广东省佛山市南海区大沥镇2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

2021-2022学年广东省佛山市南海区大沥镇八年级（上）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在，，相邻两个之间的个数依次多一个，，，中，无理数有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 各组数中，是勾股数的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 点关于轴对称的点的坐标为

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 已知是方程的一个解，则的值为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，一次函数的图象经过点、，则下列结论正确的是

A.
B. 关于的方程的解是
C.
D. 关于的方程的解是
 

7. 以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中的位置是

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 如图是我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较长的直角边为，那么的值为

A.  B.  C.  D.

9. 下列说法中：
   一次函数，若，，那么它的图象过第一、二、三象限；
   函数是一次函数，且随着的增大而减小；
   已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为；
   若一次函数中，随增大而减小，则的取值范围是．
   正确的有个．

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，在直线上，点，，在轴上，，，都是等腰直角三角形，若已知点，则点的纵坐标是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 实数的平方根是______ ．
12. 比较大小：______．
13. 已知点在轴上，则点的坐标是______．
14. 若是方程的解，求的值是______ ．
15. 已知函数，当 ______ 时，它是正比例函数．
16. 若关于，的方程组与的解相同，则的值为______．
17. 如图，直线交轴于点，交轴于点，点为线段上一点，将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，则的面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.分）

18. 解方程组：．
    
     

四、解答题（本大题共7小题，共56分）

19. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．
    在如图的直角坐标系中画出，，三点，并作出关于轴对称的，写出点坐标；
    线段轴且，请直接写出点的坐标．
    
     

21. 已知一次函数．
    在给定的直角坐标系中画出一次函数的图象；
    根据图象回答，当 ______时，；若点与点在该直线上，则______填“”，“”或“”
    坐标原点到该直线的距离为______．

22. 如图，长方形纸片中，，，折叠纸片的一边，使点落在边上的点处，为折痕．请回答下列问题：
    ______；
    试求线段的长度；
    若点为线段上的一个动点，连接和，则线段的最小值是______．
    
    
    
    
    
    
     
23. 年月，第二届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，共签署了总额多亿美元的项目合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共万件销往“一带一路”沿线国家和地区，已知件甲种商品与件乙商品的销售收入相同，件甲种商品比件乙种商品的销售收入多元．
    甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？列二元一次方程组解应用题
    设甲、乙两种商品的销售总收入为万元，销售甲种商品万件，
    写出与之间的函数关系式；
    若甲、乙两种商品的销售收入为万元，则销售甲种商品多少万件？
    
    
    
    
    
    
     
24. 一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图象如图所示．
    根据图象，求出、关于的函数关系式；
    设两车之间的距离为千米．
    求两车相遇前关于的函数关系式；
    求出租车到达甲地后关于的函数关系式．
    甲、乙两地间有、两个加油站，相距千米，加油站在甲地与加油站之间，若两车相遇后，客车进入加油站时，出租车恰好进入加油站，求此时两车的行驶时间的值和加油站到甲地的距离．

25. 如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，且．
    
    求的面积．
    为线段不含，两点上一动点．
    如图，过点作轴的平行线交线段于点，记四边形的面积为，点的横坐标为，当时，求的值．
    为线段延长线上一点，且，在直线上是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：是无理数，是有理数，相邻两个之间的个数依次多一个是无理数，是有理数，是有理数；是无理数．
故选：．
无理数常见的三种类型：开不尽的方根；特定结构的无限不循环小数；含有的绝大部分数．
本题主要考查的是无理数的概念，熟练掌握无理数的三种类型是解题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，但，，不是正整数，故本选项不符合题意；
C、，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意；
D、，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
此题考查勾股数，关键是根据满足 的三个正整数，称为勾股数解答．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了关于轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】
解：关于轴对称的点的坐标为，
故选A．  

4.【答案】
 

【解析】解：、与不是同类二次根式，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据二次根式的加法运算，立方根的定义、平方根的定义即可求出答案．
本题考查二次根式的加法运算，立方根的定义、平方根的定义，本题属于基础题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：把，代入方程，
得，
．
故选：．
把，代入方程，形成一元一次方程，解出即可．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握代入法求是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：一次函数的图象经过点、，
，
解得：，
故选项A不符合题意；
B.由图象得：关于的方程的解为正确，
故选项B符合题意；
C.由图象得：当时，，即，
故选项C不符合题意；
D.由图象得：，即时，，
关于的方程的解是，
故选项D不符合题意；
故选：．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用数形结合是求解是解决问题的关键关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：
把代入得，，
解得，．
代入得，．
所以此方程组得解：．
坐标的点．
在第三象限．
故选：．
解方程组，求出点的坐标，最后确定在平面直角坐标系中的位置
本题考查二元一次方程组的解，点的坐标的表示，判断点在平面直角坐标系中的位置，掌握解方程组的解法，由点的坐标确地所在的位置是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：大正方形的面积，小正方形的面积是，
四个直角三角形的面积和是，即，
即，，
．
故选：．
先求出四个直角三角形的面积，再根据再根据直角三角形的边长求解即可．
本题主要考查了勾股定理，三角形的面积，全等图形等知识点就，注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系．
 

9.【答案】
 

【解析】解：一次函数，，，
它的图象过第一、三、四象限，故错误；
函数中，，
随着的增大而减小，故正确；
直线与的一次项系数相同，
两直线平行，当时，，故正确；
一次函数中，随的增大而减小，
，解得，故错误，
正确的由，
故选：．
根据一次函数的性质对各小题进行逐一分析即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性及一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：在直线上，
，
．
设，，
则有，．
又，，都是等腰直角三角形．
，
  ，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
 
  
 又
，
，
点的纵坐标是，
故选：．
设点，，坐标，根据等腰直角三角形的性质、结合函数解析式，即可求解．
此题主要考查了一次函数点坐标特点；等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义求解即可．
本题考查了平方根的知识，属于基础题，关键是熟练掌握基础概念．
 

12.【答案】
 

【解析】解：，
．
故答案为：．
直接利用二次根式的性质进而比较得出答案．
此题主要考查了实数比较大小，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：点在轴上，
，
解得：，
故，
故点的坐标为：．
故答案为：．
直接利用轴上横坐标为，进而得出的值即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，根据轴上点的横坐标为得出关于的方程是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：是方程的解，
，



．
故答案为：．
先代入求出，再变形，最后代入求出即可．
本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值的应用，用了整体代入思想．
 

15.【答案】
 

【解析】解：函数是正比例函数，则，，
．
故答案为．
根据正比例函数的定义可得出的值及取值范围．
本题考查对正比例函数的概念理解．形如的函数为正比例函数．
 

16.【答案】
 

【解析】解：方程组与的解相同，
，
，
得，，
，
故答案为．
由已知可得方程组的解为，再将该解代入方程组可得，两个方程相加即可求解．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：直线，
当时，，当时，，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得，，
即，
，
的面积为：，
故答案为：．
根据直线交轴于点，交轴于点，可以求得点和点的坐标，然后根据将沿着直线翻折，点恰好落在轴上的处，可以求得和的长，从而可以求得的面积．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、翻折变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：，得：，
解得，
将代入，得：，
解得：，
则方程组的解为．
 

【解析】利用加减消元法求出解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的两种消元方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
 

【解析】先利用完全平方公式计算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和完全平方公式是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：如图，为所作，；

，，轴，
或．
 

【解析】利用点、、的坐标描点得到，再根据关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
把点向左或向右平移个单位得到点坐标．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
 

21.【答案】   
 

【解析】解：当时，，
当时，，
经过和的一条直线，即可画出图象；
当时，；
，
随的增大而减小，
，
，
故答案为：；；
由和可知：，，
在中，，
，
，
故答案为：．
当时，，当时，，经过和的一条直线，即可画出图象；
根据一次函数增加性即可解决；
由和可知：，，，利用等积法得，即可求解．
本题考查了一次函数的图象及其性质，等积法求高，解题关键是抓住三角形面积相等．
 

22.【答案】 
 

【解析】解：折叠纸片，使点落在边上的点处，
则，
故答案为：；
，
，
折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕为，
，
设，
则，
又为直角三角形，
，
即，
，
；
连接，，，，

折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕为，
、关于对称，
，
则，
最小为，
，
最小值为：，
故答案为：．
由折叠知；
设，则，在中，利用勾股定理列方程即可得出答案；
由折叠知：、关于对称，得，则，最小值即为的长．利用勾股定理求出其长度即可．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用等知识，明确点、关于对称是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲种商品的销售单价为元，乙种商品的销售单价是元，根据题意得：
，得，
答：甲种商品的销售单价为元，乙种商品的销售单价是元；
由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
当时，
解得，
答：甲、乙两种商品的销售收入为万元时，则销售甲种商品万件．
 

【解析】设甲种商品的销售单价为元，乙种商品的销售单价是元，然后根据题意，可以得到关于、的二元一次方程组，从而可以求得甲种商品与乙种商品的销售单价；
根据题意，可以得到与之间的函数关系式；
将代入中函数关系式即可求得销售甲种商品多少万件．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和函数关系式，利用一次函数的性质解答．
 

24.【答案】解：设，代入点，
得：，
；
设，代入点，，
得：，
；
由题意，得 ，
 ；
由题意，得，
解得，
此时，加油站距离甲地：，
所以，此时两车的行驶时间为小时，加油站到甲地距离为．
 

【解析】用待定系数法可直接求出解析式；
当时，两车之间的距离为；结合可得出租车到达甲地后关于的函数关系式；
根据的结论列方程解答即可．
本题主要考查一次函数的应用，关键是要根据图象用待定系数法求出函数的解析式，根据解析式即可算出两车之间的距离．
 

25.【答案】解：把代入得：，
一次函数解析式为，
令，得，
，
在中，，
，
，
，
；

设，
在线段上，
，
设直线的解析式为，代入，得，
，
，
又轴，则，
，
，
又，
，解得；

如图所示，当点在轴下方时，

，
，
，
是以为直角边的等腰直角三角形，
当时，，，
设，
过点作直线轴，作，，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，作，则，
，
，
在直线上，
，
，
，
，
，
．
当点在轴上方时，点与关于对称，
则，即，
综上：存在一点或使是以为直角边的等腰直角三角形．
 

【解析】由于交轴于点，求出的值，可得出，，，根据可得，，则可得出答案；
设点，求出直线解析式为，由于在直线上，可得，根据即可得到结论；
如图所示，当点在轴下方时，得到，设，过点作直线轴，作，，证明≌ ，得到，，再证明≌，得到，，求得，作，则，根据得，列得，求出得到；当点在轴上方时，点与关于对称，得，即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握坐标与图形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．