾股定理解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
，
，
，
，
，即，
，和分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
故选：．

过点作于点，根据平行线的性质证，再根据角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式计算即可．
本题考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：在，，，，，每两个之间的依次加中，
，，每两个之间的依次加是无理数，共个，
故答案为：．
根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．

12.【答案】 

【解析】解：是等腰三角形，，
是顶角，
．
故答案为：．
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是熟悉相关的性质和定理．

13.【答案】 

【解析】解：，且，，
；；
，
函数关系式为：
故答案为：
根据建立两个变量间的关系，整理后表明自变量范围即可．
本题考查了函数关系式的建立，建立函数关系式时，要注意自变量的实际取值范围．

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：大正方形的边长即为直角边分别是和的直角三角形的斜边，
所以大正方形的面积，
中间空白部分的面积，
小球停留在空白区域的概率是；
故答案为：．
根据勾股定理可求出大正方形的面积，进而可得中间空白部分的面积，然后利用概率公式求解即可．
本题考查了勾股定理和几何概率，正确理解题意、掌握求解的方法是关键．

15.【答案】 

【解析】解：圆柱体侧面展开图如下：

由题意知：，，，
过点作，
，
，
底面周长为，
，
在中，，根据勾股定理，得：，
，
，
故答案为：．
根据题意得到圆柱体的侧面展开图，确定，的位置，利用勾股定理即可求解．
本题考查了最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键，同时还考查了创造性思维．

16.【答案】或 

【解析】解：设点运动的时间为秒，则 ，，
，
当，时，与全等，
此时，，
解得 ，
，
此时，点  的运动速度为  厘米秒，
当，时，与全等，
此时，，
解得，
点的运动速度为 厘米秒，
故答案为：或．
分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度．
本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，连接，如图所示：

为等边三角形，
，，
是边上的中线，
，，
垂直平分，
，
点关于的对称点为，
，，，
，
为直角三角形，
，
，
两点之间线段最短，
当点在处，点在处时，最小，且最小值为的长度，即最小值为．
故答案为：．
作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，连接，，连接，根据等边三角形的性质得出，，根据三线合一得出，，证明垂直平分，得出，根据轴对称的性质得出，，，证明为直角三角形，得出，根据，由两点之间线段最短，得出当点在处，点在处时，最小，且最小值为的长度，即最小值为．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对称的性质．

18.【答案】解：

．



． 

【解析】先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂、平方根的性质分别计算，再算加减法即可；
先算积的乘方，再根据单项式乘单项式法则和单项式除法法则计算即可；
本题主要考查整式的混合运算、实数的运算、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．

19.【答案】解：原式
．
当，时，
． 

【解析】先将题中所给整式进行化简，再将，的值代入计算即可．
本题考查整式的混合运算与化简求值，正确运用乘法公式是解题的关键．

20.【答案】解：先作射线，在上截取线段，使，再作，在上截取线段，使，然后作的垂直平分线，交于点，则，最后连接，即可得到符合要求的图形．
如图所示，
 

【解析】先作射线，在上截取线段，使，再作，然后作，最后连接，即可得到符合要求的图形．
本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握．

21.【答案】证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行线的性质可得，进而证明≌，即可得出结论．
本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

22.【答案】     

【解析】解：，，
故答案为：，；
由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是．
故答案为：；
个，
答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球．
利用频率频数样本容量直接求解即可；
根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近；
根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

23.【答案】解：为村庄到河边最近的道路，
理由如下：，，，
，
为直角三角形，，
，
为村庄到河边最近的道路；
在中，千米，千米，
千米
千米，
新路比原路少千米． 

【解析】由勾股定理逆定理证得为直角三角形，，即可得到为村庄到河边最近的道路；
利用勾股定理求出的长度，即可得到比原路少的长度．
此题考查了勾股定理及逆定理的应用，正确掌握勾股定理，正确理解题意掌握勾股定理及逆定理的计算是解题的关键．

24.【答案】解：，理由如下：
，
，
垂直平分，
，
，
在中，，
，
，

；
连接，如图所示：

，，，
，，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得，

解得，
． 

【解析】根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．

25.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
证明：如图，连接，
≌，
，，
点为中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
．

解：过作的延长线交于点，如图所示，

，，，
，
由知：≌，≌，
，，
，
，
．
通过“”证明≌即可得到；
如图，过点作交于点，根据中结论可得，即可证明≌，可得，即可解题；
过作的延长线交于点，易证，由可知≌，≌，可得，，即可求得的值，即可解题．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，本题中求证≌、≌是解题的关键．