2024年高中物理新教材同步 必修第一册第3章　4　第3课时　力的效果分解法和正交分解法 试卷

第3课时　力的效果分解法和正交分解法

[学习目标]　1.会按力的作用效果分解力(重点)。2.知道正交分解的目的和原则，会根据实际情况建立合适的直角坐标系将力进行正交分解(重点)。

一、力的效果分解

1．车在水平面和坡面上时，重力产生的作用效果分别是什么？设坡面水平面的夹角为α，车的重力为G，分析坡面上重力的作用效果，并按力的作用效果求出两分力的大小。

答案　在水平面上时重力的作用效果是使车压水平面；在坡面上时重力的作用效果有两个，一个是使车具有沿坡面下滑的趋势，二是使车压紧坡面，因此重力可分解为沿坡面向下的分力G1＝Gsin α，和垂直于坡面的分力G2＝Gcos α。

2．如图甲所示，小丽用斜向上的力拉行李箱，其简化图如图乙所示，拉力会产生两个效果，如何分解拉力，写出两个分力大小。

答案　如图所示，F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ

力的分解的步骤

例1　某同学用轻质圆规做了如图所示的小实验，圆规两脚A与B分别模拟横梁与斜梁，钥匙模拟重力，重力为mg，将钥匙对绳子的拉力分解为拉伸A脚的分力F1和压缩B脚的分力F2，则(　　)

A．F1＝mgtan α   B．F1＝mgsin α

C．F2＝mgtan α   D．F2＝mgsin α

答案　A

解析　钥匙对绳子的拉力大小等于钥匙的重力大小，如图，拉力按照作用效果可分解为

F1＝mgtan α

F2＝

故选A。

例2　在日常生活中，力的分解有着广泛的应用，如图甲用斧子把木桩劈开，已知两个侧面之间的夹角为2θ，斧子对木桩施加一个向下的力F时，产生了大小相等的两个侧向分力F1、F2，由图乙可得下列关系正确的是(　　)

A．F1＝F2＝   B．F1＝F2＝

C．F1＝F2＝   D．F1＝F2＝

答案　A

解析　根据力的平行四边形定则，力F与它的两个分力如图所示，由几何关系知F1＝F2＝，故A正确。

二、力的正交分解

力的正交分解法：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。

如图所示，将力F沿x轴和y轴两个方向分解，则x轴上的分力Fx＝Fcos α，y轴上的分力 Fy＝Fsin α。

例3　在同一平面内的三个力F1、F2、F3的大小依次为18 N、40 N、24 N，方向如图所示，求它们的合力。(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

答案　50 N，方向与F1相同

解析　建立直角坐标系，如图所示，把F2分解

F2x＝F2cos 37°＝32 N

F2y＝F2sin 37°＝24 N

Fy＝F2y－F3＝0

Fx＝F2x＋F1＝50 N

所以合力F＝Fx＝50 N，方向与F1相同。

例4　如图所示，倾角为15°的斜面上放着木箱，用100 N的拉力斜向上拉着木箱，F与水平方向成45°角。分别以平行于斜面和垂直于斜面的方向为x轴和y轴建立直角坐标系，把F分解为沿着两个坐标轴的分力。试在图中作出分力Fx和Fy，并计算它们的大小。

答案　见解析

解析　如图

α＝45°－15°＝30°

Fx＝Fcos 30°＝50 N

Fy＝Fsin 30°＝50 N

利用正交分解法求合力的步骤

三、力的分解中的定解问题

1．如图甲所示，由平行四边形定则可知，两个已知力进行合成时，这两个力的合力是唯一的。如图乙，如果将一个已知力分解成两个分力，结果是否也是唯一的呢？

答案　将一个力可以分解为两个分力，如图所示，若没有限制，同一个力可以分解为无数对大小、方向不同的分力，结果并不是唯一的。也可以说，如果没有限制，对于同一条对角线，可以作出无数个不同的平行四边形。

2.按下列要求作图。

(1)已知力F及其一个分力F1，在图甲中画出另一个分力F2。

(2)已知力F及其两个分力的方向，在图乙中画出两个分力F1和F2。

答案　

例5　已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N，则(　　)

A．F1的大小是唯一的

B．F2的方向是唯一的

C．F2有两个方向

D．F2可取任意方向

答案　C

解析　如图所示，以F的“箭头”为圆心，以30 N为半径画一段圆弧，与F1所在的直线有两个交点，因此F2有两个方向，F1的大小有两个值，C正确。

例6　(多选)(2022·银川二中高一期末)如图所示，将一个已知力F分解为F1和F2，已知F＝10 N，F1与F的夹角为37°(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则F2的大小(　　)

A．可能大于10 N

B．不可能等于10 N

C．可能小于10 N

D．最小值为8 N

答案　AC

解析　当F2与F1垂直时，F2最小，最小值为

F2min＝Fsin 37°＝6 N，则F2≥6 N，故选A、C。

课时对点练

考点一　力的效果分解

1．(多选)(2022·哈尔滨市第162中学高一期末)如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　)

A．F1、F2与mg的关系满足平行四边形定则

B．物体受mg、FN、F1、F2四个力作用

C．物体只受重力mg和弹力FN的作用

D．FN、F1、F2三个力的合力沿斜面向下

答案　ACD

解析　F1、F2与mg的关系满足平行四边形定则，A正确；物体受mg、FN两个力作用，B错误，C正确；FN与F2的合力等于零，所以FN、F1、F2三个力的合力等于F1，合力沿斜面向下，D正确。

2.(多选)很多衣服上都有拉链，如图为拉链的一部分，当我们拉拉链的时候，拉头与拉链接触处呈三角形，使很难直接分开的拉链很容易被拉开，关于其中的物理原理，以下说法正确的是(　　)

A．拉开拉链的时候，三角形的物体增大了拉拉链的拉力

B．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为两个较大的分力

C．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向不同的两个分力

D．拉开拉链的时候，三角形的物体将拉力分解为方向相同的两个分力

答案　BC

解析　在拉开拉链的时候，三角形物体在两链间沿拉链运动，手的拉力在三角形物体上产生了两个不同方向的分力，分力的大小大于拉力的大小，所以使很难直接分开的拉链很容易被拉开，B、C正确。

考点二　力的正交分解

3．(2022·北京丰台高一期末)滑雪圈是冬季滑雪场中常见的游乐项目之一，如图所示，人拉雪圈在水平地面上前行。雪圈质量为m，绳子对雪圈的拉力为F，F与水平方向之间的夹角为θ，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系。把拉力F分解为x方向的分量Fx和y方向的分量Fy。则Fy的大小为(　　)

A．Fsin θ   B．Fcos θ

C.   D.

答案　A

解析　Fy的大小为Fy＝Fsin θ，故选A。

4．曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力。如图，设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α<β，忽略耕索的质量。在耕地过程中，下列说法正确的是(　　)

A．曲辕犁减速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力

B．直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力

C．耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的小

D．耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的小

答案　C

解析　无论曲辕犁、直辕犁怎样前进，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力都是相互作用力，等大反向，故A、B错误；耕索对曲辕犁拉力的水平分力F1＝Fsin α，竖直分力F2＝Fcos α，对直辕犁拉力的水平拉力F3＝Fsin β，竖直分力F4＝Fcos β，故F1<F3，C正确；F2>F4，D错误。

5．(多选)(2022·聊城市期末)如图所示，直升机沿着水平方向向前飞行时，旋翼平面与水平方向成θ角，旋翼与空气相互作用产生的作用力F与旋翼所在平面垂直，以下说法正确的是(　　)

A．飞机的重力G＝F

B．飞机的重力G＝Fcos θ

C．飞机水平前进的动力为Fsin θ

D．飞机水平前进的动力为Ftan θ

答案　BC

解析　将F正交分解成沿水平方向和竖直方向的分力，飞机沿水平方向向前飞行时，竖直方向受力平衡，则G＝Fcos θ，在水平方向有F′＝Fsin θ，所以飞机水平前进的动力为Fsin θ，所以A、D错误，B、C正确。

考点三　力的定解问题

6．(多选)将一个力分解为两个分力，下列情况中，不能使力的分解结果一定唯一的有(　　)

A．已知两个分力的方向

B．已知两个分力的大小

C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向

D．已知一个分力的大小和方向

答案　BC

解析　将一个力分解为两个分力，根据平行四边形定则，即已知平行四边形的对角线，确定平行四边形的两个邻边，力的分解通常有下面几种组合：①已知两个分力的方向，确定两分力的大小，有唯一解；②已知两个分力的大小，确定两个分力的方向，这种情况必须先看两分力大小与合力是否满足|F1－F2|≤F≤F1＋F2，若不满足这个关系则无解，满足这个关系时可能有一解或两解；③已知一个分力的大小和另一个分力的方向，这种情况可能无解、有两解或一解；④已知一个分力的大小和方向，确定另一个分力的大小和方向，这种情况有唯一解。故选B、C。

7．已知一条线段，以这条线段为对角线作出平行四边形，若没有附加条件限制，将作出无数个满足要求的平行四边形。将一个力分解为互成角度的两个力，若没有附加条件，分解的结果不是唯一的。现将大小为100 N的一个力F分解为互成角度的两个力F1、F2，其中F1方向与F方向的夹角为30°，已知sin 30°＝0.5。则F2的最小值及此时它的方向与F1方向的夹角分别为(　　)

A．50 N　30°   B．50 N　60°

C．50 N　90°   D．50N　90°

答案　C

解析　合力大小为F＝100 N，一个分力F1与合力方向的夹角是30°，根据三角形定则，如图所示

可知，另一个分力的最小值为

F2＝Fsin 30°＝100× N＝50 N

方向与F1方向的夹角为90°，故选C。

8．(2023·朔州市朔城区一中高一开学考试)将力F＝10 N分解成两个分力，已知其中一个分力与F的夹角为30°，另一个分力的大小为7 N，则在分解时(　　)

A．有无数组解   B．有两组解

C．有唯一解   D．无解

答案　B

解析　已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，知另一个分力的最小值为

Fsin 30°＝5 N

而另一个分力大小为7 N，大于5 N，小于10 N，所以分解时有两组解，如图，故B正确，A、C、D错误。

9．(2023·盐城市盐城中学高一期中)在药物使用时应用到很多物理知识。如图甲、乙分别是用注射器取药的情景和针尖刺入瓶塞的示意图。针尖的顶角θ很小，医生沿着注射器施加一个较小的力F，针尖会对瓶塞产生很大的推力，现只分析图乙的针尖倾斜侧面与直侧面对瓶塞产生的两个推力，则(　　)

A．针尖在两个侧面上对瓶塞的两个推力是等大的

B．针尖在倾斜侧面上对瓶塞的推力比直侧面的推力小

C．若F一定，增大θ，直侧面推力减小

D．若θ一定，增大F，直侧面与倾斜侧面推力之比增大

答案　C

解析　将力分解在垂直于两个侧面的方向上，如图所示，针尖在倾斜侧面上对瓶塞倾斜推力为FN，对直侧面的推力为FN′，则＝cos θ

解得FN′<FN，故A、B错误；

分析可知＝tan θ，解得FN′＝，若F一定，增大θ，FN′减小，故C正确；

＝cos θ，若θ一定，则为定值，增大F，直侧面与倾斜侧面推力之比不变，故D错误。

10．(多选)(2022·四川盐亭中学模拟)图甲、乙、丙、丁所示的四种情况是某一质点在同一竖直平面内同时受到的三个共点力，若坐标纸中每格边长表示1 N大小的力，则下列关于此质点所受的合外力的说法中正确的是(　　)

A．图甲中质点所受的合外力大小是12 N，方向沿水平方向向右

B．图乙中质点所受的合外力等于0

C．图丙中质点所受的合外力大小是8 N，方向竖直向上

D．图丁中质点所受的合外力大小等于5 N

答案　AC

解析　对图甲根据三力的图示，知F1、F2在竖直方向分力的大小均为3个单位，方向相反，在水平方向的分力分别为6个单位和2个单位，方向与F3方向相同。根据正交分解法知，3个力的合力为12个单位，即F合＝12 N，方向水平向右，故A正确；对图乙，F3与F2的合力与F1大小相等，方向相同，所以3个力的合力为6个单位，即F合＝6 N，方向水平向右，故B错误；图丙中，将F3与F2正交分解，则水平方向大小相等，方向相反；竖直方向为5个单位，所以3个力的合力为8个单位，即F合＝8 N，方向竖直向上，故C正确；图丁中，将F3与F2正交分解，水平方向大小为1 N，竖直方向为4 N，所以3个力的合力在水平方向的大小为1 N，在竖直方向为3 N，由勾股定理求得合力大小等于 N，故D错误。

11.如图所示，水平地面上的物体重力G＝100 N，物体与水平地面间的动摩擦因数为0.25。物体在与水平方向成37°角的拉力F＝60 N作用下水平向右运动。(已知物体在竖直方向的合力为零。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：

(1)物体受到的支持力；

(2)物体受到的合外力。

答案　(1)64 N，方向竖直向上　(2)32 N，方向水平向右

解析　(1)物体受到四个力作用：重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力Ff。

建立如图所示直角坐标系，把力沿坐标轴正交分解。

在竖直方向Fsin 37°＋FN－G＝0

得：FN＝64 N，方向竖直向上。

(2)物体和地面间的摩擦力

Ff＝μFN＝16 N

在水平方向上有：

Fx＝Fcos 37°－Ff＝(60×0.8－16) N＝32 N

即物体受到的合外力大小为32 N，方向水平向右。

12.如图，已知共面的三个力F1＝20 N、F2＝30 N、F3＝40 N作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向。

答案　10 N　方向与F3的夹角为30°斜向右上

解析　如图所示，沿F3方向、垂直于F3方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得

F1x＝－F1sin 30°＝－10 N

F1y＝－F1cos 30°＝－10 N

F2x＝－F2sin 30°＝－15 N

F2y＝F2cos 30°＝15 N

故沿x轴方向的合力

Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N

沿y轴方向的合力

Fy＝F1y＋F2y＝5 N

可得这三个力合力的大小

F＝＝10 N

F的方向与x轴的夹角即F与F3的夹角，设为θ，则tan θ＝＝，故θ＝30°。

13.如图所示是扩张机的原理示意图，A、B处为活动铰链，C处为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，滑块与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)(　　)

A．3 000 N   B．2 000 N

C．1 000 N   D．500 N

答案　B

解析　将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示。

则有2F1cos α＝F，得F1＝F2＝

再将F1按作用效果分解为FN和FN′，作出力的分解图如图乙所示。

则有FN＝F1sin α，联立得FN＝

根据几何知识得tan α＝＝10

得FN＝5F＝2 000 N，故选项B正确。